山西省运城市阳城中学高三数学文期末试卷含解析

山西省运城市阳城中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若不等式x2＋ax＋1≥0对于一切恒成立，则a的最小值是()A．0

B．－2

C．

D．－3参考答案：D略2.已知集合，，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A3.令，函数，满足以下两个条件：①当时，或；②，，，则实数的取值范围是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：B,当时，,所以当时，，,所以

因为，，所以当时，值域包含，所以，选B.点睛：研究二次函数单调性的思路(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A?（A?）即区间A一定在函数对称轴的左侧(右侧)．4.已知的三边长成公差为的等差数列，且最大角的正弦值为，则这个三角形的周长是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：A试题分析：设三边分别为，最大角大于，因此最大角是，由余弦定理得，解得（舍去），因此三边长为，三角形的周长，故答案为A.考点：1、等差数列的概念；2、余弦定理的应用.5.设函数，其中常数满足.若函数（其中是函数的导数）是偶函数，则等于(

)A．

B．

C.

D．参考答案：A由题意得，∵函数为偶函数，∴．又，∴．选A．

6.关于x的不等式ax+b<0的解集为{x|x>1}，则关于x的不等式的解集为（

）

A．（1，2）

B．（－1，2）

C．（－∞，－1）∪（2，+∞）

D．（2，+∞）参考答案：B7.要得到函数的图象，只要把函数的图象()A．向右平移个单位

B．向左平移个单位C．向右平移个单位

D．向左平移个单位参考答案：D8.函数的零点所在的大致区间是(

)

A.（1,2）

B.（e，3）

C.（2，e）

D.（e，+∞）参考答案：C略9.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为(

)

A.

B.

C.

D.

参考答案：D略10.下列四个图像中，是函数图像的是参考答案：B由函数定义知（2）不符合，故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.无穷数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n都有Sn∈{k1，k2，k3，…，k10}，则a10的可能取值最多有个．参考答案：91【考点】8E：数列的求和．【分析】根据数列递推公式可得a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，分类讨论即可求出答案．【解答】解：a10=S10﹣S9，而S10，S9∈{k1，k2，k3，…，k10}，若S10≠S9，则有A102=10×9=90种，若S10=S9，则有a10=0，根据分类计数原理可得，共有90+1=91种，故答案为：9112.__

．参考答案：答案：

解析：略13.已知x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，且f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，则f（0）=．参考答案：【考点】函数的图象．【分析】根据已知可得函数f（x）的周期T=8，且在[1，5]上为减函数，进而求出φ=，可得答案．【解答】解：∵x=1，x=5是函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0）两个相邻的极值点，∴=5﹣1=4，∴T=8，∵ω＞0∴ω=，∵f（x）在x=2处的导数f′（2）＜0，∴函数f（x）在[1，5]上为减函数，故+φ=，φ=，∴f（0）=cos=，故答案为：．14.一只蚂蚁在边长分别为3，4，5的三角形的边上爬行，某时刻该蚂蚁距离三角形的三个顶点的距离均超过1的概率是_______。参考答案：15.命题“”的否定是

。参考答案：16.设，则方向上的投影为

。参考答案：17.在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（bienao）.已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）ex，t∈R．（Ⅰ）若函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为4x﹣y+1=0，则求t的值（Ⅱ）若函数y=f（x）有三个不同的极值点，求t的值；（Ⅲ）若存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式f（x）≤x恒成立，求正整数m的最大值．参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【专题】计算题；函数的性质及应用；导数的概念及应用；导数的综合应用．【分析】（Ⅰ）求出导数，求出切线的斜率，令f′（0）=4，即可得到t；（Ⅱ）求出导数，令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，求出g（x）的导数，求得g（x）的极值，令极小值小于0，极大值大于0，解不等式即可得到t的范围；（Ⅲ）先将存在实数t∈[0，2]，使不等式f（x）≤x恒成立转化为将t看成自变量，f（x）的最小值）≤x；再构造函数，通过导数求函数的单调性，求函数的最值，求出m的范围．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=（x3﹣6x2+3x+t）ex，则f′（x）=（x3﹣3x2﹣9x+3+t）ex，函数f（x）在点（0，f（0））处的切线斜率为f′（0）=3+t，由题意可得，3+t=4，解得，t=1；

（Ⅱ）f′（x）=（x3﹣3x2﹣9x+3+t）ex，令g（x）=x3﹣3x2﹣9x+3+t，则方程g（x）=0有三个不同的根，又g′（x）=3x2﹣6x﹣9=3（x2﹣2x﹣3）=3（x+1）（x﹣3）令g′（x）=0得x=﹣1或3且g（x）在区间（﹣∞，﹣1），（3，+∞）递增，在区间（﹣1，3）递减，故问题等价于即有，解得，﹣8＜t＜24；

