2020年中考数学中考真题分类解析汇编：1：押轴题

专题12:押轴题

一、选择题

1.（2019广东省3分）已知三角形两边的长分别是4和10,则此三

角形第三边的长可能是【】

A.5B.6C.11

D.16

【答案】Co

【考点】三角形三边关系。

【分析】设此三角形第三边的长为x,则根据三角形两边之和大于第

三边，两边之差小于第三边的构成条件，得10-4<x<10+4,即6

<x<14,四个选项中只有11符合条件。故选C。

2.（2019广东佛山3分）如图，把一个斜边长为2且含有30。角的

直角三角板ABC绕直角顶点C顺时针旋转90。到△AiBC,则在旋转

过程中这个三角板扫过的图形的面积是【】

A.7iB.73C.也+走D.迎+叵

42124

【答案】Do

【考点】旋转的性质，勾股定理，等边三角形的性质，扇形面积。

【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇

形ACAi、BCD^AACD计算即可:

在aABC中，NACB=90。，ZBAC=30°,AB=2,

.,.BC=-AB=1,ZB=900-ZBAC=60°。

2

二.AC=7AB2-BC2=y/3o

,,S^ABC=gxBCXAC=；o

设点B扫过的路线与AB的交点为D,连接CD,

•「BC=DC,「.△BCD是等边三角形。

.•.BD=CD=1。

.•.点D是AB的中点。

•0_U16Gq

••、AACD=-5AABC=]'3二彳口。

•・AABC扫过的面积=S扇形ACA1+S扇形BCD+S^ACD

9OX7TX6260x^-XI2y/33^7t-J3111A/3

--------------------1-------=--------1-------F-----=---------F-----

3603604464124

故选D。

3.(2019广东广州3分)如图，正比例函数yi=kix和反比例函数丫2=反

X

的图象交于A(-1,2)、B(1,-2)两点，若yi〈y2,则x的取值

范围是【

A.xV-1或x>lB.x<-l或0<xVlC.-IVxVO或0

<x<lD.-IVxVO或x>l

【答案】Do

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据图象找出直线在双曲线下方的x的取值范围：

由图象可得，-IVxVO或x>l时一，yi<y2o故选D。

4.（2019广东梅州3分）在同一直角坐标系下，直线y=x+l与双曲

线y=，的交点的个数为【】

X

A.0个B.1个C.2个D.不能确定

【答案】Co

【考点】反比例函数与一次函数的交点问题。

【分析】根据一次函数与反比例函数图象的性质作答：

•.•直线y=x+l的图象经过一、二、三象限，双曲线y=’的图

X

象经过一、三象限，

...直线y=x+l与双曲线y,有两个交点。故选C。

X

5.（2019广东汕头4分）如图，将aABC绕着点C顺时针旋转50。

后得到△ABC，.若NA=40。.ZB^llO0,则NBCA，的度数是【】

A.110°B.80°C.40°D.30°

【答案】Bo

【考点】旋转的性质，三角形内角和定理。

【分析】根据旋转的性质可得：NA，=NA,ZA'CB^ZACB,

VZA=40°,.•.NA'=40。。

r

,/ZB=110°,，NA'CB'=180。-110°-40°=30°o

.,.ZACB=30°o

,将AABC绕着点C顺时针旋转50。后得到△AB，C,

.•.NACA'=50。,

.•.NBCA'=300+50°=80。，故选B。

6.（2019广东深圳3分）如图，已知：NMON=30。，点Ai、A2>

A3在射线ON上，点Bi、B2、B3…在射线OM上，AAiBiAz.

