高中数学必修3第一章：算法

第一章：算法

1、算法三种语言：

自然语言、流程图、程序语言；

2、流程图中的图框：

起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等规范表示方法;

3、算法的三种基本结构：

J当型循环结构

顺序结构、条件结构、循环结构［直到型循环结构

⑴顺序结构示意图:

⑵条件结构示意图:

②IF-THEN格式:

⑶循环结构示意图：

①当型（WHILE型）循环结构示意图:

4、基本算法语句：

①输入语句的一般格式：INPUT“提示内容”；变量

②输出语句的一般格式：PRINT"提示㊁容”；表达式

③赋值语句的一般格式：变量=表达式一

（“=”有时也用“一”）

④条件语句的…般格式有两种：

IF—THEN—ELSE语句的一般格式为:

IF条件THEN

语句1

ELSE

语句2

ENDIF（图2）

IF—THEN语句的•般格式为:

IF条件THEN

语句

ENDIF（图3）

⑤循环语句的一般格式是两种：

当型循环（WHILE）语句的一般格式:

WHILE条件

循环体

（图4）

WEND

直到型循环（UNTIL）语句的一般格式:

DO

循环体

LOOPUNTIL条件

（图5）

⑹算法案例：

①辗转相除法一结果是以相除余数为0而得到

利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：

i）：用较大的数m除以较小的数n得到一个商So和一个余数&;

u）：若凡=0,则n为m,n的最大公约数；若凡产。，则用除数n除以余数&得到一

个商3和一个余数8；

iii）：若%=0,则均为m,n的最大公约数；若RR0,则用除数除以余数©得到一

个商S2和一个余数凡；……

依次计算直至R”=0,此时所得到的R.即为所求的最大公约数。

②更相减损术一结果是以减数与差相等而得到

利用更相减损术求最大公约数的步骤如下：

i）：任意给出两个正数：判断它们是否都是偶数。若是，用2约简：若不是，执行第二

步。

u）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继

续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。

③进位制

十进制数化为k进制数一除k取余法

k进制数化为十进制数

【思路方法点拨】

1.在设计一个算法的过程中要牢记它的五个特征：概括性、逻辑性、有穷性、不惟一性、

普遍性.

2.编程的一般步骤：（1）算法分析：根据提供的问题，利用数学及相关学科的知识，设计出

解决问题的算法.（2）画流程图：依据算法分析，画出流程图.（3）写出程序：根据流程图中

的算法步骤，逐步写出相应的程序语句.

3.算法的思想与数学知识的融合会是新高考命题的方向，要注意此方面知识的积累.

4.输入、输出语句和赋值语句是•个程序必不可少的语句，注意它们各自的形式和要求，

熟练掌握通过引入第三个变量利用赋值语句交换两个变量值的方法.

5.实际问题的编程设计一般是先对问题进行认真分析，设计出合理的算法，然后将算法用

算法框图表示出来，最后根据算法框图利用算法语句写出程序.

6.条件语句有两种形式：If—Then—Else语句和If—Then语句.

对于第一种形式的条件语句执行步骤是：

当计算机执行上述If语句时，首先对If后的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then

后的语句1,否则执行Else后的语句2.

对于第二种形式的条件语句执行步骤是：

当计算机执行上述If语句时:首先对If后的条件进行判断，如果条件符合，就执行Then

之后的语句，否则执行EndIf后的语句.

7.循环语句

(l)For语句的一般形式是：

For循环变量=初始值To终值

循环体

执行步骤：

当计算机执行For语句，一般先执行一次循环体，当循环变量在初始值与终值之间时，执行

循环体；当循环变量超过终值时，不再执行循环体，跳出循环体执行后面的语句.

(2)DoLoop语句的一般形式是：

Do

循环体

LoopWhile条件为真

执行步骤：

计算机执行DoLoop语句，先执行一次循环体，若符合条件，继续执行循环体；当不符合条

件时，跳出循环，执行LoopWhile后的语句.

8.流程图的画法

(1)流程图一般按照从左到右，从上到下的顺序来画；

(2)工序流程图可以按照从左到右，也可以按照从上到下的顺序来画，图形用矩形或平行四

边形表示，再用流程线相连，流程线是有向线，表示工序进展的方向.

