专题20 样本的均值和标准差（解析版）

Page8Page1专题20样本的均值和标准差1.均值(平均数)的定义：一组数据的和与这组数的个数的商.数据的样本均值为2.方差、标准差的定义假设一组数据为x1,x2,…,xn,其平均数为,则方差:s2=[++…+]=(xi-)2标准差:s==3.方差、标准差的意义在刻画数据的离散程度或波动幅度上,方差和标准差是一样的,实际问题中,多采用标准差.标准差越大,数据的离散程度越大;标准差越小,数据的离散程度越小.

【题型1均值（平均数）的应用】【题型2方差、标准差的应用】【题型1均值（平均数）的应用】知识点：例1.已知一组数据：96，97，95，99，96，98，100，97，98，96，则下列说法不正确的是（

）A．这组数据的中位数是97 B．这组数据的众数是96C．这组数据的平均数是97 D．这组数据的极差是5【答案】C【分析】根据中位数、众数、平均数、极差的概念求解.【详解】由题意，数据从小到大排列为95，96，96，96，97，97，98，98，99，100，共10个数据，所以这组数据的中位数是，故A正确；在这组数据中96出现的次数最多，故众数是96，故B正确；这组数据的平均数是，故C不正确；这组数据的极差是，故D正确.故选：C.例2.在某学校的期中考试中，高一､高二､高三年级的参考人数分别为.现用分层抽样的方法从三个年级中抽取样本，经计算得高一､高二､高三年级数学成绩的样本平均数分别为，则全校学生数学成绩的总样本平均数为（

）A．92 B．91 C．90 D．89【答案】C【分析】利用分层抽样的特点及平均数公式即可求解.【详解】由题意，总样本平均数为.故选：C.例3.有一组正数共5个，其平均值为，这5个正数再添加一个数28，其平均值为，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【分析】由已知条件，根据平均数的定义直接求解即可.【详解】设这个正数分别为，所以，若增加一个数，则平均数为，因此，即，化简得：，解得：或（舍）.故选：B.例4.为了落实习主席提出“绿水青山就是金山银山”的环境治理要求.某市政府积极鼓励居民节约用水．计划调整居民生活用水收费方案.拟确定一个合理的月用水量标准x（吨）.一位居民的月用水量不超过x的部分按平价收费.超出x的部分按议价收费．为了了解居民用水情况.通过抽样.获得了某年200位居民每人的月均用水量（单位：吨）.将数据按照[0.1）.[1.2）.….[8.9）分成9组.制成了如图所示的频率分布直方图.其中0.4a=b.(1)求直方图中a.b的值.并由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数；(2)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x（吨）.估计x的值．【答案】(1)a=0.15.b=0.06，众数为4.5吨.(2)5.8【分析】（1）由频率直方图的面积和为建立方程组.由此即可求出的值.再根据估计众数的定义即可求解；（2）分别求出前组.前组的频率和，估计出的范围.再根据范围建立方程，由此即可求解．【详解】（1）由题意可得.解得，.由频率分布直方图估计该市居民用水量的众数为吨.（2）因为前6组的频率和为，前5组的频率和为.所以，由，解得，所以估计月用水量标准为吨时，的居民每月的用水量不超过标准．【题型训练1】1．为了学习､宣传和践行党的二十大精神，某班组织全班学生开展了以“学党史､知国情､圆梦想”为主题的党史暨时政知识竞赛活动.已知该班男生26人，女生24人，根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为82，86，则该班成绩的平均分是（

）A．82 B．83.24 C．83.92 D．84【答案】C【分析】求得班级得分总和再求平均数.【详解】根据题意，可得该班成绩的平均分是.故选：C2．（多选）已知一组数据3，3，，8，3，12，6，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则的值可能是（

）A． B． C． D．28【答案】ABD【分析】根据中位数、众数以及平均数定义计算即可.【详解】由题意得，这组数据的平均数为，众数是3.因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，若，则中位数为3，此时，解得，满足题意；若，则中位数为，此时，解得，满足题意；若，则中位数为6，此时，解得.故选：ABD.3．某统计数据共有11个样本，它们依次成公差的等差数列，若第位数为，则它们的平均数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据分位数的定义判断第位数的位置，再利用等差数列的性质和平均数的计算公式求解即可.【详解】由题意可知共有个样本，且从小到大依次排列，因为，所以，所以，所以这11个样本的平均数为，故选：D4．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若他们的平均数相等，则图中的值是．