△A2B2A3、Z\A3B3A4……均为等边三角形，若OA1=1,则4A6B6A7的

边长为【】

【答案】Co

【考点】分类归纳（图形的变化类），等边三角形的性质，三角形内

角和定理，平行的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质。

【分析】如图，•「△AIBIA2是等边三角形，

.,.AiB^AsBi,N3=N4=N12=60°。

.*.Z2=120°o

ZMON=30°,/1=180°—120°-3O°=3O°。

又Z3=60°,N5=180。-60°-30。=90。。

,

VZMON=Z1=30°,..OAi=AiBi=k：.A2B}=\O

•.•△A2B2A3、AAsB3A4是等边三角形，.,.Zll=Z10=60°,

N13=60。。

VZ4=Z12=60°,.•.AIBI〃A2B2〃A3B3,BIA2〃B2A3。

.•.Zl=Z6=Z7=30°,Z5=Z8=90°。AA2B2=2BIA2,

B3A3=2B2A3。

A3B.3=4B]A2=4,A4B4=8BIA2=8,A5BS=16B।A?=16o

以此类推：A6B6=32BIA2=32,即4A6B6A7的边长为32。故

选C。

7.（2019广东湛江4分）已知长方形的面积为20cm2,设该长方形

一边长为ycm,另一边的长为xcm,则y与x之间的函数图象大致是

【答案】Bo

【考点】反比例函数的性质和图象。

【分析】•••根据题意，得xy=20,<y=，(x>0,y>0)。故选B。

8.(2019广东肇庆3分)某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人

数比为2：3：5,如图所示的扇形图表示上述分布情况.已知来自甲

地区的为180人，则下列说法不正确的是【】

A.扇形甲的圆心角是72°

B.学生的总人数是900人

C.丙地区的人数比乙地区的人数多180人

D.甲地区的人数比丙地区的人数少180人

【答案】Do

【考点】扇形统计图，扇形圆心角的求法，频数、频率和总量的关系。

【分析】A.根据甲区的人数是总人数的则扇形甲的圆心

2+3+55

角是：!义360。=72。，故此选项正确，不符合题意；

B.学生的总人数是：180+(=900人,故此选项正确，不符

合题意；

C.丙地区的人数为：900xA=450,,乙地区的人数为：

900x2=270,则丙地区的人数比乙地区的人数多450—270=180人，

故此选项正确，不符合题意;

D.甲地区的人数比丙地区的人数少270—180=90人，故此

选项错误，符合题意。

故选D。

9.（2019广东珠海3分）如果一个扇形的半径是1,弧长是工，那

3

么此扇形的圆心角的大小为【】

A.30°B,45°C.60°D.90°

【答案】Co

【考点】弧长的计算。

【分析】根据弧长公式1=呷，即可求解

180

设圆心角是n度，根据题意得上却=2,解得：n=60。故选C。

1803

10.（2019广东河源3分）在同一坐标系中，直线y=x+l与双曲线

y=；的交点个数为【】

A.0个B.1个C.2个.D.,

不能确定

【答案】Ao

【考点】直线与双曲线的交点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，

一元二次方程根的判别式。

【分析】根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，联立y=x+l

11

和丫=丁得，x+i=—,整理，得

x2+x—l=0o

△=l+4=5>0,/.x2+x—1=0有两不相等的实数根。

.•・直线y=x+l与双曲线丫=今有两个交点。故选A。

ZV

二、填空题

1.（2019广东省4分）如图，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,

以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴

影部分的面积是.▲（结果保留兀）.

【答案】3--^o

3

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算

【分析】过D点作DF1AB于点Fo

VAD=2,AB=4,ZA=30°,

.•.DF=AD・sin30°=l,EB=AB-AE=2。

...阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积一扇形ADE

面积一三角形CBE的面积

”,30x7x221,^1

=4x1-------------------x2xl=3——7TO

36023

2.（2019广东佛山3分）如图，边长为〃，+4的正方形纸片剪出一个

边长为m的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个矩形，若拼成的矩

形一边长为4,则另一边长为▲

4

m

6+4

【答案】2m+4o

【考点】图形的变换，一元一次方程的应用（几何问题）。

【分析】根据拼成的矩形的面积等于大正方形的面积减去小正方形的

面积，列式整理即可得解:

设拼成的矩形的另一边长为X,

贝（］4x=（m+4）2—m2=（m+4+m）（m+4-m）=8m+16,

解得x=2m+4o

3.（2019广东广州3分）如图，在标有刻度的直线1上，从点A开

始，

以AB=1为直径画半圆,记为第1个半圆;

以BC=2为直径画半圆，记为第2个半圆;

以CD=4为直径画半圆，记为第3个半圆;

以DE=8为直径画半圆，记为第4个半圆,

…按此规律，继续画半圆，则第4个半圆的面积是第3个半圆面积的

▲倍，第n个半圆的面积为

▲（结果保留几）

【考点】分类归纳（图形的变化类），半圆的面积，负整数指数累，

累的乘方，同底基乘法。

【分析】由已知，第3个半圆面积为：二二=2万，第4个半圆的面积

2

为：1^=8万，

2

...第4个半圆的面积是第3个半圆面积的包=4倍。

In

由已知，第1个半圆的半径为、2。，第2个半圆的半径为

22

第3个半圆的半径为、22,

2

……第n个半圆的半径为

2

.•.第n个半圆的面积是

/、2

g•乃dzn[=；・（2-2『%=2,22"4乃=22吁5万。

4.（2019广东梅州3分）如图，连接在一起的两个正方形的边长都

为1cm,一个微型机器人由点A开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正

方形的边循环移动.①第一次到达G点时移动了▲cm：②当

微型机器人移动了2019cm时-，它停在▲点.

【答案】7；Eo

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、

BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；

②•・•机器人移动一圈是8cm,而2019-8=251...4,

，移动2019cm,是第251圈后再走4cm正好到达E点。

5.（2019广东汕头4分）如图，在口ABCD中，AD=2,AB=4,ZA=30°,

以点A为圆心，AD的长为半径画弧交AB于点E,连接CE,则阴

影部分的面积是▲（结果保留兀）.

A

【答案】

3

【考点】平行四边形的性质，扇形面积的计算

【分析】过D点作DF±AB于点F。

VAD=2,AB=4,ZA=30°,

.•.DF=AD・sin300=l,EB=AB-AE=2。

...阴影部分的面积=平行四边形ABCD的面积一扇形ADE

面积一三角形CBE的面积

一।30x；rx221.1

=4x1----------------------x2xl=3——7To

36023

6.（2019广东深圳3分）如图，Rt^ABC中，C=90。，以斜边AB

为边向外作正方形ABDE,且正方形对角线交于点D,连接OC,已

知AC=5,OC=6V2,则另一直角边BC的长为

【答案】7o

【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性

质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。

【分析】如图，过O作OF垂直于BC,再过O作OFLBC,过A作

AM1OF,

•.•四边形ABDE为正方形，...NAOB=90。,

OA=OBo

.*.ZAOM+ZBOF=90°o

又VZAMO=90°,.,.ZAOM+ZOAM=90°。

ZBOF=ZOAMo

在aAOM和ABOF中,

VZAMO=ZOFB=90°,ZOAM=ZBOF,OA=OB,

.,.△AOM^ABOF(AAS)o，AM=OF,OM=FB。

又：NACB=NAMF=NCFM=90。，，四边形ACFM为矩形。

，AM=CF,AC=MF=5。

.,.OF=CFo.•.△OCF为等腰直角三角形。

VOC=6V2,:.根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2,即2CF2=

(6&)2,解得：CF=OF=6o

，FB=OM=OF-FM=6-5=1。BC=CF+BF=6+1=7。

7.(2019广东湛江4分)如图，设四边形ABCD是边长为1的正方

形，以对角线AC为边作第二个正方形ACEF、再以对角线AE为边

作笫三个正方形AEGH,如此下去.…若正方形ABCD的边长记为

a”按上述方法所作的正方形的边长依次为a2,a3,初，…，an,则

an=▲•

n-，

【答案】an=(^)o

【考点】分类归纳(图形的变化类)，正方形的性质，勾股定理，同

底幕乘法。

【分析】分析规律：

222

Va2=AC,且在Rt4ABC中，AB+BC=AC,

••a,=(>/^)o

同理a3=&a2=&•夜=（夜），a4=V^a3=（血）.忘=（也）,

8.（2。19广东肇庆3分）观察下列一组数十存

它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是—J

【答案】上

【考点】分类归纳（数字的变化类）。

【分析】根据已知得出数字分母与分子的变化规律:

分子是连续的偶数，分母是连续的奇数,

.•.第k个数分子是2k,分母是2k+l。.,.这一组数的第k个

数是3

2k+l

9.（2019广东珠海4分）如图，AB是。O的直径，弦CD_LAB,垂

足为E,如果AB=26,CD=24,那么sinNOCE=▲

【答案】a

【考点】垂径定理，勾股定理，锐角三角函数的定义。

【分析】如图，设AB与CD相交于点E,则根据直径AB=26,

得出半径OC=13；由CD=24,CDJ_AB,根据垂径定理得出CE=12；

在RtZSOCE中，利用勾股定理求出OE=5；再根据正弦函数的定

义，求出sinNOCE的度数:

10.（2019广东河源4分）如图，连接在一起的两个正方形的边长

都为1cm,一个微型机器人由点A开

始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动.①第一次到达

点G时-，微型机器人移动了▲cm：

②当微型机器人移动了2019cm时-，它停在▲点.

【答案】7；Eo

【考点】分类归纳（图形的变化类）。

【分析】①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、

BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，所以共移动了7cm；

②•.•机器人移动一圈是8cm,而2019-8=251...4,

二.移动2019cm,是第251圈后再走4cm正好到达E点。

三、解答题

1.（2019广东省9分）如图,在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8.把

△BCD沿对角线BD折叠，使点C落在。处，BC交AD于点G；E、

F分别是CD和BD上的点，线段EF交AD于点H,把4FDE沿EF

折叠，使点D落在D，处，点D"恰好与点A重合.

(1)求证：4ABG之△C'DG；

(2)求tanNABG的值;

(3)求EF的长.

【答案】(1)证明：•••△BDC由ABDC翻折而成,

.•./C=NBAG=90°,C'D=AB=CD,NAGB=NDGC',

.,.ZABG=ZADEo

在△ABG^^C'DG中，VZBAG=ZC,AB=C'D,

ZABG=ZADC\

.•.△ABGdCDG(ASA)0

(2)解：•.•由(1)可知4ABG名△C'DG,r.GD=GB,

.,.AG+GB=ADo

设AG=x,则GB=8-x,

在RtAABG中，•.•AB2+AG2=BG2,即62+x2=(8-x)2,

解得x=N。

4

7

•,八ncAG47

••tan/ABG=-----=—=—。

AB624

(3)解：•「△AEF是4DEF翻折而成，，EF垂直平分AD。

.*.HD=-AD=4o

2

VtanZABG=tanZADE=—。，EH=HDx[=4x2=1

2424246o

•「EF垂直平分AD,AB±AD,.,.HF是AABD的中位

线。r.HF=lAB=lx6=3o

22

.,.EF=EH+HF=-+3=—o

66

【考点】翻折变换（折叠问题），翻折变换的性质，矩形的性质，全

等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数定义，三角形中位

线定理。

【分析】（1）根据翻折变换的性质可知NC=NBAG=90。，

CD=AB=CD,NAGB=NDGC,故可得出结论。

（2）由（1）可知GD=GB,故AG+GB=AD,设AG=x,则

GB=8-x,在Rt4ABG中利用勾股定理即可求出AG的长，从而得出

tanZABG的值。

（3）由4AEF是4DEF翻折而成可知EF垂直平分AD,故

HD=1AD=4,再根据tanNABG的值即可得出EH的长，同理可得

2

HF是4ABD的中位线，故可得出HF的长，由EF=EH+HF即可得出

结果。

2.（2019广东省9分）如图，抛物线y」x2一9与X轴交于A、B

22

两点，与y轴交于点C,连接BC、AC.