9.绘制结构图的要求

(1)对所画的结构图的每一部分有一个深刻的理解，从头到尾抓住主要脉络进行分解.

(2)将每一部分进行归纳与提炼，形成个个点并逐一写在矩形框内.

(3)按其逻辑顺序将它们排列起来，并用线相连.

【例1】已知三角形三边长，判定这个三角形是否为直角三角形，写出算法，画出相应的

算法框图.［开始）

［解析］算法：

/输入

51输入a、b、c.

『+/—22222

S2/5=d,q-b+c—a,r=a+c—p=a2+b2-c1

h2.q=b2+c2-a2

r=di+c2-

S3若p=0,则输出“是直角三角形”.

54若q=0,则输出“是直角三角形”.

孔若/•=()，则输出“是直角三角形”.

S6若p/邦，则输出“不是直角三角形"，结束.

算法框图如图.想一想，还可以怎样设计算法.

【教师点评】1.给出一个问题，设计算法时应

注意：

(1)认真分析问题,联系解决此问题的一般数学方

法./不是直贮角形//是百角三角形/

(2)综合考虑此类问题中可能涉及的各种情况.

(3)将解决问题的过程划分为若干个步骤.

(4)用简练的语言将各个步骤表示出来.

2.画程序框图的规则

(1)使用标准的框图符号；

(2)框图一般按从上到下、从左到右的方向画；

(3)除判断框外，大多数程序框图中的程序框只有一个进入点和一个退出点，判断框是具有

超过,•个退出点的唯一符号；

(4)在图形符号内描述的语言要非常简练清楚.

注意：(1)终端框(起止框)是任何程序图不可少的，表明程序开始和结束.

⑵输入框和输出框可用在算法中任何需要输入、输出的位置.

［例2］(1)下面的算法框图，如果输入三个实数a,b,c,要求输出

这三个数中最大的数，那么在空白的判断框中，应该填入下面四个选项

中的()

A.c>x

B.x>c

C.c>b

D.b>c

【思路点拨】第一次判断后，x取。与匕中较大的一个，故第二次判断

后x应取x与c中较大者，故判断框中应填c>x,故选A.

［答案］A

⑵(2011.长沙铁一中月考)如图给出一个算法框图，其作用是输入x的值,

输出相应的y值.若要使输入的x值与输出的y值相等.则这样的x值

有个.

【思路点拨】当xW2时，x—x,有x=0或x=l；当2<xW5时，2%—3=x,有x=3；当

时'x《，x无解.故可知这样的x有3个.

［答案］3

【例3］］给出下面的算法框图，那么输出结果应为

)

A.2450B.2550C.5050D.4900

【思路点拨】由条件知，•=100时退出循环，故最后一个加数为

98,♦•.此框图即计算2+4+6+…+98的值.故选A.

［答案］A

【强化训练】(1)如果执行下面的程序

框图，那么输出的S等于()

A.2450B.2500

C.2550D.2652

［答案］C

【思路点拨】由题意知输出的结果

S为2、4、6、…、100的和，

C50X2+100

所以S=—《——i=2550.

【例4】如图(1)是某县参加2011年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形表示的

学生人数依次记为4、A?、…、小0(如仆表示身高(单位：cm)在［150,155)内的学生人数).如

图(2)是统计图(1)中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图.现要统计身高在160〜

180cm(含160cm,不含180cm)的学生人数，那么在算法框图中的判断框内应填写的条件是

)

A.i<9B./<8

C.i<7D.i<6

［答案］B

【思路点拨】:统计160-180cm的学生,

即A4+A5+A6+A7,4</<7时都符合要求.

故i=8时，跳出循环.

【强化训练】随机抽取某产品n件，测得其长度分

别为内，“2,…，即，则如图所示的程序框图输出的$=,S表示的样本的数字特征

是.(注：流程图中的赋值符号“=”也可以写成“一”“：三)

［答案］-(a,+a+-+a,)样本平均数

n;

【思路点拨】考查程序框图的概念、结构和统计的基本概念.

