中考综合模拟考试《数学卷》含答案解析

中考模拟测试数学卷

学校班级姓名成绩

一、选择题

1.-5的相反数是（）

A.—5B.5C.—D.—

55

2.把0.0813写成“X10"（lWa<10,“为整数）的形式，则“为（）

A.1B.-2C.0.813D.8.13

3.下列立体图形中，主视图是三角形的是（）.

4.如图，直线被c,d所截，且。//。，则下列结论中正确的是（）

A.Z1=Z2B.N3=N4C.Z2+Z4=180D.4+N4=180

5.己知xi、X2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是（）

A.X1/X2B.xi+x2>0C.Xl«X2>0D.xi<0,X2<0

6.在只有15人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，若选手要想知道自己是否进入前8名，只需

要了解自己的成绩以及全部成绩的（）

A.平均数B.中位数C.众数D.以上都不对

7.如图，AC是OO的直径，弦BD_LAO于E,连接BC,过点0作OF_LBC于F,若BD=8cm,AE=2cm,

则OF的长度是（)

B,

5

c

A.3cmB.acmC.2.5cmD.亚cm

8.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1,则tan/BAC的值为()

D

I

A.-B.1C.—D.也

23

9.抛物线y=ax2+bx+c对称轴为直线x=-l,部分图象如图所示，下列判断中：

①abc>0：

②b2-4ac>0；

③9a-3b+c=0；

④若点（-0.5,yi）(-2,y2)均在抛物线上，则yi>y2；

⑤5a-2b+c<0.

其中正确个数有（)

A.2B.3C.4D.5

10.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自耍拼一个与原来面积相等的正方

形，则(）

.2.2]

乙

A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以

C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以

二、填空题

11.计算：（3x2019）°—2T=

12.写出一个满足V3<a<V17的整数a的值为—

13.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕。点旋转到AC位置，已知AB_LBD,CD1BD,垂

足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=lm,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为.

14.如图，一次函数y--2与y=2x+m的图象相交于点P（n,-4）,则关于x的不等式组｛*2<J一

的解集为

15.刘微是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆田术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式,

并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接

正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又

割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六

边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6R,

如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，如果按照上述

方法计算，可得圆周率为.（参考数据：sin15°=0.26）

三、解答题

■X

16.先化简，再求值：（1-」一）4--一，其中广2sin45°+1.

x+1X—1

17.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）,其

中条形图被墨迹遮盖了一部分.

（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；

（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率：

（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变,

则最多补查了人.

18.已知：如图，以等边AABC边BC为直径作。0,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DFLAC交

AC于点F.

（1）求证：DF是。。的切线;

（2）若等边AABC的边长为8,求由OE、DF、EF围成的阴影部分面积.

19.某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年

在2015年的基础上增加投入资金1600万元.

(1)从2015年到2017年，该地投入异地安置资金年平均增长率为多少？

(2)在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前

1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年

该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

20.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数丫=工(k为常数且k30)的图象交于A(-1,a),B两点，

x

与X轴交于点C

(1)求此反比例函数的表达式；

3

(2)若点P在x轴上，且SAACP=—SABOC,求点P的坐标.

2

21.如图，在边长为2的正方形ABC。中，尸为A8的中点，。为边C。上一动点，设OQ=《OV/V2),

线段PQ的垂直平分线分别交边A。、8C于点M、N,过。作于点七，过“作。于

点尸.

(1)当时，求证：\PEQ=\NFM.

(2)顺次连接p、。、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量f之间的函数关系式，

并求S的最小值.

33

22.如图，直线y=--x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y=x?+bx+c经过A、B两点，与x

48

轴的另一个交点为C.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P是第一象限抛物线上点，连接0P交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m,PQ与0Q的比值为y,

求y与m的关系式，并求出PQ与0Q的比值的最大值

/c、11，•1，.,.1、tY，.AXB111t—*V-/«1J-*c/V*.

'殳△ODC外接圆的圆心为M,当sinzODC的值最大时,

雷用图

答案与解析

一、选择题

1.-5的相反数是（）

A.—5B.5C.—D.—

55

【答案】B

【解析】

分析】

根据相反数的定义即可.

【详解】解：-5的相反数是5,

故选：B.

【点睛】本题考查了相反数的定义，解题的关键是熟知只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0.

2.把0.0813写成aXIO"（lWa<10,”为整数）的形式，则。为（）

A.1B.-2C.0.813D.8.13

【答案】D

【解析】

把0.0813写成aX13（lWa<10,〃为整数）的形式，则a为8.13,

故选D.

3.下列立体图形中，主视图是三角形的是（）.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据从正面看得到的图形是主视图可得图形的主视图.

【详解】A、C、D主视图是矩形，故A、C、D不符合题意；

B、主视图是三角形，故B正确；

故选B.

【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，圆锥的主视图是三角形.

4.如图，直线被c,d所截，且a//。，则下列结论中正确的是（）

A.Z1=Z2B.N3=N4C.Z2+Z4=180D.Zl+Z4=180

【答案】B

【解析】

【分析】根据平行线的性质进行判断即可得.

【详解】如图，Va//b,

：.Z\=Z5,Z3=Z4,

VZ2+Z5=180°,.•.无法得到N2=N5,即得不到N1=N2,

由已知得不到N2+N4=180、Zl+Z4=180，

所以正确的只有B选项,

故选B

【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键.

5.已知xi、X2是关于x的方程X?-ax-2=0的两根，下列结论一定正确的是（)

A.X#X2B.xi+x2>0C.Xl,X2>0D.xi<0,X2<0

【答案】A

【解析】

分析：A、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞（）,由此即可得出x"x2,结论A正确;

B、根据根与系数的关系可得出xi+x2=a,结合a的值不确定，可得出B结论不一定正确;

C、根据根与系数的关系可得出XI・X2=-2,结论C错误；

D、由X>X2=-2,可得出XI<0,X2>0,结论D错误.

