15.2-线段的垂直平分线

第15章

轴对称图形与等腰三角形第2节线段的垂直平分线课堂讲解课时流程12线段垂直平分线的画法线段垂直平分线的性质线段垂直平分线的判定逐点导讲练课堂小结课后作业1知识点线段垂直平分线的画法知1－讲怎样作出线段的垂直平分线?问

题知1－讲通过折纸可以作出线段的垂直平分线.在半透明纸上画一条线段AA'，折纸，使A与A'重合，得到的折痕l是线段AA'的垂直平分线（如图).步骤1步骤2步骤3知1－讲也可以用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线.

知1－讲下面介绍用尺规作图，作出线段AB的垂直平分线.作法：1.分别以点A，B为圆心，大于交于点E，F.2.过点E，F作直线.则直线EF就是线段AB的垂直平分线（如图).2知识点线段垂直平分线的性质知2－讲思考

为什么这样作出的直线EF，就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O，你能给出证明吗？知2－讲线段的垂直平分线的性质：1.定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；

条件：点在线段的垂直平分线上；结论：这个点到线段两端的距离相等．表达方式：如图，l⊥AB，AO＝BO，点P在l上，则AP＝BP.2.作用：可用来证明两线段相等．（来自《点拨》）知2－讲（来自《点拨》）例1(山东临沂)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(

)A．AB＝AD

B．CA平分∠BCDC．AB＝BD

D．△BEC≌△DECC知2－讲导引：根据线段垂直平分线的性质得出AB与AD的关系，结合三角形全等对四个选项进行逐一验证．∵AC垂直平分BD，∴AB＝AD，BC＝DC，又∵AC＝AC，∴△ABC≌△ADC，∴∠BCA＝∠DCA.又∵BC＝DC，CE＝CE，∴△BEC≌△DEC，∴选项A，B，D成立．知2－讲（来自《点拨》）总

结平面几何图形问题的解决方法：分析图形，结合已知条件对基本图形的形状进行判定是常用的方法，然后再根据具体图形的性质作出判断即可．

知2－讲例2如图，在△ABC中，AC＝5，AB的垂直平分线DE交AB，AC于点E，D，(1)若△BCD的周长为8，求BC的长；(2)若BC＝4，求△BCD的周长．知2－讲导引：由DE是AB的垂直平分线，得AD＝BD，所以BD与CD的长度和等于AC的长，所以由△BCD的周长可求BC的长，同样由BC的长也可求△BCD的周长．知2－讲解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴BD＋CD＝AD＋CD＝AC＝5.(1)∵△BCD的周长为8，∴BC＝△BCD的周长－(BD＋CD)＝8－5＝3.(2)∵BC＝4，∴△BCD的周长＝BC＋BD＋CD＝5＋4＝9.（来自《点拨》）知2－讲（来自《点拨》）总

结本题运用了转化思想，用线段垂直平分线的性质把BD的长转化成AD的长，从而把未知的BD与CD的长度和转化成已知的线段AC的长．本题中AC的长、BC的长及△BCD的周长三者可互相转化，知其二可求第三者．

知2－讲（来自《点拨》）例3如图，在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝90°，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD的度数是________．10°知2－讲导引：在△ABC中，∵∠B＝90°，∠A＝40°，∴∠ACB＝50°.∵MN是线段AC的垂直平分线，∴DC＝DA，AE＝CE.又∵DE＝DE，∴△ADE≌△CDE(SSS)，∴∠DCE＝∠A＝40°.∴∠BCD＝∠ACB－∠DCA＝50°－40°＝10°.知2－讲总

结利用线段的垂直平分线的性质和定义得出边相等，从而得出三角形全等，再利用全等三角形中对应角相等确定∠DCA的度数，根据角度差解决问题．（来自《点拨》）知2－练（来自《典中点》）1(中考·义乌)如图，直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，已知线段PA＝5，则线段PB的长度为(

)A．6B．5C．4D．3B知2－练(中考·临沂)如图，在四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是(

)A．AB＝AD

B．CA平分∠BCD

C．AB＝BD

D．△BEC≌△DEC2（来自《典中点》）C知2－练3(中考·遂宁)如图，在△ABC中，AC＝4cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，若△BCN的周长是7cm，则BC的长为(