由程序框图知，当『=1时，Xx—ai,此时S—ai.

.,、a2-IS+a?&+a2.&+a

1=2时，*2=-----1------,此时,

3—2S+asai+a2+at

7=3时，Xi—,此时S=

33

Si+32+

3

【例6】如图所示是解决某个问题而绘制的算法框图.仔细分析各图框内的内容及图框之

间的关系，回答下面的问题：

1开始1

(1)图框①中x=2的含义是什么？1

(2)图框②中yi=ax+b的含义是什么？x=2①

(3)图框④中y=ax+b的含义是什么？1

2|%=丁+可②

(4)该算法框图解决的是怎样的一个问题？

(5)若最终输出的结果yi=3,m=-2.当x取5时输出的结果5a+b的③

值应该是多大？*

|力=7+6]④

【思路点拨】本题主要考查赋值语句的特点及意义.

［解析］⑴图框①中x=2表示把2赋给变量x./输出力>2/

(2)图框②中的含义：该图框在执行①的前提下，即当x=2

结束

时计算ax+b的值，并把这个值赋给力.

(3)图框④中>2=ax+b的含义：该图框在执行③的前提下，即当x=-3时计算ax+b的值,

并把这个值赋给

(4)该算法框图解决的是求函数/(x)=ax+b的函数值的问题.其中输入的是自变量x的值，

输出的是x对应的函数值.

(5)yi=3,即2a+h=3.

yi=—2,即一3"+〃=一2.

由⑤⑥得。=1,%=1.所以於)=x+l.所以x取5时，5a+ft=5X1+1=6.

【例71输入一个数，用语句描述通过函

数

5%—5.x>0；

y='0.x=Q；求y的值的

5x+3,XO.

算法，并画出算法框图.

［解析］用语句描述如下：

输入尢；

Ifx>0Then

y=5x—5

Else

Ifx=OThen

y=O

/输出

Else>7

y=5x+3

EndIf

输出y.

其算法框图如图所示：

【例8】编写程序计算2+4+6+…+20的值.

［解析］程序如下：S=0

Fori=lTo10

S=S+2］Next

输出s

【教师点评】注意循环变量i的初始值与终值各是多少，有时易错认为终值为20.

【强化训练】设计算法求〃！=1X2X3X…X〃用语句描述.

［解析］法一用语句描述为：

输入

5=1;

Fori=1Ton

S=S*i

Next

输出S.

法二输入〃

z=l

P=\

Do

P=P*i

i=i+\

LoopWhilei<n

输出尸

【例9】编写程序,求「+22+32+…+10（）2

［解析］程序如下：i=l

Sum=0

Do

Sum=Sum+产

i=i+i

LoopWhilez<100

输出Sum

【教师点评】注意循环变量初始值的设置方式及累加变量的位置，当位置不同时;处理功能

有可能不同.

【强化训练】求尸+22+3?+…+”2<1000成立的”的最大正整数值.用程序语言表示其算

法.

［解析］5=1

i=2

Do

a—i2

S^S+a

z-z+1

LoopWhile5<1000

i=i-2

输出i

【例101机械制造厂加工某种零件有四道工序：铸（造）件、粗加工（刨、车）、热处理和精加

工（铳、磨）.每道工序完成时，都要对产品进行检验，合格品进入下一道工序，不合格品为

废品.铸（造）件合格品进入粗加工，粗加工合格品进入热处理，热处理（热处理不合格品可以

返工一次）合格品进入精加工，精加工的合格品为零件成品.用流程图表示这种零件的加工

过程.

【思路点拨】按照四道工序的顺序，要注意每道工序完成时，要进行检验，此时要有判断，

合格品进入下一道工序，不合格品为废品.

［解析］

【例11】用结构图描述平面几何中四边形的分类.

【思路点拨】本题考查结构图的应用与设计，决定一个四边形的基本要素是边长和角度，四

边形分类应按此线索展开.

【例12】某公司做人事调整：设经理一名，配有经理助理一名：设副经理两名，直接对总

经理负责；设有6个部门，其中副经理A管理生产部、安全部和质量部；副经理8管理销

售部、财务部和保卫部；生产车间由生产部和安全部共同管理，公司配有质检中心和门岗.请

根据以上信息设计并画出该公司的人事结构图.