（Ⅲ）不等式f（x）≤x，即（x3﹣6x2+3x+t）ex≤x，即t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x．转化为存在实数t∈[0，2]，使对任意的x∈[1，m]，不等式t≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x恒成立．即不等式0≤xe﹣x﹣x3+6x2﹣3x在x∈[1，m]上恒成立．即不等式0≤e﹣x﹣x2+6x﹣3在x∈[1，m]上恒成立．设φ（x）=e﹣x﹣x2+6x﹣3，则φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6．设r（x）=φ'（x）=﹣e﹣x﹣2x+6，则r'（x）=e﹣x﹣2，因为1≤x≤m，有r'（x）＜0．故r（x）在区间[1，m]上是减函数．又r（1）=4﹣e﹣1＞0，r（2）=2﹣e﹣2＞0，r（3）=﹣e﹣3＜0故存在x0∈（2，3），使得r（x0）=φ'（x0）=0．当1≤x＜x0时，有φ'（x）＞0，当x＞x0时，有φ'（x）＜0．从而y=φ（x）在区间[1，x0]上递增，在区间[x0，+∞）上递减．又φ（1）=e﹣1+4＞0，φ（2）=e﹣2+5＞0，φ（3）=e﹣3+6＞0，φ（4）=e﹣4+5＞0，φ（5）=e﹣5+2＞0，φ（6）=e﹣6﹣3＜0．所以当1≤x≤5时，恒有φ（x）＞0；当x≥6时，恒有φ（x）＜0；故使命题成立的正整数m的最大值为5．【点评】本题考查利用导数求切线方程、函数的极值、极值点是导函数的根、解决不等式恒成立常用的方法是构造函数利用导数求函数的最值．19.已知函数f（x）=x3+bx2+cx（b，c∈R）的图象在点x=1处的切线方程为6x﹣2y﹣1=0，f′（x）为f（x）的导函数．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）设g（x）=aex（a∈R）（e=2.71828…是自然对数的底数），若存在x0∈[0，2]，使g（x0）=f′（x0）成立，求a的取值范围．参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）由f′（x）=3x2+2bx+c，知f（x）在x=1处的切线方程为y=（3+2b+c）x﹣2﹣b，故，由此能求出f（x）．（Ⅱ）若存在x0∈（0，2]使g（x0）=f′（x0）成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，故a=，令h（x）=，则h′（x）=，由此能求出a的取值范围．解答： 解：（Ⅰ）∵f′（x）=3x2+2bx+c，∴f（x）在x=1处的切线方程为y﹣（1+b+c）=（3+2b+c）（x﹣1），即y=（3+2b+c）x﹣2﹣b，∴，即b=﹣，c=3．（Ⅱ）若存在x0∈（0，2]使g（x0）=f′（x0）成立，即方程g（x）=f′（x）在（0，2]上有解，∴a?ex=3x2﹣3x+3，∴a=，令h（x）=，∴h′（x）=，令h′（x）=0，得x1=1，x2=2，列表讨论：x（0，1）1（1，2）2h′（x）﹣0+0h（x）↓极小值↑极大值∴h（x）有极小值h（1）=，h（x）有极大值h（2）=，且当x→0时，h（x）→3＞，∴a的取值范围是[，3）．点评：本题考查实数值和实数取值范围的求法，具体涉及到导数的应用、函数极值的求法和应用、切线方程的求法和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．20.已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若直线是曲线的切线，求实数的值；（3）设在区间上的最小值.（其中e为自然对数的底数）参考答案：（1）的单调递减区间是和，单调递增区间是；（2）；（3）当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.试题分析：（1）先求出导函数，分别令导函数大于0即可求出增区间，导数小于0即可求出减区间；（2）首先设出切点坐标，然后直接利用切线的斜率即为切点处的导数值以及切点是直线与曲线的共同点可得方程组，解之即可求实数的值；（3）先求出的导函数，分三种情况讨论函数在区间上的单调性，即当，即时，在区间上为增函数，所以最小值为；当，即时，在区间上为减函数，所以最小值为；当，即时，最小值=.进而求得其在区间上的最小值.试题解析：（1），（），在区间和上，；在区间上，.所以，的单调递减区间是和，单调递增区间是.（2）设切点坐标为，则,解得，.（3），则，令，解得，所以，在区间上，为递减函数，在区间上，为递增函数.当，即时，在区间上，为递增函数，所以最小值为.当，即时，在区间上，为递减函数，所以最小值为.当，即时，最小值=.综上所述，当时，最小值为；当时，的最小值=；当时，最小值为.考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上的最值.21.（本小题14分）已知函数在其定义域上满足：，①函数的图象是否是中学对称图形？若是，请指出其对称中心（不证明）②当时，求的取值范围③若，数列满足，那么若正整数N满足n>N时，对所有适合上述条件的数列，恒成立，求最小的N。参考答案：解：1）。若是中心对称图形，对称中心为（-2a,1）2),又，所以3）.，，由要使恒成立，只需所以N=322.如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BCC1B1是矩形，截面A1BC是等边三角形．（Ⅰ）求证：AB=AC；（Ⅱ）若AB⊥AC，三棱柱的高为1，求C1点到截面A1BC的距离．参考答案：【考点】点、线、面间的距离计算；棱柱的结构特征．【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析；（Ⅰ）取BC中点O，连OA，OA1．证明BC⊥平面A1OA，即可证明：AB=AC；（Ⅱ）利用等体积法，即可求C1点到截面A1BC的距离．（Ⅰ）证明：取BC中点O，连OA，OA1．因为侧面BCC