湖南省长沙市杨梓中学高三数学文摸底试卷含解析

湖南省长沙市杨梓中学高三数学文摸底试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，顶角为120°，则E的离心率为(

)A． B．2 C． D．参考答案：D【考点】双曲线的简单性质．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】设M在双曲线﹣=1的左支上，由题意可得M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得a=b，再由离心率公式即可得到所求值．【解答】解：设M在双曲线﹣=1的左支上，且MA=AB=2a，∠MAB=120°，则M的坐标为（﹣2a，a），代入双曲线方程可得，﹣=1，可得a=b，c==a，即有e==．故选：D．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的离心率的求法，运用任意角的三角函数的定义求得M的坐标是解题的关键．2.已知a，b∈R，i是虚数单位，若a﹣i与2+bi互为共轭复数，则（a+bi）2=（）A．5﹣4i B．5+4i C．3﹣4i D．3+4i参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值，即可得到（a+bi）2的值．【解答】解：∵a﹣i与2+bi互为共轭复数，则a=2、b=1，∴（a+bi）2=（2+i）2=3+4i，故选：D．3.（5分）（2015?池州二模）已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为（）A．﹣3B．0C．1D．3参考答案：C考点：简单线性规划．专题：计算题；不等式的解法及应用．分析：作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移，可得当x=1，y=0时，z取得最大值1．解答：解：作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（﹣1，1），B（2，1），C（1，0）设z=F（x，y）=x﹣2y，将直线l：z=x﹣2y进行平移，当l经过点C时，目标函数z达到最大值∴z最大值=F（1，0）=1故选：C点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x﹣2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．4.给出下列命题：①函数的定义域是（-3,1）;②在区间(0,1)中随机地取出两个数，则两数之和小于1的概率是；；③如果数据x1、x2、…、xn的平均值为，方差为S2，则3x1+5、3x2+5、…、3xn+5的方差为9S2；④直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9相交；其中真命题个数是

()A．1 B．2

C．3

D．4参考答案：C5.设集合,，则等于（）A．B．C．D．参考答案：B，，所以，答案选B.6.若函数的图象关于直线对称，则的最小正值为(

)A．3

B．4

C.5

D．6参考答案：C7.已知椭圆的离心率为,双曲线的渐近线与椭圆有四个交点,以这四个交点为顶点的四边形的面积为16,则椭圆的方程为 A． B． C． D．参考答案：D略8.在复平面内表示复数的点位于（

）第一象限

第二象限第三象限

第四象限

参考答案：A9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.64

B.32

C.96

D.48参考答案：A10.已知定义在上的可导函数的导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，，，则与的夹角为

参考答案：略12.若是正实数，则的最小值是 参考答案：13.在△ABC中，AC边上的高为BD，垂足为D，且｜｜＝，则·

＝___________．参考答案：-3略14.已知向量且

则的最小值为

参考答案：6;15.如图，AB，CD是半径为的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=，∠OAP=30°，则CP＝_______________。参考答案：略16.已知函数f(x)＝若f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为________．参考答案：17.定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的焦距为4，焦点三角形的周长为4+12，则椭圆C的方程是．参考答案：【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可知c=2，根据焦点三角形的定义及椭圆的定义，求得a的值，则b2=a2﹣c2=36﹣20=16，即可求得椭圆方程．【解答】解：由题意可知：焦点F1，F2，则丨F1F2丨=2c=4，c=2，由椭圆的定义可知：丨AF1丨+丨AF2丨=2a，焦点三角形AF1F2周长L=丨AF1丨+丨AF2丨+丨F1F2丨=2a+2c，则a=6，b2=a2﹣c2=36﹣20=16，∴椭圆的标准方程为：，故答案为：，三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.选修4﹣5：不等式选讲已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若恒成立，求k的取值范围．参考答案：【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．【专题】综合题；压轴题．【分析】（Ⅰ）先解不等式|ax+1|≤3，再根据不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}，分类讨论，即可得到结论．（Ⅱ）记，从而h（x）=，求得|h（x）|≤1，即可求得k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由|ax+1|≤3得﹣4≤ax≤2∵不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣2≤x≤1}．∴当a≤0时，不合题意；当a＞0时，，∴a=2；（Ⅱ）记，∴h（x）=∴|h（x）|≤1∵恒成立，∴k≥1．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查恒成立问题，将绝对值符号化去是关键，属于中档题．19.（14分）设椭圆的对称中心为坐标原点,其中一个顶点为,右焦点与点的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)是否存在经过点的直线,使直线与椭圆相交于不同的两点满足？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.参考答案：解:(1)依题意,设椭圆方程为,则其右焦点坐标为,由,得,即,故.又∵,∴,从而可得椭圆方程为.-----------6分(2)由题意可设直线的方程为,由知点在线段的垂直平分线上,由消去得,即可得方程（*）当方程（*）的即时方程（*）有两个不相等的实数根.设,,线段的中点,则是方程（*）的两个不等的实根,故有.从而有

,.于是,可得线段的中点的坐标为又由于,因此直线的斜率为,由,得，即，解得，∴，∴综上可知存在直线：满足题意.--------------14分20.（本小题满分12分）甲、乙、丙三名优秀的大学毕业生参加一所重点中学的招聘面试，面试合格者可以签约。甲表示只要面试合格就签约，乙与丙则约定，两个面试都合格就一同签约，否则两人都不签约。设每个人面试合格的概率都是P，且面试是否合格互不影响。已知至少有1人面试合格概率为。

(1)求P。

(2)求签约人数的分布列和数学期望值。参考答案：解：（1）至少1人面试合格概率为（包括1人合格2人合格和3人都合格），这样都不合格的概率为1-=。（1-P）3=

P=（2）签约人数取值为0、1、2、3签约人数为0的概率：都不合格（1-）3=，甲不合格，乙丙至少一人不合格*（1-*）-（1-）3（甲乙丙都不合格）=签约人数为0的概率：+=签约人数为1的概率：甲合格，乙丙至少一人不合格：*（1-*）=签约人数为2的概率:甲不合格，乙丙全部合格：**（1-）=签约人数为3的概率:甲乙丙均合格：（）3=分布表：签约人数0123概率数学期望：E＝121.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B⊥平面ABC，AB⊥AC．（Ⅰ）求证：AC⊥BB1；（Ⅱ）若AB＝AC＝A1B＝2，在棱B1C1上确定一点P，使二面角P－AB－A1的平面角的余弦值为．参考答案：（Ⅰ）在三棱柱中，因为，平面，所以平面平面，………………（2分）因为平面平面，，所以平面，所以.…………………（4分）设平面的一个法向量为，因为，，即所以令得，…………………（10分）而平面的一个法向量是，则，解得，即P为棱的中点，其坐标为.……………………（12分）22.（本