贵州省黔东南州剑河县第四中学2023学年高考适应性考试数学试卷(含解析)

2023学年高考数学模拟测试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设4（2,-1）,8（4,1）,则以线段43为直径的圆的方程是（）

A.(x-3”+尸=2B.(x-3"+y2=8

C.(元+3)2+尸=2D.(x+3)2+y2=8

2.已知函数/（工）=4411（3%+中）（4>0,（0>0,树<；）的部分图象如图所示，且++x）=。，则卜|

的最小值为（）

兀

B.

6

5兀

D.n

占A(x,y),C.(x,y),Z)(x,y),其中x<x<x<x,则(x+2)tanx=()

'、'、111233441234J44

D¥+2

A.-1B.0

4.已知正四面体A8C。的棱长为1,。是该正四面体外接球球心，且加=xZ月+y/+z而，x,y,zeR,则

x+y+z=()

3

5.相传黄帝时代，在制定乐律时，用“三分损益”的方法得到不同的竹管，吹出不同的音调.如图的程序是与“三分损

益”结合的计算过程，若输入的x的值为1,输出的x的值为（

/输出X/

6432816

A.—B.——-C.7?D.—

8127927

6.等差数列｛。｝的前〃项和为S,若4=3,S=35,则数列3｝的公差为(

nn15n)

A.-2B.2C.4D.7

（1一

7.,一二的展开式中X2的系数为（）

X

A.-84B.84C.-280D.280

2v-2-x

8.函数-----的图像大致为（）.

\x\-COSX

A.

9.以线段勺勺为直径的圆与双曲线在第

2。2

二象限的交点为P,若直线尸勺与圆石：+>2=相切，则双曲线的渐近线方程是（）

16

A.y=±xB.y=±2xC.y=±y/3xD.y=±y/2x

10.已知椭圆房+一=l（a>〃>0）的焦点分别为FF其中焦点々与抛物线），2=2px的焦点重合，且椭圆与

a2b2122

抛物线的两个交点连线正好过点々，则椭圆的离心率为（）

A.¥B.y/2-lC.3-272D.0-1

11.将函数/（x）=sin（3x+?）的图像向右平移〃?（m>0）个单位长度，再将图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍（纵

O

坐标不变），得到函数g（x）的图像，若g（x）为奇函数，则”的最小值为（）

71：2717171

A—B——C—D—

991824

12.某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高---班40名同学的数学竞赛成绩:

55575961686462598088

98956073887486777994

971009997898180607960

82959093908580779968

如图的算法框图中输入的。为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出〃的值，则一"=（）

/m

s

♦

/笳入。1・史•….Go/

/汾^见〃/

「♦束一）

A.6B.8C.10D.12

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

1+2/.

13.已知复数z满足——二】（i为虚数单位），则复数z的实部为.

Z

14.若（2-3"），，的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x的系数为

X

_-_兀_

15.已知平面向量"b,乙满足Ml=l,1〃1=2,"〃的夹角等于不，且（口一已）•（6）=0,则Id|的取值

范围是.

16.过点A（—3,2）,8（—5,—2）,且圆心在直线3x-2），+4=0上的圆的半径为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知。＞8〉0,如图，曲线「由曲线c：ri+21=i（y4o）和曲线C：三一21=1（丁＞0）组成，其

1a2枚2a2。2

中点。「为曲线q所在圆锥曲线的焦点，点尸3,勺为曲线q所在圆锥曲线的焦点.

(i)若月(2,0),1(—6,0),求曲线「的方程；

(II)如图，作直线/平行于曲线。的渐近线，交曲线C于点43,求证：弦A3的中点M必在曲线C的另一条

2I2

渐近线上；

(III)对于(I)中的曲线「，若直线/过点尸交曲线C于点C，。，求ACO厂面积的最大值.

141I

18.(12分)如图，在四棱锥尸一A8CD中，四边形ABCD为正方形，P。_L平面A8CD,点M是棱PC的中点,

AB=2,2。=(〉0).

(1)若。=2,证明：平面。M4J_平面PBC；

4

(2)若三棱锥C-DBM的体积为-,求二面角B-DM-C的余弦值.

19.(12分)为迎接2023年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核.记

X表示学生的考核成绩，并规定XN85为考核优秀.为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了

30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

5I0II6

6-0I3345«

71236777«

RII2459

900123'

(I)从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率;

(II)从图中考核成绩满足Xe18(),891的学生中任取2人,求至少有一人考核优秀的概率；

（Ill）记表示学生的考核成绩在区间L,川的概率，根据以往培训数据，规定当《三二W1＞0.5时

培训有效.请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由.

