专题17 概率的简单性质（解析版）

Page8Page1专题17概率的简单性质1.互斥事件：在一次试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件。2.互斥事件的概率加法公式一般地，当事件C发生则事件A与事件B中至少有一个发生时，称事件C为事件A与事件B的和事件，记作C=AUB。若事件A与事件B互斥，则P(AUB)=P(A)+P(B)，称为互斥事件的概率加法公式。【题型1互斥事件的判断】【题型2概率加法公式的应用】【题型1互斥事件的判断】知识点：判断事件是否互斥的两步骤第一步，确定每个事件包含的结果；第二步，确定是否有一个结果发生会意味着两个事件都发生，若是，则两个事件不互斥，否则就是互斥的。例1.明明同学打靶时连续射击三次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是（

）A．三次均未中靶 B．只有两次中靶C．只有一次中靶 D．三次都中靶【答案】A【分析】根据互斥事件的概念分析判断.【详解】样本空间为：“三次均未中靶”，“只有一次中靶”，“只有两次中靶”和“三次都中靶”，事件“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”、“只有两次中靶”和“三次都中靶”，所以选项B、C、D中的事件与事件“至少有一次中靶”不互斥，事件“三次均未中靶”与事件“至少有一次中靶”互斥，故A正确，B、C、D错误；故选：A.例2.一批产品共7件，其中5件正品，2件次品，从中随机抽取2件，下列两个事件互斥的是（

）A．“恰有2件次品”和“恰有1件次品” B．“恰有1件次品”和“至少1件次品”C．“至多1件次品”和“恰有1件次品” D．“恰有1件正品”和“恰有1件次品”【答案】A【分析】本题考查互斥事件的概念：事件A与事件B不会同时发生．【详解】5件正品，2件次品，从中随机抽取2件共有如下可能性结果：“两件次品”，“一件正品一件次品”，“两件正品”根据互斥事件可知：A正确；“至少1件次品”包含“两件次品”和“一件正品一件次品”，B不正确；“至多1件次品”包含“一件正品一件次品”，“两件正品”，C不正确；“恰有1件正品”和“恰有1件次品”是同一事件，D不正确；故选：A．例3.袋中装有黑、白两种颜色的球各三个，现从中取出两个球，设事件：取出的都是黑球；事件：取出的都是白球；事件：取出的球中至少有一个黑球．则下列结论正确的是（）A．与互斥 B．任何两个均互斥C．和互斥 D．任何两个均不互斥【答案】C【分析】：由互斥事件的定义直接判断．【详解】：设事件：取出的都是黑球；事件：取出的都是白球；事件：取出的球中至少有一个黑球．所以事件与事件互斥．【题型训练1】1．口袋里有两枚“角”的硬币和两枚“元”的硬币，从中任取若干枚，则与事件“总共取出元钱”互斥的事件是（

）A．取出的“1元”硬币仅有一枚B．取出的“5角”硬币仅有一枚C．恰好取出2枚硬币D．恰好取出3枚硬币【答案】B【分析】分析各选项的所指事件与总共取出元钱的事件的关系，再利用互斥事件的意义判断作答.【详解】对于A选项：取出的“1元”硬币仅有一枚，这个事件有取出1元钱，1.5元钱，2元钱，共三个事件，包含了总共取出元钱的事件，A不正确；对于B选项：取出的“5角”硬币仅有一枚，这个事件有取出0.5元钱，1.5元钱，2.5元钱，共三个事件，不包含总共取出元钱的事件，B正确；对于C选项：恰好取出2枚硬币的事件有取出1元钱，1.5元钱，2元钱，共三个事件，包含了总共取出元钱的事件，C不正确；对于D选项：恰好取出3枚硬币的事件有取出2元钱，2.5元钱，共两个事件，包含了总共取出元钱的事件，D不正确.故选：B2．从一批产品中取出三件产品，设事件为“三件产品全不是次品”，事件为“三件产品全是次品”，事件为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是A．事件与互斥 B．事件与互斥C．任何两个事件均互斥 D．任何两个事件均不互斥【答案】B【分析】根据互斥事件的定义，逐个判断，即可得出正确选项．【详解】为三件产品全不是次品，指的是三件产品都是正品，为三件产品全是次品，为三件产品不全是次品，它包括一件次品，两件次品，三件全是正品三个事件由此知：与是互斥事件；与不是互斥事件；与是互斥事件，故选B．3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A．两次都中靶 B．至少有一次中靶C．两次都不中靶 D．只有一次中靶【答案】A【分析】利用互斥事件的定义直接求解．【详解】一个人打靶时连续射击两次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是两次都中靶．故选A．4．（多选）袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（