（1）求AB和OC的长；

（2）点E从点A出发，沿x轴向点B运动（点E与点A、B不重合）,

过点E作直线1平行BC,交AC于点D.设AE的长为m,AADE

的面积为s,求s关于m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围;

（3）在（2）的条件下，连接CE,求4CDE面积的最大值；此时，

求出以点E为圆心，与BC相切的圆的面积（结果保留兀）.

【答案】解：⑴在尸产一|.9中,

令x=0,得y=—9,AC(0,-9)；

令y=0,即产4x一9=0,解得：XI3,X2=6,.-.A

(-3,0)、B(6,0)o

.\AB=9,OC=9o

(2)VED^BC,.,.△AED^AABC,

S^ABCI/

2

即：小猾）。

--9-9

2

/.s=-m2(0<m<9)o

2

(3)VSAAEC=-AE«OC=-m,

22

12

-

AEDo-2

81

18

AD

E-D)-cAE

=1s2+-ms

919)

-m--m-

22-2-2-

ACDE的最大面积为父，

8

此时、AE=m=-,BE=AB-AE=2。

22

XBC=^62+92=3A/13，

过E作EF1BC于F,则RtABEF^RtABCO,得:

9

氏器即:EF_2

T=57i3°

EF=—V13o

26

...以E点为圆心，与BC相切的圆的面积

SoE=n*EF2=—o

52

【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角

形的判定和性质，二次函数的最值，勾股定理，直线与圆相切的性质。

【分析】(1)已知抛物线的解析式，当x=0,可确定C点坐标；当

y=0时，可确定A、B点的坐标，从而确定AB、OC的长。

(2)直线1〃BC,可得出△AEDs/SABC,它们的面积比等

于相似比的平方，由此得到关于s、m的函数关系式；根据题目条件:

点E与点A、B不重合，可确定m的取值范围。

（3）①首先用m列出aAEC的面积表达式，△AEC、AAED

的面积差即为4CDE的面积，由此可得关于SRDE关于m的函数关

系式，根据函数的性质可得到SEDE的最大面积以及此时m的值。

②过E做BC的垂线EF,这个垂线段的长即为与BC相切的

OE的半径，可根据相似三角形4BEF、ABCO得到的相关比例线段

求得该半径的值，由此得解。

3.（2019广东佛山10分）规律是数学研究的重要内容之一.

初中数学中研究的规律主要有一些特定的规则、符号（数）及

其运算规律、图形的数值特征和位置关系特征等方面.

请你解决以下与数的表示和运算相关的问题：

（1）写出奇数a用整数n表示的式子；

（2）写出有理数b用整数m和整数n表示的式子；

（3）函数的研究中，应关注y随x变化而变化的数值规律（课本里研

究函数图象的特征实际上也是为了说明函数的数值规律）.

下面对函数y=x2的某种数值变化规律进行初步研究：

Xi012345・・・

yi01491625・・・

yi+i-yi1357911・・・

由表看出，当X的取值从0开始每增加1个单位时，y的值依次增加

1,3,5...

请回答：

当x的取值从0开始每增加，个单位时，y的值变化规律是什么？

2

当X的取值从0开始每增加L个单位时，y的值变化规律是什么？

n

【答案】解：(l)n是任意整数，则表示任意一个奇数的式子是：2n+k

(2)有理数b=^(n翔)。

n

(3)①当x的取值从0开始每增加！个单位时，列表如

2

下:

35

Xi012・・・

222

925

yi014・・・

44T

J_357911

yi+i—yi・・・

444447

故当X的取值从0开始每增加［个单位时，y的值

2

依次增加1、』、3…世

4444

②当x的取值从0开始每增加;个单位时，列表如

下:

2_345_

Xi0

nnnnn

1491625

yi0-7•••

n-7正7

13579ii

yi+i-yi•••

n"7n2rr7

故当X的取值从0开始每增加1个单位时，y的值

n

依次增加与、3、4…与。

nn-nnz

【考点】分类归纳（数字的变化类），二次函数的性质，实数。

【分析】（1）n是任意整数，偶数是能被2整除的数，则偶数可以表

示为2n,因为偶数与奇数相差1,所以奇数可以表示为2n+l。

（2）根据有理数是整数与分数的统称，而所有的整数都可以

写成整数的形式，据此可以得到答案。

（3）根据图表计算出相应的数值后即可看出y随着x的变化

而变化的规律。

4.（2019广东佛山11分）（1）按语句作图并回答:作线段AC（AC=4）,

以A为圆心a为半径作圆，再以C为圆心b为半径作圆（a<4,b<

4,圆A与圆C交于B、D两点），连接AB、BC、CD、DA.

若能作出满足要求的四边形ABCD,则a、b应满足什么条件？

（2）若a=2,b=3,求四边形ABCD的面积.

【答案】解：（1）作图如下：

能作出满足要求的四边形ABCD,则a、b应满足的

条件是a+b>4o

（2）连接BD,交AC于E,

•.•。人与。€：交于8、D,/.AC±DB,BE=DE。

设CE=x,贝！JAE=4—x,

VBC=b=3,AB=a=2,

...由勾股定理得：BE2=32-X2

解得：x=a。

，四边形ABCD的面积是

2x—xACx—^5/o

28

答：四边形ABCD的面积是型

2

【考点】作图（复杂作图），相交两圆的性质，勾股定理。

【分析】（1）根据题意画出图形，只有两圆相交，才能得出四边形,

即可得出答案;

(2)连接BD,根据相交两圆的性质得出DB±AC,BE=DE,

设CE=x,则AE=4—x,根据勾股定理得出关于x的方程，求出x,

根据三角形的面积公式求出即可。

5.(2019广东广州14分)如图，抛物线y=_3x2一%+3与X轴交于A、

B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.

(1)求点A、B的坐标；

(2)设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当4ACD的面积等

于4ACB的面积时，求点D的坐标；

(3)若直线1过点E(4,0),M为直线1上的动点，当以A、B、M

为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线1的解析式.

邛o]B\~X

【答案】解：(1)在y=-3x?-，+3中，令y=0,BP--x2--x+3=09解得

xi=-4,X2=2O

・•

*点A在点B的左侧，•••A、B点的坐标为A(-

4,0)、B(2,0)o

(2)由尸-八?-，+3得，对称轴为X=-1。

84

在：产-八2一，+3中，令x=0,得y=3。

84

•*•OC=3,AB=6,$小=：出℃=；乂6*3=9。

2222

在RtAAOC中，AC=7OA+OC=^4+3=5o

设—CD中AC边上的高为h,则有;AC・h=9,解

得h=/。

设直线AC的解析式为y=kx+b,

将A(-4,0),B(0,3)坐标代入,得

3

卜4k+b=0,解得卜="

g［b=3

...直线AC解析式为y=3x+3。

4

直线L］可以看做直线AC向下平移CE长度单位（？

2

个长度单位）而形成的，

直线Li的解析式为y=?x+3-？=3x—3。

4242

则D］的纵坐标为3=-\。'Dl（-4,-q）。

同理，直线AC向上平移？个长度单位得到L2,可

2

求得D2（-1,-）o

4

综上所述，D点坐标为：Di(-4,,D2(-1,

4

27)

--4---zo

(3)如图2,以AB为直径作。F,圆心

为F.过E点作。F的切线，这样的切线有2条.