20.（12分）已知椭圆用：三+竺=1（。＞匕＞0）经过点40,-2）,离心率为史.

Q2h23

（1）求椭圆M的方程；

（2）经过点E（0,l）且斜率存在的直线/交椭圆于。,N两点，点8与点。关于坐标原点对称.连接4&AN.求证：

存在实数入，使得心,=立仙成立.

ANAB

21.（12分）已知函数/（X）和g（x）的图象关于原点对称，且/G）=X2+2X.

（1）解关于x的不等式g（x）2/G）l|xT|；

（2）如果对TxeR,不等式gQ）+c«/G）一,一口恒成立，求实数c的取值范围.

22.（10分）a,b,c分别为的内角A,8,C的对边.已知a（sinA+4sin8）=8sin4.

兀

（1）若b=l,A=L，求sin8；

O

八兀

（2）己知。=可，当AABC的面积取得最大值时，求.ABC的周长.

2023学年模拟测试卷参考答案（含详细解析）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、A

【答案解析】

计算A8的中点坐标为（3,0）,圆半径为厂=/，得到圆方程.

【题目详解】

AB的中点坐标为：（3,0）,圆半径为「=四=正三二=J7,

22"

圆方程为(x—3)2+>2=2.

故选：A.

【答案点睛】

本题考查了圆的标准方程，意在考查学生的计算能力.

2、A

【答案解析】

。是函数，（x）的零点，根据五点法求出图中零点及丫轴左边第一个零点可得.

【题目详解】

3117171„7171571

由题意下T=k-三，T=兀，函数/*）在y轴右边的第一个零点为7+7=s，在y轴左边第一个零点是

41266412

717171

K-J-_T2'

M的最小值是些.

故选：A.

【答案点睛】

本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性.函数/（X）=Asin（cox+（P）的零点就是其图象对称中心的横坐标.

3、A

【答案解析】

先将函数解析式化简为yTcosxl,结合题意可求得切点5及其范围［€（］,兀），根据导数几何意义，即可求得

（x+2）tanx的值.

44

【题目详解】

（兀、JI兀、

sinx+—e2kit--,2攵兀+—（左£z）,

函数y\r公、

（71）713兀\

-sinx+——Lx€2kit+一，2%兀+——（％GZ）,

II2；L22）

即y=1cosxI

直线y=根（x+2）（加＞0）与函数y=1cosXI图象恰有四个公共点，结合图象知直线V=m（x+2）（加＞0）与函数

y=_cosx相切于匕，「右（（兀），

因为y'=sinx,

,.一cosX

-sinx-------4-

改4%+2'

4

(x+2)tanx=(x+2)sinx=(尤+2)x

所以X-----------U

444cosx4

44

故选：A.

【答案点晴】

本题考查了三角函数的图像与性质的综合应用,由交点及导数的几何意义求函数值，属于难题.

4、A

【答案解析】

3

如图设"‘平面球心。在上'根据正四面体的性质可得力°=4A，,根据平面向量的加法的几何意义'

重心的性质，结合已知求出x+y+z的值.

【题目详解】

如图设平面BCD,球心。在Ab上，由正四面体的性质可得：三角形8CQ是正三角形,

J12—（¥）2=坐，在直角三角形尸05中,

小*AR=

=>AO—2^,

OB2=OF2+BF2=>OA2―40)2+

4

3

A0=-AFAF=AB+BF,行二㈤5+。产，AF=AC+CF,因为尸为重心，因此尸后+/0+尸》=0,则

4f

13

，因此x=y=Z=7，则x+y+z=下，故选A.

44

【答案点睛】

本题考查了正四面体的性质，考查了平面向量加法的几何意义，考查了重心的性质，属于中档题.

5、B

【答案解析】

根据循环语句，输入X=l,执行循环语句即可计算出结果.

【题目详解】

输入x=l,由题意执行循环结构程序框图，可得：

2

第1次循环：%=-,z=2<4,不满足判断条件；

8

第2次循环：x=-,z=3<4,不满足判断条件；

y

3232

第4次循环：x=—,z=4>4,满足判断条件；输出结果工=方.

故选：B

【答案点睛】

本题考查了循环语句的程序框图，求输出的结果，解答此类题目时结合循环的条件进行计算，需要注意跳出循环的判

定语句，本题较为基础.

6、B

【答案解析】

在等差数列中由等差数列公式与下标和的性质求得。3,再由等差数列通项公式求得公差.