【思路点拨】本题所给信息较，应抓住主要脉络分析各部门之间的关系.

解析

基础训练

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且

只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在相应的括号（）内.

1、算法的有穷性是指（）

A、算法必须包含输出B、算法中每个步骤都是可执行的

C、算法的步骤必须有限D、以上说法均不对

2、在算法的逻辑结构中，要求进行逻辑判断，并根据结果进行不同处理的是哪种结构（）

A、顺序结构B、选择结构和循环结构C、顺序结构和选择结构D、没有任何结构

3、下列语句中：①,②r—rx/③32―A④A―2*（B+l）=2*B+2

⑤A—A+2⑥p—（（7x+3）x-5）x+l其中是赋值语句的个数为（）

A、6B、5C、4D、3

4、将两个数a=25,b=9交换，使”=9,b=25,F面语句正确一组是（）

b<-at~b|a<-c

b-ac<-b

a<-b2lb—a

BcD

5、条件语句的一般形式是“ifAthenBelseC”，件B表示的是)

A、满足条件时执行的内容B、条件语句C、条件D、不满足条件时执行的内容

6、for语句的一般格式为:forifromatobstep,其中a的意义是()

A、循环变量初始值B、循环变量终值

a—1

C、循环体D、循环条件的语句i=l

b—2

7、右边程序运行的结果是（）WHILEz<8

c<—3

A、1,2,3B、2,3,1a<-bi=i+2

C、2,3,2D、3,2,1b<—cs=2'注3

8、右边程序运行后的输出结果为（）c<—aENDWHILE

A、17B、19PRINTa,b,cPRINTs

C、21D、23ENDEND

加四给出的基计箕!…的值的一个程序框图.(第7题)(第8题)

9、

24620

其中判断框内应填入的条件是

()

A、i>10B、i<10C、i>20D、i<20

10、右边的程序框图，能判断任意输入的数x的奇偶性：其中判断框内的条件是)

A^m=0B、x=0C、x=lD、m=l

（开始）

工

/输个x/

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分,共30分.请把第10题正确答案填

在该小题中相应的横线上.

11、下列四个有关算法的说法中：（1）算法的某些步骤可以不明确或有歧义，以便使算法能

解决更多问题；（2）正确的算法执行后一定得到确定的结果；（3）解决某类问题的算法不

一定是唯一的；（4）正确的算法一定能在有限步之内结束。其中正确的是..(要

求只填写序号）

54

12、用秦九韶算法计算多项式/(%)=3/+4x+5x+6x3+7,+8x+1当x=04时的

值时,需要做乘法和加法的次数共次.

13、已知如图程序，若输入8,则程序执行后输出的结果是；

14、如图所示的算法程序框图，表示的算法的功能是

程序。

16、将下列问题的算法用伪代码中的“for”语句表示（写在下面的框中），并画出“for”语

句流程图（画在右边）。

i-1

S-0

WhileiW10

S-S+i

i-i+l

EndWhile

PrintS

三、解答题：本大题共5小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17、（本题16分）设计一个计算2+4+6+8+…+80的算法，并分别用F”语句与While

语句表示。

18、（本题16分）画出解关于x的不等式ax+/YO（“，6GR）的流程图及其伪代码。

19、（本题16分）某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取

通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通

话不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法.要求写出算法，画出程

序框图，编写程序。

20、（本题16分）给出30个数：1,2,4,7,……，其规律是：第1个数是1,第2个数

比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,依此类推.要计

算这30个数的和，现已给出了该问题算法的程序框图（如图所示），（I）请在图中判断

框内（1）处和执行框中的（2）处填匕合适的语句，使之能完成该题算法功能；（II）根据程

序框图写出程序。

21,（本题16分）设计算法求1---------

'+」一+,+•••+—!—的值.要求画出程序框图，写出用基本语句编写的

1x22x33x499x100

程序.

