山东省威海市荣成第三十七中学高三数学理联考试题含解析

山东省威海市荣成第三十七中学高三数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设m，n为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题中正确的是（）A．若m，n与α所成的角相等，则m∥nB．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nC．若m?α，n?β，m∥n，则α∥βD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n参考答案：D【考点】四种命题；空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】空间位置关系与距离．【分析】把选项中的符号语言还原为几何图形，根据空间中的平行与垂直关系，即可得出正确的选项．【解答】解：对于A，当直线m，n与平面α所成的角相等时，不一定有m∥n，∴A错误；对于B，当m∥α，n∥β，且α∥β时，m∥n不一定成立，∴B错误；对于C，当m?α，n?β，且m∥n时，α∥β不一定成立，∴C错误；对于D，当n⊥β，α⊥β时，n∥α或n?α，又m⊥α，∴m⊥n，D正确．故选：D．【点评】本题考查了几何符号语言的应用问题，解题时应注意符号语言与几何图形的应用，是基础题目．2.数列{}的前项和，若p-q=5,则=（

）A.10

B.15

C.-5

D.20参考答案：D【知识点】等差数列及等差数列前n项和解析：当n≥2，an=Sn﹣Sn﹣1=2n2﹣3n﹣2（n﹣1）2+3n﹣3=4n﹣5a1=S1=﹣1适合上式，所以an=4n﹣5，所以ap﹣aq=4（p﹣q），因为p﹣q=5，所以ap﹣aq=20故选：：D．【思路点拨】利用递推公式当n≥2，an=Sn﹣Sn﹣1，a1=S1可求an=4n﹣5，再利用ap﹣aq=4（p﹣q），p﹣q=5，即可得出结论．3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（A）若且，则

（B）若且，则（C）若且，则

（D）若且，则参考答案：【答案解析】B

解析：A.直线成角大小不确定；B.把分别看成平面的法向量所在直线，则易得B成立.所以选B.【思路点拨】根据空间直线和平面位置关系的判断定理与性质定理进行判断.4.已知直三棱柱的6个顶点都在球的球面上,若,,则球的半径为

（）A． B． C． D．参考答案：C5.在中，条件甲：，条件乙：，则甲是乙的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件参考答案：C略6.设集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x＞﹣1}，则A∩B=（）A．{0，1} B．{﹣1，0} C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】由A与B，求出两集合的交集即可．【解答】解：∵A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x＞﹣1}，∴A∩B={0，1，2}，故选：D．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.如果在一次试验中，测得()的四组数值分别是

123433.85.26根据上表可得回归方程，据此模型预报当为5时，的值为

A．6.9 B．

7.1 C．7.04 D．7.2参考答案：B8.已知复数z满足=3，i是虚数单位，则（）A．1+3i B．1﹣3i C．3i D．﹣3i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．【解答】解：∵=3，∴z+3i=3z﹣3i，∴z=3i，则=﹣3i，故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.右图是一个几何体的三视图（左视图中的弧线是半网），则该几何体的表面积

A．20+3π

B．24+3π

C．20+4π

D．24+4π参考答案：A略10.

数列表示不超过实数x的最大整数，则

（

）

A．1 B．

C．

D．

参考答案：答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选讲选做题)如图，四边形ABCD内接于

，AB为的直径，直线MN切于D，

，则

．参考答案：略12.已知向量a和b的夹角是60°，

。参考答案：4试题分析：因为向量a和b的夹角是60°，，所以考点：平面向量的数量积.13.若，且，=参考答案：

14.在极坐标系中，极点到直线的距离为________.参考答案：【分析】首先将极坐标化为直角坐标，然后利用点到直线距离公式可得距离.【详解】极坐标方程化为直线方程即：x＋y－2＝0，极点坐标即（0,0），所以距离为：.【点睛】本题主要考查极坐标与直角坐标的互化，点到直线距离公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.如图在三角形ABC中，E为斜边AB的中点，CD⊥AB，AB＝1,则的最大值是

