2017-2018学年山东省济南市槐荫区九年级(上)期末数学试卷

2017-2018学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷

一、第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在

试卷上无效.一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1.（4分）在平面直角坐标系中，点（3,-4）所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.（4分）tan45。的值为（）

A.返B.返C.1D.V3

32

3.（4分）使函数丫=后谕意义的自变量x的取值范围是（）

A.x》3B.x》0C.xW3D.xWO

4.（4分）若双曲线打土工位于第二、四象限，则k的取值范围是（）

x

A.k<lB.C.k>lD.kWl

5.（4分）如图，。0是Z\ABC的外接圆，若NABC=40。，则NAOC的度数为（）

C.60°D.80°

6.（4分）某一次函数的图象经过点（1,2）,且y随x的增大而减小，则这个

函数的表达式可能是（）

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=3x+lD.-y=3x-1

7.（4分）当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为（）

A.-2B.1C.2D.9

8.（4分）如图，直线y=2x+4与x,y轴分别交于点A,B,以OB为底边在y轴

右侧作等腰△OBC,将点C向左平移4个单位，使其对应点U恰好落在直线

AB上，则点C的坐标为（）

9.（4分）我市某小区实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条

600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图

所示，则下列说法中，正确的个数有（）个.

①甲队每天挖100米；

②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；

④甲队比乙队提前2天完成任务.

10.（4分）在4X4的正方形网格中，^ABC和aDEF的顶点都在边长为1的正

方形的顶点上，则图中NACB的正切值为（）

332

11.（4分）已知抛物线y=lx2+l具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F

4

（0,2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为他,3）,

P是抛物线y=L<2+i上一个动点，则APIVIF周长的最小值是（）

4C.5D.6

（分）如图，已知直线：门返

12.4I过点A（0,1）作y轴的垂线交直线I

丫3

于点B,过点B作直线I的垂线交y轴于点Ai；过点Ai作y轴的垂线交直线I

于点Bi，过点Bi作直线I的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则

点A4的坐标为（）

A.(0,128)B.(0,256)C.(0,512)D.(0,1024)

二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的

横线上.）

13.（4分）一次函数y=2x-1一定不经过第象限.

14.（4分）如图，一人乘雪橇沿坡比1：«的斜坡笔直滑下72米，那么他下降

的高度为米.

15.（4分）如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3,5）,则关于x的不等

式kx+6>x+b的解集是

16.（4分）已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：

x...-1012...

y...0343...

该二次函数图象向左平移个单位，图象经过原点.

17.（4分）如图，BD是。。的切线，B为切点，连接DO与。0交于点C,AB

为。。的直径，连接CA,若ND=30。，的半径为4,则图中阴影部分的面

18.（4分）如图，矩形OABC的边OA,0C分别在x轴、y轴上，点B在第一象

限，点D在边BC上，且/AOD=30。，四边形OABD与四边形OABD关于直线

0D对称（点A，和A,B，和B分别对应）.若AB=1,反比例函数y=k（kWO）

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤.）

19.（6分）在Rt^ABC中，NC=90°,AB=8,cosA=W.求BC的长.

4

20.（6分）已知直线y=-当+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线y=2x+b

3

经过点B且与x轴交于点C.求4ABC的面积.

21.（6分）密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国

最高的纪念碑，如图.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各

有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.

22.（8分）如图，AB是。。的直径，AC是。。的切线，BC与。。相交于点D,

点E在。。上，且DE=DA,AE与BC相交于点F.

（1）求证：ZCAD=ZB；

23.（10分）某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，

经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件.为了增加销量，每

降价1元，日销售量可增加2件.在确保盈利的前提下，当降价多少元时，

每天的利润最大？最大利润是多少？

24.（10分）如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45。，沿着仰角为

30。的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°,求山的高

度？

B

25.（10分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函

数y=2L的图象经过点A（2,2）.