【题目详解】

在等差数列L｝的前〃项和为§,贝US=5（q+2）=5〃=35=a=7

n〃5233

则。=a+2d=3+2d=7=d=2

31

故选：B

【答案点睛】

本题考查等差数列中求由已知关系求公差，属于基础题.

7、C

【答案解析】

由题意，根据二项式定理展开式的通项公式T4，得（l-2x>展开式的通项为T=（-2>Ckxk,则

4+1nA+]7

—孱开式的通项为7=（-2>C*i,由攵-1=2,得k=3,所以所求X2的系数为（一2%。3=-280.故选

vjt+177

C.

点睛：此题主要考查二项式定理的通项公式的应用，以及组合数、整数幕的运算等有关方面的知识与技能，属于中低

档题，也是常考知识点.在二项式定理的应用中，注意区分二项式系数与系数，先求出通项公式T=Cran-rbr,再根

r+1n

据所求问题，通过确定未知的次数，求出「，将「的值代入通项公式进行计算，从而问题可得解.

8、A

【答案解析】

本题采用排除法:

5n

由f排除选项D；

根据特殊值/（言］＞°排除选项C;

由x＞0,且x无限接近于0时，/G）＜0排除选项B；

【题目详

对于选项D:由题意可得，令函数/G）=），=12'二2-'

|x|-cosx

52L5IL

5K2-2-225K、22-2-2

5兀，7-5S；

Tr

571

即/.故选项D排除;

52L

22—2-2八

对于选项c：因为=一玩一＞°,故选项C排除;

2

对于选项B:当x〉0,且X无限接近于0时M-cosx接近于-1＜0,2,_2-.X＞0,此时/（x）＜0.故选项B排除;

故选项:A

【答案点睛】

本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;

属于中档题.

9、B

【答案解析】

2加FE1

+），2=相切于点"，根据题意，得到EM//PF再由02.=4，根据勾股定理

先设直线与圆E：c

1611勺4

求出》=2。，从而可得渐近线方程.

【题目详解】

设直线与圆E:(x—+A=卷相切于点M,

因为△PPf'是以圆。的直径尸产为斜边的圆内接三角形，所以NFPF=90,

I2I2I2

又因为圆£与直线尸1的切点为M,所以EM//PE,

21

FE1,,b

又亍惊=彳，所以PE=4-7="，

FF41i14

2I

因此|「勺|=2a+。，

因此有枚+(2a+b)2=4c2,

所以人=2。，因此渐近线的方程为＞=±2x.

故选B

【答案点睛】

本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.

10、B

【答案解析】

a「8

,〃2〃2,

Q2—。2=J_

P4,再利用e2=S即可求解.

根据题意可得易知c=q,且＜4,解方程可得，

.3+1Q2

p2b2+4p2a2=4。2。2bi------P2

2

【题目详解】

P2

U二P。2-bi=--4

易知C=,且14

,W+i

P2bl+4p2Q2=4a2》2b2=1------P2

2

故有62===3-2"，则e=j3-2&=鬼-1

故选:B

【答案点睛】

本题考查了椭圆的几何性质、抛物线的几何性质，考查了学生的计算能力，属于中档题

11、C

【答案解析】

根据三角函数的变换规则表示出g(x),根据g(x)是奇函数，可得〃，的取值，再求其最小值.

【题目详解】

解：由题意知，将函数/(x)=sin(3x+?)的图像向右平移机(〃?>0)个单位长度，得丁=5E3(x-m)+:,再将

6L6_

71

y=sin3x-3m+-图像上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图像，

_6

g(x)=$皿白一3机+?),

因为g(x)是奇函数，

兀TCkn

所以一3机+工=依:，左eZ,解得加==一,

o183

八兀

因为加>0,所以机的最小值为百.

故选：c

【答案点睛】

本题考查三角函数的变换以及三角函数的性质，属于基础题.

12、D

【答案解析】

根据程序框图判断出〃，机的意义，由此求得相，〃的值，进而求得"-"的值.

【题目详解】

由题意可得〃的取值为成绩大于等于90的人数，加的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故加=24,〃=12,

所以加一〃=24-12=12.

故选：D

【答案点睛】

本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、2

【答案解析】

利用复数的概念与复数的除法运算计算即可得到答案.

【题目详解】

l+2zi-2,-

Z=——=——=2-1,所以复数z的实部为2.

I12

故答案为：2

【答案点睛】

本题考查复数的除法运算，考查学生的基本计算能力，是一道基础题.

14、2025

【答案解析】

利用赋值法，结合展开式中各项系数之和列方程，由此求得〃的值.再利用二项式展开式的通项公式，求得展开式中x的

系数.