连接FM,过M作MN_Lx轴于点N。

VA(-4,0),B(2,0),；.F(-1

0),OF半径FM=FB=3。

又FE=5,则在Rt^MEF中，-

ME=>/52-32=4,sinZMFE=-,cosZMFE=-

55o

在Rt^FMN中，MN=MN・sinNMFE=3x±=U,

55

FN=MN・cosNMFE=3x3=2。

55

则ON='。「.M点坐标为(g,y)o

直线1过M(-,-),E(4,0),

55

'4.,12

设直线1的解析式为y=kix+bi,则有二丑二，解得

4k+b=0

k」

4o

b=3

直线1的解析式为y=-|x+3o

同理，可以求得另一条切线的解析式为y=-：x-3。

综上所述，直线1的解析式为y=—』x+3或y=—?x-

44

3o

【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关

系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆

的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。

【分析】(1)A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0,解一元二次方

程即可求解。

(2)根据题意求出4ACD中AC边上的高，设为h.在坐

标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h.根据等底等

高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点.从

一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下

平移而形成.因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可

求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两

条。

(3)本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角

形有且只有三个”的含义.因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线1

的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意

的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考

虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点

与A、B点构成直角三角形.从而问题得解。这样的切线有两条。

6.(2019广东广州14分)如图，在平行四边形ABCD中，AB=5,

BC=10,F为AD的中点，CELAB于E,设NABC=a(60。勺＜90。).

(1)当a=60。时，求CE的长；

(2)当60。<(1<90°时,

①是否存在正整数k,使得NEFD=kNAEF?若存在，求出k的值;

若不存在，请说明理由.

②连接CF,当CE2-CF2取最大值时，求tanNDCF的值.

【答案】解：（1）即，巾6。。书=争

解得CE=56。

(2)①存在k=3,使得

ZEFD=kZAEFo理由如下:

连接CF并延长交BA的延长

线于点G,

YF为AD的中点，.,.AF=FD。

在平行四边形ABCD中,

AB/7CD,.,.ZG=ZDCFo

在4AFG和4CFD中,

ZG=ZDCF,ZG=ZDCF,AF=FD,

.,.△AFG^ACFD(AAS)O，CF=GF,AG=CDO

,

VCE±AB,..EF=GFoAZAEF=ZGO

VAB=5,BC=10,点F是AD的中点，，AG=5,

AF=LAD=1BC=5。AAG=AFO

22

NAFG=NG。

在AAFG中，ZEFC=ZAEF+ZG=2ZAEF,

又,/ZCFD=ZAFG,ZCFD=ZAEFo

，NEFD=NEFC+NCFD=2NAEF+NAEF=3NAE

F,

因此，存在正整数k=3,使得NEFD=3NAEF。

②设BE=x,：AG=CD=AB=5,EG=AE+AG=5

-x+5=10-x,

2222

在RtZSBCE中，CE=BC-BE=100-xo

在RtACEG中,CG2=EG2+CE2=(10-x)2+100

-x2=200-20xo

CF=GF(①中已证)，CF2=(1CG)2=-CG2=1

244

(200-20x)=50-5xo

ACE2-CF2=100-x2-50+5x=-x2+5x+50=-(x

--)2+50+—o

24

.•.当x=H即点E是AB的中点El寸，CE2-CF2取

2

最大值。

此时，EG=10-x=10-

22

CE=Ji0()-X2=Ji0()_子="i,

5而

tanZDCF=tanZG=°

EG153

2

【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性

质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的

中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。

【分析】（1）利用60。角的正弦值列式计算即可得解。

（2）①连接CF并延长交BA的延长线于点G,利用“角边角”

证明4AFG和4CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF,

AG=CD,再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得

EF=GF,再根据AB、BC的长度可得AG=AF,然后利用等边对等角

的性质可得NAEF=NG=NAFG,根据三角形的一个外角等于与它不

相邻的两个内角的和可得/EFC=2NG,然后推出NEFD=3NAEF,

从而得解。

②设BE=x,在RtABCE中，利用勾股定理表示出CE2,

表示出EG的长度，在RtACEG中，利用勾股定理表示出CG2,从而

得到CF?,然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。

7.（2019广东梅州10分）（1）已知一元二次方程x2+px+q=0（p2-

4q>0）的两根为X]、X2；求证：X]+X2=-p,xi・X2=q.