X

（1）分别求这两个函数的表达式；

（2）将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B,与反比例函数图象在第

一象限内的交点为C,连接AB,AC,求点C的坐标及^ABC的面积；

（3）反比例函数图象上是否存在点D,使DCLBC?若存在，请求出点D的坐标;

26.（10分）如图，正方形ABOD的边长为2,点。是坐标系的原点，点B在x

轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点

F.

（1）求直线CD的函数关系式；

（2）过点C作CEJ_DF且交x轴于点E,求证：ZADC=ZEDC；

（3）求点E坐标；

（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值.

27.（12分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A（3,0）,D

（-1，0）,与y轴交于点C,点B在y轴正半轴上，且OB=OD.

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1,抛物线的顶点为点E,对称轴交x轴于点M,连接BE,AB,请在

抛物线的对称轴上找一点Q,使NQBA=NBEM,求出点Q的坐标；

（3）如图2,过点C作CF〃x轴，交抛物线于点F,连接BF,点G是x轴上一

点，在抛物线上是否存在点N,使以点B,F,G,N为顶点的四边形是平行四

边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由.

图1图2

2017-2018学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、第I卷为选择题，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案写在

试卷上无效.一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在

每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1.（4分）在平面直角坐标系中，点（3,-4）所在的象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【分析】应先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限.

【解答】解：二•点的横坐标3>0,纵坐标-4<0,

.•.点P（3,-4）在第四象限.

故选：D.

【点评】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点.四

个象限的符号特点分别是：第一象限（+,+）;第二象限（-,+）;第三象限

（-,-）；第四象限（+,-）.

2.（4分）tan45。的值为（）

A.返B.返C.1D.V3

32

【分析】根据特殊角的三角函数值即可求出答案.

【解答】解:tan45°=l,

故选：C.

【点评】本题考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟记特殊角三角函数值，

本题属于基础题型.

3.（4分）使函数y=愿不有意义的自变量x的取值范围是（）

A.xN3B.xNOC.xW3D.xWO

【分析】根据被开方数是非负数，可得答案.

【解答】解：由题意，得

3-x20,

解得xW3,

故选：C.

【点评】本题考查了函数自变量的取值范围，利用被开方数是非负数是解题关键.

4.（4分）若双曲线厂土工位于第二、四象限，则k的取值范围是（）

x

A.k<lB.C.k>lD.kWl

【分析】由反比例函数图象的位置在第二、四象限，可以得出k-lVO,然后解

这个不等式就可以求出k的取值范围.

【解答】解：•.•双曲线打gL位于第二、四象限，

x

Ak-1<0,

/.k<l.

故选:A.

【点评】本题主要考查了反比例函数的图象及其性质，用到的知识点：对于反比

例函数y=k来说，当k>0,双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一

X

象限内y随x的增大而减小；当kVO,双曲线的两支分别位于第二、第四象

限，在每一象限内y随x的增大而增大.

5.（4分）如图，。。是4ABC的外接圆，若NABC=40。，则NAOC的度数为（）

A.20°B.40°C.60°D.80°

【分析】由。。是4ABC的外接圆，若NABC=40。，根据圆周角定理，即可求得

答案.

【解答】解：是^ABC的外接圆,NABC=40。，

，ZAOC=2ZABC=80°.

故选：D.

【点评】此题考查了圆周角定理.此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用.

6.（4分）某一次函数的图象经过点（1,2）,且y随x的增大而减小，则这个

函数的表达式可能是（）

A.y=2x+4B.y=-2x+4C.y=3x+lD.-y=3x-1

【分析】设一次函数关系式为y=kx+b,y随x增大而减小，则kVO；图象经过点

（1,2）,可得k、b之间的关系式.综合二者取值即可.

【解答】解：设一次函数关系式为y=kx+b,

•.•图象经过点（1,2）,

:.k+b=2；

•••y随x增大而减小，

/.k<0.

即k取负数，满足k+b=2的k、b的取值都可以.

故选:B.

【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数的性质，为开放性

试题，答案不唯一.只要满足条件即可.

7.（4分）当二次函数y=x2+4x+9取最小值时，x的值为（）

A.-2B.1C.2D.9

【分析】把二次函数整理成顶点式形式，再根据二次函数的最值问题解答.