参考答案

1、解析：选C。

2、解析：选B,在选择结构和循环结构中都要进行逻辑判断。

3、解析：选C,正确的是①②⑤⑥，赋值语句只能将表达式或数值赋给一个变量。

4、解析：选C。

5、解析：选A。

6、解析：选A。

7,解析：选C,赋值语句要注意变量替换顺序。

8,解析：选C,当i=9时，s=2?93=21,然后循环结束。

9、解析：选A,当5=,+,+!+…+’时要提出循环体，而此时接下来i=11,因此条

246

件为i>10»

10、解析：选A,一个数被2除的余数为1忖为奇数。

11、解析：(2)(3)(4),算法的步骤必须是明确的。

12、解析：12次对于一个“次多项式，利用秦九韶算法计算，只要做〃次乘法和〃次加法。

13>解析：0.7,此时c=0.2+0.1?(83)=0.7--------

C-10

14、解析：计算并输出使1X3X5X7...X—>10000成立的最r~

小正整数。।▼

15.解析：Readn,i£n,srs'i,因为当时要进入欧］

循环体，接着i=l+〃，而i>〃要提出循环体。一匕^I

16、解析:

S-0

ForIFrom1To10

S-S+I

EndFor

PrintS

输出S

解析:用析”语句表示:(8Z)用皿〃e语句表示:(8，)

S—0

S<-0z<-2

Forifrom2to80step2Whilei<80

S—S+iS—S+i

EndForz<-z+2

PrintSEndWhile

PrintS

18、解析：伪代码与流程图分别为

19、解：该题涉及分段函数，故设c(单位：元)表示通话费,(单位：分钟)表示通话时

0.2,0<t<3

间，则依题意有

0.2+0.l(f—3),t>3

算法步骤如下：

第一步，输入通话时间t；READt

第二步，如果t<3,那么c=0.2；IFt<=3THEN

否则令c=0.2+0.1(t—3)；c=0.2

第三步，输出通话费用c;ELSE

程序框图如图所示c=0.2+0.1(t-3)

ENDIF

PRINTc

END

(第19题伪代码)

20、解(I)该算法使用了当型循环结

构，因为是求30个数的和，故循环体应

执行30次，其中i是计数变量，因此判

断框内的条件就是限制计数变量i的，

故应为1430。算法中的变量p实质是

表示参与求和的各个数，由于它也是变

化的，且满足第i个数比其前一个数大

i-l,第i+1个数比其前一个数大i,

故应有p=p+i.故(1)处应填z<30；

(2)处应填p=p+i

(II)根据以上框图，可设计如图程序:

21、解：这是一个累加求和问题，共99项相加，可设

计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一

算法,程序框图如图所示。

S=0

K=1

Do

s=s+l/k(k+l)

k=k+l

LOOPUNTILk>99

PRINTs

END

(第21题程序)

第二章：统计

1、抽样方法：

①简单随机抽样（总体个数较少）

②系统抽样（总体个数较多）

③分层抽样（总体中差异明显）

注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，每个个体被抽到的机会（概率）均

2、总体分布的估计：

⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实

②频率分布直方图一一分布直观

③频率分布折线图一一便于观察总体分布趋势

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大书写，相同的数据重复写。

3、总体特征数的估计：

⑴平均数：+X.+X3+…+X“；

取值为Xi,X2,---,Xn的频率分别为P1，P2,…，P”＞则其平均数为X1P,+X2P2+…+X"P"；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：一组样本数据看》2,…,X,,

方差：S?=」之（&-X）；

n-

标准差:

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的稳定水平0

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：y=hx+a（最小二乘法）

一〃xy

a=y-bx

注意：线性回归直线经过定点点J）。

【思路方法点拨】

1.三种抽样方法的共同点是等概率抽样，即抽样过程中每个个体被抽取的概率相等，

体现了这三种抽样方法的客观性和公平性.若样本容量为〃，总体的个体数为M则用这三

种方法抽样时，每一个个体被抽到的概率都是与

A

NN

2.系统抽样中为将整个的编号进行分段，要确定分段的间隔h当4是整数时，k=一；

nn

当△’不是整数时，通过从总体中剔除一些个体使剩下的个体数M能被“整除，这时A=匕.

nn

3.三种抽样方法各有其特点和适用范围，在实际应用时;要灵活选取恰当的抽样方法，然

后按照它的操作步骤进行抽样.