（2）已知抛物线y=x?+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（-1,

-1）,设线段AB的长为d,当p为何值时，d2取得最小值，并求出

最小值.

【答案】（1）证明：,.,a=l,b=p,c=q,p2-4q>0,

•bc

•.Xj+x=——=-p,X]-x=—=qo

2aa9

（2）解：把（-1,-1）代入y=x2+px+q得p-q=2,即q=p

-2o

设抛物线y=x2+px+q与x轴交于A、B的坐标分

别为（X|,0）、（X2,0）o

Vd=|xi-X2I，

/.d2=（xi-X2）J（X1+X2）2-4xi*X2=p2_4q=p2

-4p+8=（p-2）2+4o

...当p=2时，d2的最小值是4。

【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，抛物线与x轴

的交点，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。

【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可直接证得。

【教材中没有元二次方程根与系数的关系可先根据求

根公式得出XI、X2的值，再求出两根的和与积即可】

（2）把点（-1,-1）代入抛物线的解析式，再由d=|xi-x2|

可得cP关于p的函数关系式，应用二次函数的最值原理即可得出结

论。

8.（2019广东梅州11分）如图，矩形OABC中，A（6,0）、C（0,

2a）、D（0,3«）,射线1过点D且与x轴平行，点P、Q分别是1

和x轴正半轴上动点，满足NPQO=60。.

(1)①点B的坐标是；②NCAO=度；③当点Q与点A

重合时，点P的坐标为；(直接写出答案)

(2)设OA的中心为N,PQ与线段AC相交于点M,是否存在点P,

使AAMN为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的横坐标为m；

若不存在，请说明理由.

(3)设点P的横坐标为x,△OPQ与矩形OABC的重叠部分的面积

为S,试求S与x的函数关系式和相应的自变量x的取值范围.

【答案】解：(1)①(6,273)o②30。③(3,373)0

(2)存在。m=0或m=3-6或m=2。

(3)当。—时,

如图1,OI=x,IQ=PI・tan600=3,

OQ=OI+IQ=3+x；

由题意可知直线1〃BC〃OA,

可得空=型=生=也」，

OQPODO3百3

.\EF=-(3+x),

3

此时重叠部分是梯形，其面积为:

14百4百

S=S梯形EFQO=5(EF+OQ>OC=TG+X)=^x+4百

当3VX05时，如图2,D

S=S梯形EFQO-SAHAQ=S梯形EFQO-,AH-AQ

=邪+4』—争X_3)2=_

当5VxW9时，如图3,

15

S=-(BE+OA)OC=>/3a2——x)

23

=--X+12A/3O

3

当X>9时，如图4,

B3

1/187354百

=—•6----=----

综上所述,

数关系式为:

^x+4^(O<x<3)

V3

-----x+-------x------(3<x<5)

232'7

S=4

一殛x+126(5<x49)

*>9)

【考点】矩形的性质，梯形的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函

数值，相似三角形的判定和性质，解直角三角形。

【分析】（1）①由四边形OABC是矩形，根据矩形的性质，即可求

得点B的坐标：

二•四边形OABC是矩形，，AB=OC,OA=BC,

VA(6,0)、C(0,2^3),.,.点B的坐标为：(6,2G)。

②由正切函数，即可求得NCAO的度数：

VtanZCAO=—，：.ZCAO=30°

OA63o

③由三角函数的性质，即可求得点P的坐

标；如图：当点Q与点A重合时，过点P作PELOA于

E,

VZPQO=60°,D(0,3百)，...PE=36。

.,.OE=OA-AE=6-3=3,.•.点P的坐标为(3,36)。

(2)分别从MN=AN,AM=AN与AM=MN去分析求解即可

求得答案：