【答案】【分析】根据平均数相等得到关于的方程，则结果可求.【详解】因为,解得，故答案为：.5.树人中学国旗班共有50名学生，其中男女比例，平均身高174cm，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为20的样本，若样本中男生的平均身高为178cm，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为(

)A．8人

168cm B．8人

170cm C．12人

168cm D．12人

170cm【答案】A【分析】根据分层抽样的概念求出样本女生人数，根据平均数的计算法即可求样本中女生的身高估计值．【详解】由题意可知，样本中男生人数为，女生人数为8，则样本中女生的平均身高为．故选：A．【题型2方差、标准差的应用】知识点：方差:s2=[++…+]=(xi-)2标准差:s==例5.一组数据为，下列说法正确的个数是（

）①这些数据的众数是6②这些数据的中位数是③这些数据的平均数是7④这些数据的标准差是A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】将原数据组由小到大排列，根据众数、中位数、平均数、标准差的定义逐一计算即可.【详解】依题意，原数据组由小到大排列为：，所以这组数据的众数是6或8，故①错误；中位数是6，故②错误；平均数为.故③错误；方差为，标准差为.故④正确.故选：A.例6.某公司有营销部门、宣传部门以及人事部门，其中营销部门有50人，平均工资为5千元，方差为4，宣传部门有40人，平均工资为3千元，方差为8，人事部门有10人，平均工资为3千元，方差为6，则该公司所有员工工资的方差为（

）A．6.4 B．6.6 C．6.7 D．6.8【答案】D【分析】先求出所有人的平均工资，结合方差公式计算即可求解.【详解】所有人的平均工资为千元，故该公司所有员工工资的方差为.故选：D．例7.已知一个样本由三个，三个和四个组成，则这个样本的标准差（

）．A． B． C． D．【答案】C【分析】根据样本方差及标准差的公式直接计算.【详解】由已知样本的平均数，则方差，则标准差，故选：C.例8.若一组个数据、、、的平均数为，方差为，则．【答案】【分析】利用方差公式可得出的值.【详解】由题意可知，这个数据的平均数为，方差为，解得.故答案为：.例9.某杨梅种植户从购买客户中随机抽取20位客户做质量随访调查，其中购买系列（大棚种植）的10位，购买系列（自然种植）的10位，从杨梅的大小、口感、水分、甜度进行综合打分（满分100分），打分结果记录如下：系列（大棚种植）：84

81

79

76

95

88

93

86

86

92系列（自然种植）：92

95

80

75

83

87

90

80

85

93(1)分别写出这两个系列综合打分的中位数．(2)分别求出这两个系列综合打分的平均数与方差，通过上述数据结果进行分析，你认为推广哪种系列种植更合适？【答案】(1)系列，系列(2)系列平均数，方差，系列平均数，方差，推广系列种植更合适【分析】（1）将两个系列的数从小到大排列后，根据中位数的定义求解即可；（2）根据平均数和方差的定义求解即可，再根据方差的大小即可决定要推广的系列.【详解】（1）解：系列的打分结果从小到大排列为76，79，81，84，86，86，88，92，93，95，所以系列综合打分的中位数为．系列的打分结果从小到大排列为75，80，80，83，85，87，90，92，93，95，所以系列综合打分的中位数为．（2）解：系列综合打分的平均数，方差．系列综合打分的平均数，方差．因为两个系列综合打分的中位数相等，平均数相等，方差满足，所以推广系列种植更合适．例10.某高中为配合爱国主义教育，开展国防科技知识竞赛，预赛后，将成绩最好的甲、乙两个班学生（每班都是40人）的得分情况做成如下的条形图（20道单项选择题，每题5分，满分100分）.记甲、乙两班学生得分的平均数分别为，方差分别为，已求得(1)分别求出甲、乙两班的学生得分为95分及以上的频率；(2)试计算，并判断哪个班的学生的成绩波动更小.【答案】(1)0.3，0.425；(2)，甲班学生的成绩波动更小.【分析】（1）利用条形图计算频率即可；（2）利用方差公式计算结合及方差的意义判定即可.【详解】（1）甲班得分为95分及以上的学生有人，故频率为；