【解答】解:y=x2+4x+9=（x+2）2+5>

...当x=-2时，二次函数有最小值.

故选：A.

【点评】本题考查了二次函数的最值问题，整理成顶点式形式求解更加简便.

8.（4分）如图，直线y=2x+4与x,y轴分别交于点A,B,以OB为底边在y轴

右侧作等腰△OBC,将点C向左平移4个单位，使其对应点C恰好落在直线

AB上，则点C的坐标为（）

A.(5,2)B.(4,2)C.(3,2)D.(-1,2)

【分析】先求出直线y=2x+4与y轴交点B的坐标为（0,4）,再由C在线段OB

的垂直平分线上，得出C点纵坐标为2,将y=2代入y=2x+4,求得x=-L即

可得到C的坐标为（-1,2）.

【解答】解：•.•直线y=2x+4与y轴交于B点,

x=0时，

得y=4,

AB（0,4）.

•••以OB为边在y轴右侧作等腰三角形OBC,

...C在线段0B的垂直平分线上，

.•・C点纵坐标为2.

将y=2代入y=2x+4,得2=2x+4,

解得x=-l.

则C（-1,2）,

将其向右平移4个单位得到C（3,2）.

故选：C.

【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，等边三角形的性质，坐标与

图形变化-平移，得出C点纵坐标为2是解题的关键.

9.（4分）我市某小区实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条

600米长的管道，所挖管道长度y（米）与挖掘时间x（天）之间的关系如图

所示，则下列说法中，正确的个数有（）个.

①甲队每天挖100米；

②乙队开挖两天后，每天挖50米；

③当x=4时，甲、乙两队所挖管道长度相同；

④甲队比乙队提前2天完成任务.

【分析】根据函数图象中的数据可以计算出各个小题中的量是否正确，从而可以

解答本题.

【解答】解：由图象可得，

甲队每天挖：600+6=100米，故①正确，

乙队开挖两天后，每天挖：(500-300)4-(6-2)=50米，故②正确，

当甲乙挖的管道长度相等时，100x=300+(x-2)X50,得x=4,故③正确，

甲队比乙队提前完成的天数为：(600-300)+50+2-6=2(天)，故④正确，

故选：D.

【点评】本题考查函数的图象，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要

的条件，利用数形结合的思想解答.

10.(4分)在4X4的正方形网格中，^ABC和aDEF的顶点都在边长为1的正

方形的顶点上，则图中NACB的正切值为()

A.2B.1.C.返D.3

332

【分析】根据勾股定理即可求出AC、BC、DE、DF的长度，然后证明△FDEsA

ABC,推出NACB=NDFE,由此即可解决问题.

【解答】解：由勾股定理可求出：BC=2&,AC=2代，DF=V10>DE=&,

•FD-V2FE-V2ED一衣

••一一，，L-，

AC2BC2AB2

•••-F--D----”E..D....E...F...,

ACABBC

.'.△FDE^ACAB,

；.NDFE=NACB,

tanZDFE=tanZACB=—,

3

故选：B.

【点评】本题考查解直角三角形，涉及勾股定理，相似三角形的判定与性质，解

题的关键是灵活运用相似三角形的性质解决问题.

1L（4分）已知抛物线y=L<2+i具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F

4

（0,2）的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为（、行，3）,

P是抛物线y=L<2+i上一个动点，则△PMF周长的最小值是（）

4

A.3B.4C.5D.6

【分析】过点M作MElx轴于点E,交抛物线y=lx2+l于点P,由PF=PE结合

4

三角形三边关系，即可得出此时aPIVIF周长取最小值，再由点F、M的坐标

即可得出MF、ME的长度，进而得出aPIVIF周长的最小值.

【解答】解：过点M作ME，x轴于点E,交抛物线y=L<2+i于点p,此时△PMF

4

周长最小值，

VF（0,2）^M（我，3）,

.♦.ME=3,FM寸（加内产+⑶2）

.,.△PMF周长的最小值=ME+FM=3+2=5.