4.抽样方法在高考中不会出解答题，不会出难题，理解三种抽样方法的定义及操作步骤，

解决有关抽样的一些简单问题即可.

5.三种抽样方法的比较：

类别共同点各自特点相互联系适用范围

简单随机抽总体中的个体

从总体中逐个抽取

样数较少

抽样过程中将总体均分成几部分，按在起始部分抽样

总体中的个体

系统抽样每个个体被事先确定的规则在各部分时采用简单随机

数较多

抽到的机会抽取抽样

均等

各层抽样时采用总体由差异明

将总体分成几层，分层进

分层抽样简单随机抽样或显的几部分组

行抽取

系统抽样成

6.不要把直方图错画为条形图，两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频

数或频率，直方图是连续随机变量，纵坐标刻度为频率/组距，这是密度.连续随机变量在

某一点上是没有频率的.

7.用样本频率分布来估计总体分布的重点是：频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样

本频率分布估计总体分布，难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用.在计数和计

算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致.通过频率分布表和频率分布直方图可以对

总体作出估计.

8.几种表示频率分布的方法的优点与不足；

(1)频率分布表在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，分析数据分布的总体态势不太

方便.

(2)频率分布直方图能够很容易地表示大量数据，非常直观地表明分布的形状，使我们能够

看到在分布表中看不清楚的数据模式.但从直方图本身得不出原始的数据内容，也就是说,

把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息就被抹掉了.

(3)频率折线图的优点是它反映了数据的变化趋势，如果样本容量不断增大，分组的组距不

断缩小，那么折线图就趋向于总体分布的密度曲线.

(4)用茎叶图优点是原有信息不会抹掉，能够展示数据的分布情况，但当样本数据较多或数

据数较多时，茎叶图显得不太方便了.

9.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散

程度越大，标准差、方差越小，数据的离散程度越小，因为方差与原始数据的单位不同，且

平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样

的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差.

10.线性相关关系的理解：相关关系与函数关系不同.函数关系中的两个变量间是一种确定

性关系.例如正方形面积S与边氏x之间的关系S=x2就是函数关系.相关关系是一种非

确定性关系，即相关关系是非随机变量与随机变量之间的关系.例如商品的销售额与广告费

的相关关系.两个变量具有相关关系是回归分析的前提.

11.求回归方程，关键在于正确求出系数a,b,由于a,b的计算量大，计算时应仔细谨慎,

分层进行，避免因计算而产生错误.(注意回归直线方程中一次项系数为b,常数项为a,这

与一次函数的习惯表示不同).

12.独立性检验的一般步骤

(1)根据样本数据制成2X2列联素.

(2)根据公式x?=————门J-be-----――-,计算/的值.

a+bc+da+cb+d

(3)比较/与临界值的大小关系作统计推断.

13.回归方程

(1)线性回归方程：我们把相关关系(不确定性关系)转化为函数关系(确定性关系)，当两个

具有相关关系的变量近似地满足一次函数关系时，我们所求出的函数关系y=6x+a就是回

归直线方程.求回归直线方程的一般方法是借助于工作软件求出回归直线方程，也可利用计

算器计算出。，再由a=}一6二，求出a,写出回归直线方程y="+a可以利用回归直线

方程y=a+6x求出x取某一个值时，y的估计值.

(2)非线性回归方程：非线性回归问题有时并不给出经验公式，此时我们可以由已知的数据

画出散点图，并把散点图与已经学习过的各种函数如基函数、指数函数、对数函数、二次函

数等作比较，挑选出跟这些散点拟合最好的函数，然后再采用变量的置换，把问题转化为线

性回归分析问题，使问题得以解决.

注意：线性回归方程中的a和b都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导

致预测结果的偏差，另外，我们选用的线性模型只是一种近似模型.

［例1］某班共有60名学生，领到10张电影票.现在用抽签法和随机数表法把10张电

影票分下去，试写出过程.

【思路点拨】结合抽签法和随机数表法的步骤来解决.

［解析］(1)抽签法.

第一步,先将60名学生编号.编号为01,02,03,…，60.