【题目详解】

依题意，令X=l,解得2"=32,所以〃=5,则二项式3的展开式的通项为：

(5Y-r(1V3r

T=Cr-\Z--3X2=55-L(—3)一。一刀2一5

川5U；<)5

3

令r—5=l,得r=4,所以x的系数为5s-4x(—3)4xC4=2025.

25

故答案为：2025

【答案点睛】

本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查二项式展开式指定项系数的求法，属于基础题.

[2，2]

【答案解析】

C2+1

计算得到1。+加=",。2=加Cleosa-1,解得cosa=7祠，根据三角函数的有界性计算范围得到答案.

【题目详解】

_—兀、]_•

由(〃-c)•(5)=0可得二(@+b)9C-a=la+/?卜1。\cosa-lx2cos-=\(2+b|e|\cosa-1,〃为M+6

与c的夹角.

再由、+5)=«2+62+2(1・5二71一L

l+4+2xlx2cos3=7可得14+51=5/^,

_+1

/.C2=小15\cosa-1,解得cosa=而

C2+即付2一々|5+10),解得"；褥《|以K串,

*/0<a<^,:.-l<c^a<l,~外r=T~

故答案为*'V7-2V3，6+23]卜

【答案点睛】

本题考查了向量模的范围，意在考查学生的计算能力，利用三角函数的有界性是解题的关键.

16、回

【答案解析】

根据弦的垂直平分线经过圆心，结合圆心所在直线方程，即可求得圆心坐标.由两点间距离公式，即可得半径.

【题目详解】

因为圆经过点A(-3,2),8(-5,—2)

,2-(-2)

则直线AB的斜率为k=QU)=2

,,1

所以与直线AB垂直的方程斜率为忆=一l

点A(-3,2),8(-5,-2)的中点坐标为M(-4,0)

所以由点斜式可得直线AB垂直平分线的方程为y=-1G+4),化简可得x+2)，+4=0

而弦的垂直平分线经过圆心，且圆心在直线3x-2y+4=0上,设圆心°Q,b)

Q+22+4=0a=-2

所以圆心满足彳3a—2。+4=0解得‘

b=-1

所以圆心坐标为°(一2,-1)

则圆的半径为r=Q4=^(-3+2>+(2+1)2=回

故答案为：Vio

【答案点睛】

本题考查了直线垂直时的斜率关系，直线与直线交点的求法,直线与圆的位置关系，圆的半径的求法,属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17,(I)晨+晨=l(yw。)和晨一晨=l(y>0).;(H)证明见解析；(III)"声.

201620163

【答案解析】

/+枚=36

(1)由1(2,0),£(-6,0),可得，解出即可；

23[〃2_。2=4

(II)设点4(x,y),8(x,y),M(x,y),设直线/：y=2(x—⑼，与椭圆方程联立可得：

112200q

2x2-2mx+Cn2-02）=0,利用A>0,

根与系数的关系、中点坐标公式，证明即可;

（III）由（I）知，曲线晨+晨=1（浜0），且勺（6,0）,设直线4的方程为：x=〃），+65>0）,与椭圆方程联立可得：

201641

（5+4"2）尸+48町+64=0,利用根与系数的关系、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质，即可

求解.

【题目详解】

（1）由题意：；£（2,0）,々（一6,0）,

。2+拉=36=20

,,।,A»解得।,[（，

。2一02=4[02=16

则曲线「的方程为：2+2=i（vw°）和2—2>0）♦

20162016

厂,h

（11）证明：由题意曲线c,的渐近线为：y=±-x'

,h/、

设直线/：y=—（》-机），

a

b

y=（工一加）（、

则联立，a,得2*-2mx+1?2-。2J=°,

X2+y2

。2。2

...△=4加2-8S/2-。2八0,解得：_^2a<m<yj2a,

又由数形结合知

设点履「;）屈々力）,加1%）,

mbm

..x=—,y~~——,

o2o2a

bb

・・.y=--X,即点M在直线丁二一一X上.

0。°a

（ni）由（1）知，曲线c：=+襄=1（嵬0），点£（6,o）,

।20164

设直线〈的方程为：x=ny+6（n>0）,

x=+6

，联立]尤2+>2_],得：占+4"2力2+48盯+64=0,

（20+16-

=（48〃）2一4X64X（5+4/2）>0=>>1,

设C（x,y）,O（x,y）,

3344

48〃64

3，45+4〃2,3。5+4〃2

..也一”=,（）；+yj—4y,

.•.△0）尸面积5=_1尸尸|口一y|=lx8xl^2^EI=6475x^Ei,

11

212—•4I25+4〃2、5+4〃2

令]=-1>0,〃2=f2+l,

,_6s_64^/5,1675

..J-------------5.-----

4f2+9.9、3

4r+_

t

当且仅当=],即〃=巫时等号成立，所以ACOF,面积的最大值为吧叵.