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关

系确定点P的位置是解题的关键.

12.（4分）如图，已知直线I：齐返x，过点A（0,1）作y轴的垂线交直线I

3

于点B,过点B作直线I的垂线交y轴于点Ai；过点Ai作y轴的垂线交直线I

于点Bi，过点Bi作直线I的垂线交y轴于点A2；…；按此作法继续下去，则

点A4的坐标为（）

A.(0,128)B.(0,256)C.(0,512)D.(0,1024)

【分析】根据所给直线解析式可得I与x轴的夹角，进而根据所给条件依次得到

点Ai，A2的坐标，通过相应规律得到A4坐标即可

【解答】解：•••直线I的解析式为；y=逅x，

3

•F与x轴的夹角为30。，

•.•AB〃x轴，

,ZABO=30°,

VOA=1,

OB=2,

•*

VAiB±l,

/.ZABAi=60",

/.AiO=4,

AAi（0,4）,

同理可得A2（0,16）,

，A4纵坐标为44=256,

/.A4(0,256).

故选:B.

【点评】本题考查的是一次函数综合题，先根据所给一次函数判断出一次函数与

x轴夹角是解决本题的突破点；根据含30。的直角三角形的特点依次得到A、

Ai、A2、A3…的点的坐标是解决本题的关键.

二、填空题（本大题共6个小题.每小题4分，共24分.把答案填在答题卡的

横线上.）

13.（4分）一次函数v=2x-1一定不经过第二象限.

【分析】根据一次函数图象与系数的关系求解.

【解答】解：•••k=2>0,b=-KO,

...一次函数图象在一、三、四象限，即一次函数图象不经过第二象限.

故答案为：二.

【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系：由于y=kx+b与y轴交于（0,

b）,当b>0时，（0,b）在y轴的正半轴上，直线与y轴交于正半轴；当b

<0时,（0,b）在y轴的负半轴,直线与y轴交于负半轴.k>0,b>O<=>y=kx+b

的图象在一、二、三象限；k>0,b<O<=>y=kx+b的图象在一、三、四象限；k

<0,b>Ooy=kx+b的图象在一、二、四象限；k<0,b<O=y=kx+b的图象在

二、三、四象限.

14.（4分）如图，一人乘雪橇沿坡比1：«的斜坡笔直滑下72米，那么他下降

的高度为36米.

【分析】因为其坡比为1：M，则坡角为30度，然后运用正弦函数解答.

【解答】解：因为坡度比为1：炳,即tana=1，

3

，a=30°.

则其下降的高度=72Xsin3（T=36（米）.

【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的理解及运用.

15.（4分）如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3,5）,则关于x的不等

【分析】观察函数图象得到当x<3时，函数y=kx+6的图象都在y=x+b的图象上

方，所以关于x的不等式kx+6>x+b的解集为xV3.

【解答】解：当xV3时，kx+6>x+b,

即不等式kx+6>x+b的解集为x<3.

故答案为：x<3.

【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使

一次函数y=ax+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象

的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标

所构成的集合.

16.（4分）已知y是x的二次函数，y与x的部分对应值如下表：

x...-1012...

y...0343...

该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点.

【分析】利用表格中的对称性得：抛物线与x轴另一个交点为（3,0）,可得结

论.

【解答】解：由表格得：二次函数的对称轴是直线x=@当1.

2

•抛物线与x轴另一个交点为（-1,0）,

.•.抛物线与x轴另一个交点为（3,0）,

...该二次函数图象向左平移3个单位，图象经过原点；或该二次函数图象向右平

移1个单位，图象经过原点.

故答案为3.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换-平移，根据平移的原则：左加右

减进行平移；也可以利用数形结合的思想画图解决.

17.（4分）如图，BD是。。的切线，B为切点，连接DO与交于点C,AB

为。。的直径，连接CA,若ND=30。，。。的半径为4,则图中阴影部分的面

【分析】由条件可求得NCOA的度数，过。作OE_LCA于点E,则可求得0E的

长和CA的长，再利用S阴影=S扇形COA-S*OA可求得答案.