第二步，准备抽签工具.把号码写在形状、大小相同的号签上，将这些号签放在同一个不透

明箱子里.

第三步，实施抽签.抽签前先将放在箱子里的号签搅拌均匀，抽签时每次从中抽出一号签，

连续抽10次，根据抽到的10个号码对应10名学生，10张电影票就分给10名被抽到的学

生.

(2)随机数表法.

第一步,先将60名学生编号,分别为00,01,02,03,…,59.

第二步，由于总体的编号为两位数，在随机数表中选取两列组成两位数.从随机数表中的任

意一个位置，按一定顺序开始读数.如果读到的数小于59,则将它取出；若读到的数大于

59,则舍去；重复的数字只取一个，直到取满10个不超过59的数为止.将10张电影票分

给抽到10名相应编号的学生.

比如，从随机数表第6行的第3列和第4列开始读数，从上至下分别是

35,11,48,77,79,64,58,89,31,55,00,93,80,46,66,12,11,10,….其中II重复出现，

77,79,64,89,93,80,66超过59不能取，这样选取的10个样本号码分别为

35,11,48,58,31,55,00,46,12,10.由此，可把10张电影票分给编号为上述号码的10名学生.

【教师点评】利用抽签法进行简单随机抽样的步骤可分为五个步骤，事实上有些步骤明显地

可以合并两个为一个，无论怎样合并，只要把过程按正确的顺序叙述、符合抽签的规则就

行.随机数表法同理

【强化训练】有一批机器，编号为1,2,3,…，112,为调查机器的质量问题，打算抽取10

台入样，问此样本若采用简单随机抽样方法将如何获得？

【思路点拨】简单随机抽样方法有抽签法和随机数表法，因为样本的容量为10,因此，

两种方法均可以.

［解析］方法一首先，把机器都编上号码001,002,003,…，112,如用抽签法，则把112

个形状、大小相同的号签放在同一个箱子里，进行均匀搅拌，抽签时，每次从中抽出1个号

签，连续抽取10次，就得到一个容量为10的样本.

方法二第一步，将原来的编号调整为00米001,002,003,…,111.

第二步，在随机数表中的任选一数作为开始，任选一方向作为读数方向，比如：选第9行第

7个数“3”,向右读.

第三步，从“3”开始，向右读，每次读取三次，凡不在000〜111中的数跳过去不读，前面已

经读过的也跳过去不读，依次可得到074,100,094,052,080,003,105,107,083,092.

第四步，对应原来编号74,100,94,52,80,3,105,107,83,92的机器便是要抽取的对象.

【教师点评】(1)•个抽样试验能否用抽签法，关键看两点：一是制签是否方便：二是号签

是否易搅匀，一般地，当总体容量和样本容量都较小时可用抽签法.

⑵随机数表中共随机出现0,1,2,…，9十个数字，也就是说，在表中的每个位置上出现各

个数字的机会都是相等的.在使用随机数表时，如遇到三位数或四位数时，可从选择的随机

数表中的某行某列的数字计起，每三个或每四个作为一个单位，自左向右选取，有超过总体

号码或出现重复号码的数字舍去.

【例2】某工厂有1003名工人，从中抽取10人参加体检，试用系统抽样进行具体实施.

【思路点拨】由于总体容量较大，因此，采用系统抽样法进行抽样，又因总体容量不能被样

本容量整除，需先剔除3名工人，使得总体容量能被样本容量整除，取4=*3=100,然

后再利用系统抽样的方法进行.

［解析］(1)将每个人随机编一个号由0001至1003.

(2)利用随机数法找到3个号，将这3名工人剔除.

⑶将剩余的1000名工人重新随机编号0001至1000.

(4)分段，取间隔％==100,将总体均分为10段，每段含100名工人.

⑸从第一段即为0001至0100号中随机抽取一个号L

(6)按编号将L,100+L,20()+L…，900+L共10个号码选出，这10个号码所对应工人组成

样本.

【教师点评】(1)系统抽样时，为保证“等距”分段，应先将多余个体剔除，然后再按系统

抽样步骤进行.