)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cm（来自《典中点》）C知2－练(中考·荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40cm，24cm，则AB＝________．4（来自《典中点》）16cm3知识点线段垂直平分线的判定知3－讲思考你能写出上面定理的逆命题吗？它是真命题吗？如果是真命题，请给出证明.知3－讲线段的垂直平分线的判定：1．定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．(1)条件：点到线段两端距离相等；结论：点在线段垂直平分线上．(2)表达方式：如图，∵PA＝PB，∴点P在线段AB的垂直平分线上．知3－讲(3)作用：①作线段的垂直平分线的依据；②可用来证线段垂直、相等．2．拓展：三角形三边的垂直平分线交于一点，这点到三角形的三个顶点的距离相等，这个点叫这个三角形的外心．（来自《点拨》）知3－讲例4如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E.求证：直线AD是CE的垂直平分线．导引：根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠CAD，结合已知条件可证△ADE≌△ADC，所以DE＝DC，AE＝AC，所以点D、A都在CE的垂直平分线上，从而就能证明结论．知3－讲证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD.∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠AED＝∠ACB＝90°.又∵AD＝AD，∴△ADE≌△ADC，∴CD＝DE，AC＝AE，∴点D、A都在CE的垂直平分线上，∴直线AD是CE的垂直平分线．（来自《点拨》）知3－讲总

结利用判定定理证一条直线是线段的垂直平分线，必须证明这条直线上有两点到线段两端的距离相等(即证有两点在线段的垂直平分线上)．易错之处：只证明一个点在线段的垂直平分线上，就说过该点的直线是线段的垂直平分线．因为过该点的直线有无穷多条，其中只有一条是线段的垂直平分线．注意：证线段的垂直平分线也可以利用定义．

知3－讲例5已知：如图，△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.求证：点P在BC的垂直平分线上.（来自教材）知3－讲证明：连接PA，PB，PC.∵点P在AB,AC的垂直平分线上,（已知）∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∴PB=PC.(等量代换）∴点P在BC的垂直平分线上.（到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）知3－讲例6如图，已知AB＝AD，BC＝DC，E是AC上一点，求证：(1)BE＝DE；(2)∠ABE＝∠ADE.知3－讲导引：(1)连接BD，要证BE＝DE，只要证明E点是线段BD的垂直平分线上的点即可．由AB＝AD，说明A点是线段BD的垂直平分线上的点，由BC＝DC，说明C点也是线段BD的垂直平分线上的点，所以AC是线段BD的垂直平分线，而已知E是AC上一点，问题得以解决．(2)要证明角相等，只需证明△ABE≌△ADE即可．知3－讲证明：(1)连接BD，如图，∵AB＝AD，BC＝CD，∴A，C两点均在线段BD的垂直平分线上．∴AC是线段BD的垂直平分线．又∵E是AC上一点，∴BE＝DE.

知3－讲证明：(2)在△ABE和△ADE中，∵AB＝AD，BE＝DE，AE＝AE，∴△ABE≌△ADE(SSS)，∴∠ABE＝∠ADE.（来自《点拨》）知3－讲总

结（来自《点拨》）由线段的垂直平分线的判定定理确定AC是线段BD的垂直平分线，再由线段垂直平分线的性质得BE＝DE，这是线段垂直平分线的性质和判定定理的综合运用．

知3－讲例7如图，某城市规划局为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A，B，C之间修建一个购物中心，试问：该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？知3－讲导引：本题转化为数学问题就是要找一个点，使它到三角形的三个顶点的距离相等．首先考虑到A，B两点距离相等的点应该在线段AB的垂直平分线上，到B，C两点距离相等的点应该在线段BC的垂直平分线上，两条垂直平分线的交点即为所求的点．知3－讲解：连接AB，BC，分别作AB，BC的垂直平分线DE，GF，两直线交于点M，则点M就是所要确定的购物中心的位置．如图.

（来自《点拨》）知3－讲总

结（来自《点拨》）解决作图选点性问题：若要找到某两个点的距离相等的点，一般在这两点所连线段的垂直平分线上去找．

知3－练锐角三角形ABC内有一点P，满足PA＝PB＝PC，则点P是△ABC(

)A．三条角平分线的交点B．三条中线的交点C．三条高的交点D．三边垂直平分线的交点1（来自《典中点》）D知3－练如图，点D在三角形ABC的BC边上