【答案点睛】

本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆的相交问题、弦长公式、三角形的面积计算公式、基本不

等式的性质，考查了推理论证能力与运算求解能力，属于难题.

2

18、（1）见解析（2）-

【答案解析】

⑴由已知可证得AZ）1平面PDC,则有AD1PC,在△PDC中，由已知可得DM1PC,即可证得PC1平面ADM,

进而证得结论.

⑵过M作MN〃尸。交。。于N,由M为PC的中点，结合已知有MV1平面A8CD.

则V=V=?S•仞7=彳,可求得，=4.建立坐标系分别求得面。5"的法向量方=（2,-2,1）,平面

C-DBMM-DBC34DBC3

DMC的一个法向量为质=6,0,0）,利用公式即可求得结果.

【题目详解】

（1）证明：•••PO•L平面48Cr>,ADu平面A8CD,

...AD1PD，又四边形ABCD为正方形，

：.AD1DC.

又PD、ZX:u平面POC,且PZ）cOC=。，

ADJL平面PDC.：.ADIPC.

△PDC中，t=PD=DC=2,A/为PC的中点，

：.DM1PC.

又A。、ZWu平面MM,AD[）DM=D,

：.PC1平面ADM.

PC<=平面PBC,：.平面0M41平面PBC.

（2）解：过M作MN//PD交DC于N,如图

••M为PC的中点、，：.MN（LPD,:.MN=Lt.

・_22

又P。_L平面ABCD,MN，平面ABCD.

V=V=ls-^=1x1x22x1=1,./=4.

C-DBMM-DBC3△DBC3223

所以PD=4,又PD、04、。。两两互相垂直，以DP、DA,DC为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标

系.£>（0,0,0）,B（2,2,1）,C（0,2,0）,M（0,1,2）

设平面DBM的法向量n=（x,y,z）,则

n-DB=0[2x+2y=0

V即V

DMDM^Q'[y+2z=o.

令z=l,则x=2,y=-2.:.n=（2,-2,1）.

•••平面DMC的一个法向量为tn=（1,0,0）

【答案点睛】

本题考查面面垂直的证明方法，考查了空间线线、线面、面面位置关系，考查利用向量法求二面角的方法，难度一般.

73

19,(I)—(II)-(III)见解析

【答案解析】

(I)根据茎叶图求出满足条件的概率即可；

(II)结合图表得到6人中有2个人考核为优，从而求出满足条件的概率即可;

X

(III)求出满足一^—<1的成绩有16个，求出满足条件的概率即可.

【题目详解】

解：(I)设这名学生考核优秀为事件A,

由茎叶图中的数据可以知道，30名同学中，有7名同学考核优秀,

所以所求概率P(4)约为京

(II)设从图中考核成绩满足XG180,89］的学生中任取2人，

至少有一人考核成绩优秀为事件8,

因为表中成绩在180,891的6人中有2个人考核为优,

所以基本事件空间。包含15个基本事件，事件B包含9个基本事件,

93

所以P(B)=—=—

(III)根据表格中的数据，满足<1的成绩有16个,

x—85吧」>0.5

所以「<1

"To-3015

所以可以认为此次冰雪培训活动有效.

【答案点睛】

本题考查了茎叶图问题，考查概率求值以及转化思想，是一道常规题.

20、(1)竺+22=1(2)证明见解析

64

【答案解析】

(1)由点40,-2)可得b=2,由e=£=史，根据心—C2=从即可求解；

a3

y=kx+l

(2)设直线I的方程为y=依+1,联立|X2户可得(2+3公)4+6履-9=0,设。(、，、),N(X,,)；),由韦达定

—^―+-^――1

64

6k9,.

理可得x+xXX再根据直线的斜率公式求得勺♦晨；由点5与点。关于原点对称，可设

-2+5k?12L+5k2Q,

kk-k

,-y）,可求得％M则产=产十也即可求证.

IIAQABkK-K

ABAQAB

【题目详解】

解：（1）由题意可知匕=2,e=£=正,

a3

又Q2-C2=/?2，得Q=A/6,C=y/29

所以椭圆M的方程为J+L=l

64

（2）证明:设直线/的方程为>="+1,

y=kx+l

联立,X2V2，可得（2+3%2）次2+6丘—9=0,

一+—=1

64

设。（X，y），N（X,y）,

I1