乙班得分为95分及以上的学生有人，故频率为（2）因为，所以方差；显然，所以，甲班学生的成绩波动更小.【题型训练2】1．如图为某中型综合超市年的年总营业额（单位：万元）的统计图，则下列说法错误的是（

）

A．年的年总营业额的极差为2200万元B．年的年总营业额波动性比年的年总营业额波动性小C．年的年总营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势D．年的年总营业额的中位数是2019年和2020年的年总营业额的平均数【答案】D【分析】根据统计图表数据一一分析即可.【详解】对于A：年的年总营业额的最大值为3400万元，最小值为1200万元，所以极差为（万元），故A正确；对于B：年的年总营业额波动性比年的年总营业额波动性小，故B正确；对于C：年的年总营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势，故C正确；对于D：年的年总营业额按从小到大的顺序排列为：1200万元、2000万元、2100万元、2200万元、2400万元、2800万元、3200万元、3400万元，所以年年总营业额的中位数是2200万元和2400万元的平均数，即2017年和2018年的年总营业额的平均数，故D错误．故选：D2．某次知识竞赛共有12人参赛，比赛分为红、黄两队，每队由六人组成.其中红队6人答对题目的平均数为3，方差为5，黄队6人答对题目的平均数为5，方差为3，则参加比赛的12人答对题目的方差为（

）A．5 B．4.5 C．3.5 D．18【答案】A【分析】根据题意，求得12个人的平均答对题目的个数为，结合方差的公式，即可求解.【详解】由题意，这12个人的平均答对题目的个数为，则新数据的方差为.故选：A.3.某老师对比甲、乙两名学生最近5次数学月考成绩，甲：，乙：，则下列结论正确的是（

）A．甲成绩的平均数较小 B．乙成绩的中位数较大C．乙成绩的极差较大 D．乙比甲的成绩稳定【答案】D【分析】分别计算出两组数据的平均数、中位数、极差和方差即可得答案.【详解】设甲、乙成绩的平均数分别为，方差分别为，则，，，甲成绩的平均数较大，故A错误；甲成绩的中位数为129，乙成绩的中位数为119，乙成绩的中位数较小，故B错误；甲成绩的极差为，乙成绩的极差为，乙成绩的极差较小，故C错误；，，，乙比甲的成绩稳定，故D正确．故选：D．4.（多选）已知一组数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，则（

）A．B．这组数据的众数和中位数均为4C．这组数据的方差为3.8D．若将这组数据每一个都加上0.3，则所有新数据的方差不变【答案】ACD【分析】根据平均数求得原始数据，再利用众数、中位数，方差的公式，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，因为数据：3，3，4，4，4，x，5，5，6，6的平均数为5，可得，解得，所以A正确；对于B中，将数据从小到大排列，可得3，3，4，4，4，5，5，6，6，10，可得数据的众数为4，中位数为，所以B不正确；对于C中，由，所以C正确；对于D中，若将这组数据每一个都加上0.3，此时平均数变为，，则所有新数据的方差不变，所以D正确.故选：ACD.5．某高校共有“机器人”兴趣团队20个，将这20个团队分为甲､乙两组，每组10个团队，进行理论和实践操作考试（共150分），甲､乙两组的成绩如下（单位：分）：甲：125，141，140，137，122，114，119，139，121，142乙：127，116，144，127，144，116，140，140，116，140学校计划从甲、乙两组中选一组参加机器人大赛，从统计学角度分析，若最终选择甲组，理由是什么？若最终选择乙组，理由是什么？【答案】答案见解析【分析】由平均数公式、方程公式可以分别依次求得甲和乙的平均数以及公差，从两个方面比较即可求解.【详解】甲组成绩的平均数，乙组成绩的平均数.甲组数据的方差，乙组数据的方差.选甲组理由：甲、乙两组平均数相差不大，但，甲组成绩波动小.选乙组理由：，在比赛中，高分团队获胜的概率大.6．为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的