(2)因为每个个体被剔除的可能性也是相等的，所以能保证每个个体被抽到的可能性是相等

的.

【强化训练】某单位共有在岗职工人数为624人，为了调查工人上班时，从离开家到单位平

均所用的时间，决定抽取10%的工人调查这一情况，如何采用系统抽样的方法完成这一抽

样？

【思路点拨】总体中的每个个体，都必须等可能地入样，为了实现“等距”入样，且又等概

率，因此，应先剔除，再“分段”，后定起始位.

［解析］第一步，将在岗的工人624人，用随机方式编号（如按出生年月日顺序），

000,001,002,-1623.第二步，由题意知，应抽取62人的样本，因为不是整数，所

以应从总体中剔除4人（剔除方法用随机数表法，随机定一起始数，向右取三位数.如起始

数为课本附表1中第8行，第19列数，则为1.向右取三位数为199,即编号199被剔除，

若三位数恰大于623或是已被剔除之数，则重新定起始数，反复下去，直到剔除4人为止），

将余下的620人,按编号顺序补齐000,001,002,…619分成62个段,每段10人，在第一段

000,001,002,009这十个编号中,随机定一起始号力,则编号加，曲+10,曲+20,…,

zo+61X10为所抽取的样本.

【教师点评】当总体容量不能被样本容量整除时，可以先从总体中随机地剔除几个个体，使

得总体中剩余的个体数能被样本容量整除.

【例3】某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加

其中一组.在参加活动的职工中，青年人占42.5%,中年人占47.5%,老年人占10%.登山组

的职工占参加活动总人数的，且该组中，青年人占50%,中年人占40%,老年人占10%.

为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样方法从参加活动的

全体职工中抽取一个容量为200的样本.试确定

（1）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；

（2）游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数.

［解析］（1）设登山组人数为x,游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a、

b、c,则有匚华土出=47.5%,l?+3xc=i（）%,解得。=5（）%,c=10%.故a=100%—

50%-10%=40%,即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.

33

（2）游泳组中，抽取的青年人数为200X1X40%=60（人），抽取的中年人数为200义彳

3

X50%=75（人）；抽取的老年人数为200X；X10%=15（人）.

［例4］为了考查某校的教学水平，将抽查这个学校高三年级的部分学生本年度的考试成

绩.为了全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查（已知该校高三年级共有20个班，

并且每个班内的学生已经按随机方式编好了学号，假定该校每班学生的人数相同）：①从高

三年级20个班中任意抽取一个班，再从该班中任意抽取20名学生，考察他们的学习成绩；

②卷个班抽取1人，共计20人，考察这20名学生的成绩；③把学生按成绩分成优秀、良好、

普通三个级别，从其中共抽取100名学生进行考察（已知该校高三学生共1000人，若按成绩

分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人）.根据上面的叙述，试回答

下列问题：

（1）上面三种抽取方式的总体、个体、样本分别是什么？每一种抽取方式抽取的样本中，样

本容量分别是多少？

（2）上面三种抽取方式各自采用的是何种抽取样本的方法？

（3）试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤.

【思路点拨】本题主要考查基本概念和三种抽样方法的联系与区别，准确把握三种抽样方法

的概念与特点是解此题的关键；另外要注意叙述的完整性和条理性.

［解析］(1)这三种抽取方式的总体都是指该校高三全体学生本年度的考试成绩，个体都是指

高三年级每个学生本年度的考试成绩.其中第一种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本

年度的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式的样本为所抽取的20名学生本年度的考

试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式的样本为所抽取的100名学生本年度的考试成绩，

样本容量为100.

(2)三种抽取方式中，第一种采用的是简单随机抽样法；第二种采用的是系统抽样法和简单

随机抽样法；第三种采用的是分层抽样法和简单随机抽样法.

(3)第一种方式抽样的步骤：第一步，用抽签法在这20个班中任意抽取一个班；第二步，从

这个班中按学号用随机数表法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩.

第二种方式抽样的步骤如下：第一步，用简单随机抽样法从第一个班中任意抽取一名学生，

记其学号为。，第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，加上第•个班中的一

名学生，共计20人.

第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层.因为若按成绩分，其中优秀生共150人