.参考答案：.略16.对于大于或等于2的正整数m的n次方幂有如下分解方式：

根据上述分解规律．若m3（m∈N*）的分解中最小的数是91，则m的值为

。参考答案：17.已知点A（1，0），过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，则m的取值范围是．参考答案：（2，+∞）【考点】J7：圆的切线方程．【分析】过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，即为A在圆外，把已知圆的方程化为标准方程后，找出圆心坐标和半径r，列出关于m的不等式，同时考虑﹣1大于0，两不等式求出公共解集即可得到m的取值范围．【解答】解：把圆的方程化为标准方程得：（x+）2+y2=﹣1，所以圆心坐标为（﹣，0），半径r=，由题意可知A在圆外时，过点A可作圆x2+y2+mx+1=0的两条切线，所以d＞r即1+m+1＞0，且﹣1＞0，解得：m＞2，则m的取值范围是（2，+∞）．故答案为：（2，+∞）．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.在△ABC中，设内角A，B，C的对边分别为a，b，c向量=（cosA，sinA），向量=（﹣sinA，cosA），若|+|=2．（1）求角A的大小；（2）若b=4，且c=a，求△ABC的面积．参考答案：【考点】余弦定理的应用．【专题】综合题．【分析】（1）先根据向量模的运算表示出，然后化简成y=Asin（wx+ρ）+b的形式，再根据正弦函数的性质和||=2可求出A的值．（2）先根据余弦定理求出a，c的值，再由三角形面积公式可得到最后答案．【解答】解：（Ⅰ）∵∴===∵∴又∵0＜A＜π∴∴，∴（Ⅱ）由余弦定理，，即∴c=8∴【点评】本题主要考查向量的求模运算、余弦定理和三角形面积公式的应用．向量和三角函数的综合题是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．19.一个盒子中装有5张卡片，每张卡片上写有一个数字，数字分别是1、2、3、4、5，现从盒子中随机抽取卡片。（1）从盒中依次抽取两次卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，求两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数的概率；（2）若从盒子中有放回的抽取3次卡片，每次抽取一张，求恰有两次取到卡片的数字为偶数的概率；（3）从盒子中依次抽取卡片，每次抽取一张，取出的卡片不放回，当放回记有奇数的卡片即停止抽取，否则继续抽取卡片，求抽取次数X的分布列和期望。

参考答案：解：（Ⅰ）因为1,3,5是奇数，2、4是偶数，设事件A为“两次取到的卡片的数字既不全是奇数，也不全是偶数”……2分

或

4分（Ⅱ）设表示事件“有放回地抽取3次卡片，每次抽取一张，恰有两次取到的卡片上数字为偶数”，由已知，每次取到的卡片上数字为偶数的概率为，

……6分则．

……8分（Ⅲ）依题意，的可能取值为．，

，

，

…11分

所以的分布列为．

…12分

略20.已知椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，且点F1到椭圆C上任意一点的最大距离为3，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)是否存在斜率为－1的直线l与以线段F1F2为直径的圆相交于A、B两点，与椭圆相交于C、D，且？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.参考答案：解：(1)设，的坐标分别为，，根据椭圆的几何性质可得，解得，，则，故椭圆的方程为.(2)假设存在斜率为的直线，那么可设为，则由(1)知，的坐标分别为，，可得以线段为直径的圆为，圆心到直线的距离，得，，联立得，设，，则，得，，，解得，得.即存在符合条件的直线.

21.（10分）设函数，（1）若不等式的解集，求的值；（2）若，求的最小值．参考答案：(1)，

…………5分

(2)

…10分22.在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的方程为x2+=1，直线l的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ﹣2=0． （Ⅰ）写出C的参数方程和直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）设l与C的交点为P1，P2，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程． 参考答案：【考点】简单曲线的极坐标方程． 【分析】（I）由曲线C的方程可得参数方程为：（θ为参数）．利用即可把直线l的极坐标方程化为直角坐标方程． （II）联立，解得交点坐标，可得线段P1P2的中点M．垂直于l的直线斜率为，利用点斜式即可得出直角坐标方程，再化为极坐标方程即可． 【解答】解：（I）曲线C的方程为x2+=1，可得参数方程为：（