湖南省湘潭市金薮中学高三数学理上学期期末试卷含解析

湖南省湘潭市金薮中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.存在函数f（x）满足，对任意x∈R都有（）A．f（sin2x）=sinx B．f（sin2x）=x2+x C．f（x2+1）=|x+1| D．f（x2+2x）=|x+1|参考答案：D【考点】函数的概念及其构成要素．【分析】利用x取特殊值，通过函数的定义判断正误即可．【解答】解：A．取x=0，则sin2x=0，∴f（0）=0；取x=，则sin2x=0，∴f（0）=1；∴f（0）=0，和1，不符合函数的定义；∴不存在函数f（x），对任意x∈R都有f（sin2x）=sinx；B．取x=0，则f（0）=0；取x=π，则f（0）=π2+π；∴f（0）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；C．取x=1，则f（2）=2，取x=﹣1，则f（2）=0；这样f（2）有两个值，不符合函数的定义；∴该选项错误；D．令x+1=t，则f（x2+2x）=|x+1|，化为f（t2﹣1）=|t|；令t2﹣1=x，则t=±；∴；即存在函数f（x）=，对任意x∈R，都有f（x2+2x）=|x+1|；∴该选项正确．故选：D．2.函数的图象大致为

（

）参考答案：A3.阅读图的程序框图，运行相应的程序，当输入x的值为﹣36时，输出x的值为（）A．0 B．1 C．3 D．15参考答案：A【考点】程序框图．【分析】根据题意，按照程序框图的顺序进行执行，当|x|≤1时跳出循环，输出结果．【解答】解：当输入x=﹣36时，|x|＞1，执行循环，x=6﹣2=4；|x|=4＞1，执行循环，x=2﹣2=0，|x|=0＜1，退出循环，输出的结果为x=1﹣1=0．故选：A4.已知双曲线过其左焦点F1作x轴的垂线交双曲线于A，B两点，若双曲线右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围为

A．（2，+∞）

B．（1，2）

C．（，+∞）

D．（1，）参考答案：A略5.已知全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={1，4}，则（?UA）∪B为（）A．{1} B．{1，5} C．{1，4} D．{1，4，5}参考答案：D【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】由全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}先求出CUA={1，5}，再由B={1，4}，能求出（CUA）∪B．【解答】解：∵全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，∴CUA={1，5}，∵B={1，4}，∴（CUA）∪B={1，4，5}．故选：D．【点评】本题考查集合的交、交、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．6.若复数（i是虚数单位），则z的共轭复数是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：D详解：由题意，∴，故选D.

7.若函数f（x）=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R，则k的取值范围是（）A．（0，） B．[0，） C．[0，] D．（﹣∞，0]∪（，+∞）参考答案：B【考点】对数函数的定义域；二次函数的性质．【专题】计算题；数形结合．【分析】由于函数f（x）=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R则kx2+4kx+3＞0对任意的x恒成立然后分k=0和k≠0进行讨论即可．【解答】解：∵函数f（x）=log2（kx2+4kx+3）的定义域为R∴kx2+4kx+3＞0对任意的x恒成立∴当k=0时3＞0对任意的x恒成立，符合题意当k≠0时要使kx2+4kx+3＞0对任意的x恒成立只需即可，此时综上所述k故选B【点评】此题主要考查了恒成立的问题．解题的关键是将问题转化为kx2+4kx+3＞0对任意的x恒成立然后利用数形结合的思想将问题转化为函数g（x）=kx2+4kx+3的图象恒在x轴上方！要注意k=0不能漏掉讨论！8.函数f（x）=lg的定义域为(

)A．[0，1] B．（﹣1，1） C．[﹣1，1] D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：B【考点】函数的定义域及其求法．【分析】对数的真数一定要大于0，进而构造不等式进行求解．【解答】解：由知1﹣x2＞0，即x2＜1，进而得到﹣1＜x＜1故函数的定义域为（﹣1，1）故选B【点评】考查对数真数的要求，即，真数要大于0．9.设锐角的内角对边分别为，若则的取值范围是（）A．

B．

C．

D．

参考答案：C略10.上的奇函数满足，当时，，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.观察下列等式：；；；…，根据上述规律，第个等式为___________________________

_．参考答案：略12.在区域内随机撒一把黄豆，落在区域N＝内的概率是__________．参考答案：略13.已知圆与直线相交于、两点，则当的面积最大时，实数的值为

．参考答案：14.（5分）已知直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，下列命题中真命题序号为①直线l的斜率为tanθ；②存在实数λ，使得对任意的θ，直线l恒过定点；③对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆相切；④若圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，则λ=±1．参考答案：②③④①当cosθ=0时，直线l没有斜率，故①不正确；②当λ=0时，直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ=0，当sinθ=0时，cosθ=1，直线l：﹣y=0过定点（0，0），当sinθ≠0时，直线l：x﹣y=0过定点（0，0），∴存在实数λ=0，使得对任意的θ，直线l恒过定点（0，0），故②正确；③∵直线l：xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0，∴点（﹣1，0）到直线l的距离d==|λ|，∴对任意非零实数λ，都有对任意的θ，直线l与同一个定圆（x+1）2+y2=λ2相切，故③正确；④∵圆O：（x+1）2+y2=4上到直线l距离为1的点恰好3个，∴圆（x+1）2+y2=4的圆心（﹣1，0）到直线xsinθ﹣ycosθ+sinθ+λ=0的距离为1，∴|﹣sinθ﹣0+sinθ+λ|=1，解得λ=±1．故④正确．故答案为：②③④．15.已知抛物线的焦点为F，点A(2，0)，射线FA与抛物线C相交于点M，

