福建省福州市长乐江田中学高三数学理上学期摸底试题含解析

福建省福州市长乐江田中学高三数学理上学期摸底试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.某几何体的三视图如图所示，它的体积（

）A．12π

B.45π

C.57π

D.81π参考答案：C

2.等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5=8，S3=6，则S10﹣S7的值是（）A．24 B．48 C．60 D．72参考答案：B【考点】等差数列的性质；等差数列的前n项和．【分析】利用条件a5=8，S3=6，计算等差数列的首项，公差，进而可求S10﹣S7的值【解答】解：设等差数列的首项为a1，公差为d∵a5=8，S3=6，∴∴∴S10﹣S7=a8+a9+a10=3a1+24d=48故选B．3.等比数列中，，则“”是“”的

A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件参考答案：B4.已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，且f（α）=1，α∈（0，），则cos（2）=（）A． B． C．﹣ D．参考答案：C【考点】H2：正弦函数的图象．【分析】由图象可得A值和周期，由周期公式可得ω，代入点（，﹣3）可得φ值，可得解析式，再由f（α）=1和同角三角函数基本关系可得．【解答】解：由图象可得A=3，=4（﹣），解得ω=2，故f（x）=3sin（2x+φ），代入点（，﹣3）可得3sin（+φ）=﹣3，故sin（+φ）=﹣1，+φ=2kπ﹣，∴φ=2kπ﹣，k∈Z结合0＜φ＜π可得当k=1时，φ=，故f（x）=3sin（2x+），∵f（α）=3sin（2α+）=1，∴sin（2α+）=，∵α∈（0，），∴2α+∈（，），∴cos（2）=﹣=﹣，故选：C．5.如果变量满足条件上，则的最大值（

）参考答案：D略6.若则的大小关系 （A）

（B）（C）

（D）参考答案：B7.两个非零向量，的夹角为，则“”是“为锐角”的（

）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B8.若奇函数在区间上是增函数，又=0，则不等式的解集为A．

B．C．

D．参考答案：B9.下列命题中的假命题是

(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：B略10.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A． B． C． D．参考答案：A【分析】几何体为不规则放置的四棱锥，做出棱锥的直观图，利用作差法求出棱锥的体积即可．【解答】解：由三视图可知几何体为直三棱柱切去一个三棱锥得到的四棱锥，直观图如图所示：其中直三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形，AB=BC=2，AB⊥BC，直三棱柱的高AA1=2，∴四棱锥B﹣ACC1A1的体积V=V﹣V=﹣=．故选A．【点评】本题考查了空间几何体的三视图，空间几何体的体积计算，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.函数的定义域是．参考答案：（0，1]【考点】函数的定义域及其求法；对数函数的定义域．【专题】计算题．【分析】令被开方数大于等于0，然后利用对数函数的单调性及真数大于0求出x的范围，写出集合区间形式即为函数的定义域．【解答】解：∴0＜x≤1∴函数的定义域为（0，1]故答案为：（0，1]【点评】求解析式已知的函数的定义域应该考虑：开偶次方根的被开方数大于等于0；对数函数的真数大于0底数大于0小于1；分母非0．12.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为

．参考答案：

本题考查了椭圆与双曲线方程中a、b、c的关系以及离心率的求解，难度中等。由椭圆知，，所以双曲线的离心率为，所以，解得a=2,b=所以双曲线方程为。13.已知函数f（x）满足：f（1）=，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y）（x，y∈R），则f（814）=

．参考答案：【考点】抽象函数及其应用．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用赋值法，分别求出f（1）…f（9）得出f（x）的周期是6，故求出答案．【解答】解：∵4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x﹣y），令x=1，y=0，则4f（1）f（0）=f（1）+f（1），∴f（0）=，再令x=y=1，得f（2）=﹣，再令x=2，y=1，得f（3）=﹣，再令x=2，y=2，得f（4）=﹣，再令x=3，y=2，得f（5）=，再令x=3，y=3，得f（6）=，再令x=4，y=3，得f（7）=，再令x=4，y=4，得f（8）=，再令x=5，y=4，得f（9）=﹣，由此可以发现f（x）的周期是6，∵2014÷6=135余4，．∴f（814）=f（135×6+4）=f（4）=．故答案为：﹣．【点评】本题主要考查了抽象函数及其应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中档题14.，则a＋b=

参考答案：315.