【解答】解：如图，过。作OELCA于点E,

;DB为。0的切线，

/.ZDBA=90o,

VZD=30°,

；.NBOC=60。，

.,.ZCOA=120°,

VOC=OA=4,

NOAE=30°,

；.0E=2,CA=2AE=4我

2_

120TCX4

；・S阴影二S崩形COA-SACOA=-1X2X4伤阴-473,

36023

【点评】本题主要考查切线的性质和扇形面积的计算，求得扇形COA和△COA

的面积是解题的关键.

18.(4分)如图，矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上，点B在第一象

限，点D在边BC上，且NAOD=30。，四边形OABD与四边形OABD关于直线

OD对称(点/V和A,B，和B分别对应).若AB=1,反比例函数y=k(kWO)

X

的图象恰好经过点A,B,则k的值为_岖_.

【分析】设B(m,1),得到OA=BC=m,根据轴对称的性质得到OA=OA=m,Z

A,OD=ZAOD=30°,求得NA'OA=60°,过A作AZE±OA于E,解直角三角形得

到/V(乂，鸟)，列方程即可得到结论.

22

【解答】解：•••四边形ABC。是矩形，AB=1,

.•.设B(m,1),

/.OA=BC=m,

,/四边形OABD与四边形OABD关于直线OD对称,

AOA=OA=m,ZA,OD=ZAOD=30°,

AZA,OA=60°,

过A作A'ELOA于E,

.,.OE=lm,A,E=^lm,

22

(—m,2Z^m),

22

•.•反比例函数y=k(k#0)的图象恰好经过点A,B,

X

22

•••mIII.-W----3-,

3

-k.W3

3_

故答案为：

3

【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质，轴对称的性

质，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键.

三、解答题（本大题共9个小题，共78分.解答应写出文字说明，证明过程或

演算步骤.）

19.（6分）在Rt^ABC中，ZC=90°,AB=8,cosA=3.求BC的长.

4

【分析】根据余弦的概念列出算式，根据勾股定理计算得到答案.

【解答】解：•.,COSA=£=W,AB=8,

AB4

/.AC=6,

根据勾股定理得，BC=AyAB2_AC^82_62=2V7.

【点评】本题考查的是解直角三角形的知识，掌握锐角三角函数的概念是解题的

关键，注意勾股定理的正确运用.

20.（6分）已知直线y=-Zx+3与x轴交于点A,与y轴交于点B,直线y=2x+b

3

经过点B且与x轴交于点C.求^ABC的面积.

【分析】先求出A、B两点的坐标，再把B点坐标代入直线y=2x+b求出b的值,

故可得出C点坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论.

【解答】解：,当y=0时，x=J-；当x=0时，y=3,

2

AA(旦，0),B(0,3),

2

•直线y=2x+b经过点B,

/.b=3,

直线y=2x+b的解析式为y=2x+3,

AC(-3,0),

2

.,.AC=-i+^=6,

22

•0ABC="6X3=9.

2

【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点

的坐标一定适合2此函数的解析式是解答此题的关键.

21.(6分)密苏里州圣路易斯拱门是座雄伟壮观的抛物线形的建筑物，是美国

最高的纪念碑，如图.拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各

有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，求拱门的最大高度.

【分析】根据题意可以建立平面直角坐标系，求出抛物线的解析式，然后将解析

式化为顶点式即可解答本题.

【解答】解：如图所示，建立平面直角坐标系，

此时，抛物线与x轴的交点为C(-100.0),D(100,0),

设这条抛物线的解析式为y=a(x-100)(x+100),

•.•抛物线经过点B(50,150),

A150=a(50-100)(50+100),

解得，a=-J_,

50

.119

•FMXT00)(x+100)=+200，

5050

当x=0时,y取得最大值，此时y=200,

即拱门的最大高度是200米.

【点评】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函

数解析式，利用二次函数的性质解答.