）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球【答案】BD【分析】根据互斥事件的定义和性质判断.【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.【题型2概率加法公式的应用】知识点：如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)。例4.设为两个互斥事件，且，，则下列各式一定正确的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据互斥事件的含义判断各选项即可.【详解】因为为两个互斥事件，，，所以，即，且.故选：B．例5.已知口袋内有一些大小相同的红球、白球和黄球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或白球的概率为0.4，摸出的球是红球或黄球的概率为0.9，则摸出的球是黄球或白球的概率为（

）A．0.7 B．0.5 C．0.3 D．0.6【答案】A【分析】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，求出、的值，相加即可求解．【详解】设摸出红球的概率为，摸出黄球的概率是，摸出白球的概率为，所以，且，所以，，所以故选:A.例6.甲､乙两个同学下棋，若甲获胜的概率为0.2，甲不输的概率为0.7，则甲､乙下成和棋的概率为（

）A．0.5 B．0.7 C．0.9 D．0.4【答案】A【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．【详解】解：甲不输包含甲、乙两人下成和棋与甲获胜，且甲、乙两人下成和棋与甲获胜是互斥事件，甲、乙下成和棋的概率．故选：A．例7.两个篮球运动员投篮命中的概率分别是0.5和0.4，两人独立地各投一次，只有一人命中的概率是.【答案】/【分析】由互斥事件概率的加法公式即可计算出其概率为.【详解】根据题意可知，两人只有一人命中的概率是.故答案为：例8.袋中有红球、黑球、黄球、绿球共12个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别是，，.【答案】/0.25/0.25【分析】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，根据题意结合互斥事件的概率加法公式，列出方程组，即可求得答案.【详解】设事件A，B，C，D分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，则事件A，B，C，D两两互斥，根据题意，得，解得，，，故答案为：，，例9.假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为，炸中其余两个军火库的概率都为．若只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸．求军火库发生爆炸的概率．【答案】【分析】根据互斥事件的概率公式计算可得.【详解】设以、、分别表示炸中第一、第二、第三个军火库这三个事件，于是，．又设表示军火库爆炸这个事件，则有，其中、、彼此互斥．∴,即军火库发生爆炸的概率．【题型训练2】1.若事件与互斥，且，，则.【答案】0.8/【分析】根据互斥事件概率加法公式计算求解.【详解】因为事件与互斥，且，，所以.故答案为：0.82．已知事件A，B，C两两互斥，若，，，则（

）．A． B． C． D．【答案】B【分析】根据事件A，，两两互斥，求出，进而利用求出答案.【详解】因为事件A，，两两互斥，所以，所以.故选：B．3．甲、乙两人下棋，和棋的概率为，甲获胜的概率为，则甲不输的概率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】甲不输即是和棋或者获胜两种情况，故可得结果.【详解】解：由题意可得，甲不输的情况有：和棋或获胜两种，故其不输的概率为：.故选：A.4．从一批羽毛球产品中任取一个，质量小于4.8g的概率为0.3，质量小于4.85g的概率为0.32，那么质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是．【答案】0.02【分析】把质量小于4.85g的事件分拆成质量小于4.8g的事件与质量在[4.8，4.85)(g)范围内的事件的和，再利用概率的加法公式即可得解.【详解】从羽毛球产品中任取一个，A={质量小于4.8g}，B={质量在[4.8，4.85)(g)范围内}，C={质量小于4.85g}，事件A与B互斥，且C=A+B，而P(A)=0.3，P(C)=0.32，由P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)，得P(B)=P(C)-P(A)=0.32-0.3=0.02，所以质量在[4.8，4.85)(g)范围内的概率是0.02.故答案为：0.025．盒子里装有6个红球，4个白球，从中任取3个球，设事件A表示“3个球中有1个红球，2个白球”，事件B表示“3个球中有2个红球，1个白球”，已知，，则这3个球中既有红球又有白球的概率是.【答案】【分析】记事件为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件和事件，而且事件与事件是互斥的，然后可得答案.【详解】记事件为“3个球中既有红球又有白球”，则它包含事件和事件，而且事件与事件是互斥的所以故答案为：6．某台电话机在打进的电话