已知一个球与一个二面角的两个半平面都相切，若球心到二面角的棱的距离是，切点到二面角棱的距离是1，则球的体积是 。参考答案：答案：

16.函数在上单调递减，则的取值范围是

．参考答案：略17.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC1上的动点，过点A，P，Q的平面截正方体所得的截面为S，当时，S的面积为

．参考答案：当CQ=1时，Q与C1重合，取A1D1的中点F，连接AF，可证PC1∥AF，且PC1=AF，

可知截面为APC1F为菱形，故其面积为.

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AD∥BC，∠ADC=90°，且AD=2BC=2CD，PA=PB=PD．（1）求证：平面PAD丄平面ABCD；（2）若∠PAD=45°且PA=，E，F分别是PA，PC的中点，求多面体PEBFD的体积．参考答案：（1）见解析；（2）．试题分析：（1）通过证明平面内的平面，可证得平面平面.（2）利用，可求得所求体积.试题解析：（1）证明：如图，分别取，的中点，，连接，，，，则四边形为正方形，∴，∴，又，∴，∴平面，∴，∵，∴．又∵与为平面内的两条相交直线，∴平面，又平面，∴平面平面．（2）解：∵且，则由，知．∵，分别是，的中点，∴三棱锥与三棱锥的高均等于，∴，，又，∴．19.选修4﹣1：几何证明选讲如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，过点P的割线交圆于B、C两点，弦CD∥AP，AD、BC相交于点E，F为CE上一点，且DE2=EF?EC．（1）求证：CE?EB=EF?EP；（2）若CE：BE=3：2，DE=3，EF=2，求PA的长．参考答案：【考点】与圆有关的比例线段．【专题】选作题．【分析】（I）由已知可得△DEF∽△CED，得到∠EDF=∠C．由平行线的性质可得∠P=∠C，于是得到∠EDF=∠P，再利用对顶角的性质即可证明△EDF∽△EPA．于是得到EA?ED=EF?EP．利用相交弦定理可得EA?ED=CE?EB，进而证明结论；（II）利用（I）的结论可得BP=，再利用切割线定理可得PA2=PB?PC，即可得出PA．【解答】（I）证明：∵DE2=EF?EC，∠DEF公用，∴△DEF∽△CED，∴∠EDF=∠C．又∵弦CD∥AP，∴∠P=∠C，∴∠EDF=∠P，∠DEF=∠PEA∴△EDF∽△EPA．∴，∴EA?ED=EF?EP．又∵EA?ED=CE?EB，∴CE?EB=EF?EP；（II）∵DE2=EF?EC，DE=3，EF=2．∴32=2EC，∴．∵CE：BE=3：2，∴BE=3．由（I）可知：CE?EB=EF?EP，∴，解得EP=，∴BP=EP﹣EB=．∵PA是⊙O的切线，∴PA2=PB?PC，∴，解得．【点评】熟练掌握相似三角形的判定和性质定理、平行线的性质、对顶角的性质、相交弦定理、切割线定理是解题的关键．20.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.点D的线段BC上，且，.（Ⅰ）求AB的长；（Ⅱ）求△ABD的面积.参考答案：（Ⅰ）6.（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）在，中分别使用余弦定理可求AB的长；（Ⅱ）先求的面积，利用与面积之间的关系可求【详解】（Ⅰ）在中，由余弦定理得①又在中，在中，又,即②联立①②得，,即.（Ⅱ）.【点睛】本题主要考查利用余弦定理求解三角形的边长及三角形面积，侧重考查数学运算的核心素养.21.选修4-2：矩阵与变换已知矩阵不存在逆矩阵，求：（1）实数a的值；（2）矩阵A的特征向量.参考答案：（1）由题意，即，解得；（2），即，所以，解得，时，，，属于的一个特征向量为；时，，，属于的一个特征向量为.22.（本小题满分10分）在极坐标系中，曲线，过点A（5，α）（α为锐角且）作平行于的直线，且与曲线L分别交于B，C两点。（1）以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，取与极坐标相