22.(8分)如图，AB是。O的直径，AC是。0的切线，BC与。。相交于点D,

点E在。。上，且DE=DA,AE与BC相交于点F.

(1)求证：ZCAD=ZB；

【分析】(1)先利用切线的性质得出NCAD+NBAD=90。，再利用直径所对的圆周

角是直角得出NB+NBAD=90。，即可得出结论；

(2)先判断出NB=NEAD,进而得出NEAD=NCAD,进而判断出△ADF^^ADC,

即可得出结论.

【解答】（1）证明：•；AC是。。的切线,

/.BA±AC,

，NCAD+NBAD=90°,

VAB是。。的直径，

/.ZADB=90°,

/.ZB+ZBAD=90°,

；.NCAD=NB,

(2)VDA=DE,

/.ZEAD=ZE,

而NB=NE,

/.ZB=ZEAD,

由(1)知，ZCAD=ZB,

/.ZEAD=ZCAD,

，ZADF=ZADC=90°

^△ADF和ZSADC中，AD=AD

,ZFAD=ZCAD

.,.△ADF^AADC,

；.FD=CD,

【点评】此题主要考查了切线的性质，圆周角定理，圆的性质，全等三角形的判

定和性质，利用等式的性质和同角的余角相等判断角相等是解本题的关键.

23.(10分)某公司研制出一种新颖的家用小电器，每件的生产成本为18元，

经市场调研表明，按定价40元出售，每日可销售20件.为了增加销量，每

降价1元，日销售量可增加2件.在确保盈利的前提下，当降价多少元时，

每天的利润最大？最大利润是多少？

【分析】首先根据题意得出单价=40-18-X,销售量=20+2x,根据利润=销售量

X(单价-成本)，列出函数关系式，再利用配方法求出函数的极值，并求出

此时的销售单价.

【解答】解：设每件降价x元，每天售出商品的利润为y元,

y=(40-18-x)(20+2x)

=-2X2+24X+440

=-2(x2-12x-220)

=-2(x-6)2+512,

当x=6时，y有最大值512,

当降价6元时，每天的利润最大，最大利润是512元.

【点评】本题考查了二次函数的应用，解答本题的关键是将实际问题转化为二次

函数求解，注意配方法求二次函数最值的应用.

24.(10分)如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45。，沿着仰角为

30。的山坡前进1000米到达D处，在D处测得山顶B的仰角为60°,求山的高

【分析】根据题目所给的度数可判定4ABD是等腰三角形，AD=BD,然后解直角

三角形，可求出BE的长和CE的长，从而可求出山高的高度.

【解答】解：,.•/BAC=45°,ZDAC=30°,

.,.ZBAD=15°,

VZBDE=60°,NBED=90°,

，NDBE=30。，

*/ZABC=45°,

.,.ZABD=15°,

/.ZABD=ZDAB,

.*.AD=BD=1000,

过点D作DF_LAC,

VAC1BC,DE1AC,DE1BC,

/.ZDFC=ZACB=ZDEC=90°

四边形DFCE是矩形

ADF=CE

在直角三角ADF中，VZDAF=30°,

.,.DF=XAD=500,

2

.,.EC=500,BE=1000Xsin60°=500V3.

，BC=500+500jm米，即山的高度为(500+50073).

【点评】本题考查直角三角形的应用仰角俯角问题，关键是根据角判断特殊的三

角形，直角三角形或者等腰三角形，从而求出解.

25.(10分)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx的图象与反比例函

数y=2L的图象经过点A(2,2).

X

(1)分别求这两个函数的表达式；

(2)将直线OA向上平移3个单位长度后与y轴交于B,与反比例函数图象在第

一象限内的交点为C,连接AB,AC,求点C的坐标及^ABC的面积；

(3)反比例函数图象上是否存在点D,使DC±BC?若存在，请求出点D的坐标;

【分析】(1)将点A(2,2)代入正比例函数中即可求出k的值，再将A(2,2)

代入反比例函数中即可求出m的值.