与其准线相交于点N，则_________．参考答案：16.已知锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则的取值范围是________参考答案：17.已知平面区域Ω=，直线l:和曲线C:有两个不同的交点，直线l与曲线C围城的平面区域为M，向区域Ω内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数m的取值范围是__________。参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）已知的三内角、、所对的边分别是，，，向量＝(cosB，cosC)，＝(2a+c，b)，且⊥.（1）求角的大小；（2）若，求的范围参考答案：19.已知函数f(x)=，A（x1，m），B（x2，m）是曲线y=f（x）上两个不同的点．（Ⅰ）求f（x）的单调区间，并写出实数m的取值范围；（Ⅱ）证明：x1+x2＞0．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到m的范围即可；（Ⅱ）问题转化为证f（x1）＜f（﹣x1），只需证（x1∈（﹣1，0）），令h（x）=（x﹣1）e2x+x+1＜0，则h'（x）=（2x﹣1）e2x+1，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：f（x）的定义域为R．（Ⅰ），由f'（x）=0得，x=0，由f'（x）＞0得，x＜0，由f'（x）＜0得，x＞0，所以f（x）的单调增区间为（﹣∞，0），单调减区间为（0，+∞），m的取值范围是（0，1）．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x1∈（﹣1，0），要证x2＞﹣x1＞0，只需证f（x2）＜f（﹣x1）因为f（x1）=f（x2）=m，所以只需证f（x1）＜f（﹣x1），只需证，只需证（x1∈（﹣1，0））令h（x）=（x﹣1）e2x+x+1＜0，则h'（x）=（2x﹣1）e2x+1，因为（h'（x））'=4xe2x＜0，所以h'（x）在（﹣1，0）上单调递减，所以h'（x）＞h'（0）=0，所以h（x）在（﹣1，0）上单调递增，所以h（x）＜h（0）=0，所以，故x1+x2＞0…20.在平面直角坐标系xOy中曲线C的直角坐标方程为，直线l过点，且倾斜角为.以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l的参数方程和曲线C的极坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于A，B两点，求的值.参考答案：（1）（t为参数），（2）【分析】（1）根据直线的参数方程的定义和已知条件可求得直线l的参数方程，根据极坐标与平面直角坐标方程的互化公式可得曲线C的极坐标方程;

（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，可得，再运用方程的根与系数的关系和直线的参数的几何意义可求得所求的值.【详解】（1）直线l的参数方程为（t为参数），由，得，即曲线C的极坐标方程为.（2）将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得，设A，B两点对应的参数分别为，则，，，.【点睛】本题考查参数方程与普通方程,极坐标方程与平面直角方程的互化,以及直线的参数方程中的几何意义的运用,注意在运用直线参数方程中的几何意义时,直线的参数方程必需是关于所需定点的直线的标准参数方程,属于基础题.21.如图，ABC﹣A1B1C1是底面边长为2，高为的正三棱柱，经过AB的截面与上底面相交于PQ，设C1P=λC1A1（0＜λ＜1）．（Ⅰ）证明：PQ∥A1B1；（Ⅱ）当时，求点C到平面APQB的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【分析】（I）由平面ABC∥平面A1B1C1，利用线面平行的性质定理可得：AB∥PQ，又AB∥A1B1，即可证明PQ∥A1B1．（II）建立如图所示的直角坐标系．设平面APQB的法向量为=（x，y，z），则，利用点C到平面APQB的距离d=即可得出．【解答】证明：（I）∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面ABC∩平面ABQP=AB，平面ABQP∩平面A1B1C1=QP，∴AB∥PQ，又∵AB∥A1B1，∴PQ∥A1B1．解：（II）建立如图所示的直角坐标系．∴O（0，0，0），P（0，0，），A（0，1，0），B（﹣，0，0），C（0，﹣1，0），∴=（0，﹣1，），=（﹣，﹣1，0），=（0，﹣2，0），设平面APQB的法向量为=（x，y，z），则，可得，取=，∴点C到平面APQB的距离d===．22.（本小题12分）“地沟油”严重危害了人民群众的身体健康，某企业在政府部门的支持下，进行技术攻关，新上了一种从“食品残渣”中提炼出生物柴油的项目，经测算，该项目月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可以近似的表示为：且每处理一吨“食品残渣”，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将补贴.(1)当x∈[200,300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损.(2)该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？参考答案：(1)当x∈[200,300]时，设该项目获利为S，则S＝200x－(x2－200x＋80000)＝－x2＋400x－80000＝－(x－400)2，