(2)由题意可知点B的坐标为(0,3),所以直线BC的解析式为y=x+3,联立

直线BC的解析式与反比例函数的解析式即可求出C的坐标，连接OC,由于

OA〃BC,所以AABC的面积等于△BOC的面积.

(3)设D(m,-1),由于DC1BC,所以kDC«kBC=-1,从而列出方程求出m的

ID

值.

【解答】解：(1)将A(2,2)代入y=kx,

，2k=2,

/.k=l,

二正比例函数的解析式为：y=x

将A(2,2)代入y=2,

X

.\m=2X2=4,

二反比例函数的解析式为：y=l；

X

(2)•.•直线BC由直线OA向上平移3个单位所得，

AB(0,3)

二直线BC的解析式为：y=x+3,

'y=x+3

联立,4

y=—

X

解得：［x=l或卜=-4,

ly=4ly=-l

•.•点C在第一象限，

.•.点C的坐标为(1,4)

VOA/7BC,

SAABC=SABOC=—X3X1=3，

22

(3)设D(m,―)

VDC1BC,

••koc*ksc=-1，

--4

VkDc=-5!~=工

ID-1ID

.\zlxi=-1,

ID

Am=4,

【点评】本题考查反比例函数与一次函数的综合问题，解题的关键是根据待定系

数法求出两图象的解析式，本题属于基中等题型.

26.（10分）如图，正方形ABOD的边长为2,点。是坐标系的原点，点B在x

轴负半轴上，点D在y轴正半轴上，点C为AB的中点，直线CD交x轴于点

F.

（1）求直线CD的函数关系式；

（2）过点C作CELDF且交x轴于点E,求证：ZADC=ZEDC；

（3）求点E坐标；

（4）点P是直线CE上的一个动点，求PB+PF的最小值.

【分析】(1)首先求出D、C两点坐标，再利用待定系数法即可解决问题；

(2)利用全等三角形的性质证明CD=CF,由EC±DF推出ED=EF,推出NCDE=

ZEFD=ZADC即可；

(3)利用相似三角形的性质求出BE的长即可解决问题；

(4)如图，连接BD交直线CE于点P.由(2)可知点D与点F关于直线CE

对称，推出PD=PF,因为PB+PF=PB+PD2BD,可得PB+PF的最小值为BD的长；

【解答】解：(1)•••四边形ABOD为正方形，

，AB=B0=0D=AD=2,

AD(0,2),

VC为AB的中点，

BC=1,

AC(-2,1),设直线CD解析式为y=kx+b(kWO),

则有g=2,

I-2k+b=l

解得.k=f

b=2

，直线CD的函数关系式为y=L<+2；

2

(2)VC是AB的中点，

，AC=BC,

•.•四边形ABOD是正方形，

.,.ZA=ZCBF=90°,

在aACD和4BCF中

"ZA=ZCBF

<AC=BC，

,ZACD=ZBCF

/.△ACD^ABCF(ASA),

，CF=CD,

VCE1DF,

ACE垂直平分DF,

；.DE=FE,

/.ZEDC=ZEFC,

VAD/7BF,

，NEFC=NADC,

ZADC=ZEDC；

(3)由(2)可BF=AD=1,且BC=1,

,/ZCBF=ZCBE=ZFCE=90°,

，ZCFB+ZFCB=ZFCB+ZECB=90°,

/.ZCFB=ZBCE,

/.△BCF^ABEC,

BC=BF

B^BC

••1*l,-2

BE1

BE=L

2

.*.OE=OB-BE=2-工旦

22

**.E点坐标为(--.0)；

2

(4)如图，连接BD交直线CE于点P.

由(2)可知点D与点F关于直线CE对称,

，PD=PF,

，PB+PF=PB+PD，BD,

APB+PF的最小值为BD的长,

VB(-2,0),D(0,2),

/.BD=2&,

APB+PF的最小值为2%.

【点评】本题考查一次函数综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、

相似三角形的判定和性质、轴对称-最短问题等知识，解题的关键是灵活运

用所学知识解决问题，正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利

用对称解决最短问题，属于中考压轴题.

27.（12分）如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A