综上即可得出结论.

详解:AVA=(-a)2-4xlx(-2)=a2+8>0,

...X1rX2,结论A正确；

B、：X|、X2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，

；.xi+x2=a,

「a的值不确定，

•*.B结论不一定正确；

C、：X|、X2是关于x的方程x2-ax-2=0的两根，

.".xi«X2=-2,结论C错误；

D、*.'xi*X2=-2,

/.xi<0,X2>0,结论D错误.

故选A.

点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当A>0时，方程有两个不相等的实数根”是解题

的关键.

6.在只有15人参加的演讲比赛中，参赛选手的成绩各不相同，若选手要想知道自己是否进入前8名，只需

要了解自己的成绩以及全部成绩的()

A.平均数B.中位数C.众数D.以上都不对

【答案】B

【解析】

【分析】

此题是中位数在生活中的运用，知道自己的成绩以及全部成绩的中位数就可知道自己是否进入前8名.

【详解】15名参赛选手的成绩各不相同，第8名的成绩就是这组数据的中位数，

所以选手知道自己的成绩和中位数就可知道自己是否进入前8名.

故选B.

【点睛】理解平均数，中位数，众数的意义.

7.如图，AC是。O的直径，弦BDLAO于E,连接BC,过点O作OFJ_BC于F,若BD=8cm,AE=2cm,

则OF的长度是()

A.3cmB.acmC.2.5cmD.^5cm

【答案】D

【解析】

分析：根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，再利用相似三角形的判定和性质解答

即可.

详解：连接0B,

〈AC是。0的直径，弦BD_LAO于E,BD=8cm,AE=2cm.

在RtZkOEB中，OE2+BE2=OB2,B|JOE2+42=(OE+2)2

解得：0E=3,

・・・OB=3+2=5,

••・EC=5+3=8.

在RtAEBC中，BC=《BE?+EC?=>/42+82=46•

VOF±BC,

・・・ZOFC=ZCEB=90°.

vzc=zc,

.'.△OFC^ABEC,

.OFOCOF5

・・一=—,BnrJl—=—尸,

BEBC44石

解得:OF=V5.

故选D.

点睛：本题考查了垂径定理，关键是根据垂径定理得出0E的长.

8.如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1,贝Ijtan/BAC的值为（)

e

cD.G

3

【答案】B

【解析】

【分析】

连接BC,由网格求出AB,BC,AC的长，利用勾股定理的逆定理得到AABC为等腰直角三角形，即可求

出所求.

【详解】如图，连接BC,

由网格可得AB=BC=&，AC=V10，即AB2+BC2=AC2,

.".△ABC为等腰直角三角形，

ZBAC=45°,

贝ijtanNBAC=l,

故选B.

---------1-------

【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的

关键.

9.抛物线丫=2*2+6*+（:的对称轴为直线x=-1,部分图象如图所示，下列判断中:

①abc>0；

②b?-4ac>0；

③9a-3b+c=O；

④若点（-0.5,yi）,（-2,y?）均在抛物线上，则yi>y2；

⑤5a-2b+c<0.

其中正确的个数有（）

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【解析】

【分析】

分析：根据二次函数的性质一一判断即可.

【详解】详解：•••抛物线对称轴x=-l,经过(1,0),

b

-----=-1,a+b+c=0,

2a

b=2a,c=-3a,

Va>0,

.,.b>0,c<0,

abc<0,故①错误，

•.•抛物线对称轴x=-l,经过(1,0),

可知抛物线与x轴还有另外一个交点(-3,0)

.♦.抛物线与x轴有两个交点，

.\b2-4ac>0,故②正确，

•..抛物线与x轴交于(-3,0),

/.9a-3b+c=0,故③正确，

•.•点(-0.5,yi),(-2,y2)均在抛物线上，

(-0.5,yi)关于对称轴的对称点为(-1.5,yi)

(-1.5,yi),(-2,y2)均在抛物线上，且在对称轴左侧,

-1.5>-2,

则yi〈y2；故④错误，

5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a<0,故⑤正确,

故选B.

【点睛】本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知

识解决问题，属于中考常考题型.

10.如图是甲、乙两张不同的矩形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方

形，贝ij()

_1_1.2_21

1\\j/\1：

_IL._-------：-------—

甲乙

A.甲、乙都可以B.甲、乙都不可以

C.甲不可以、乙可以D.甲可以、乙不可以

【答案】A

【解析】

试题分析：剪拼如下图：

甲

故选A

考点：剪拼，面积不变性，二次方根

二、填空题

11.计算：（3x2019）°—2T=_.

【答案】L

2

【解析】

【分析】

根据零次嘉和负指数基的运算法则计算即可.

【详解】原式=1--=

22

故答案为：一.

2

【点睛】本题考查零次事与负指数新熟记""=±（470）,是解题的关键.

a

12.写出一个满足a＜J万的整数〃的值为..

【答案】答案不唯一：2、3、4.

【解析】

【分析】

根据算术平方根性质估计两个无理数的大小，即1＜百＜a＜J万＜屈=5,便可得出答案.

【详解】解：因为1＜百＜a＜JI7＜病=5,所以，正整数a是2,3,4.

故答案为：答案不唯一：2、3、4.

【点睛】本题考核知识点：实数的大小比较.解题关键点：根据算术平方根性质估计无理数的大小.

13.学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知ABLBD,CD1BD,垂

足分别为B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=lm,则栏杆C端应下降的垂直距离CD为.

【答案】0.4m

【解析】

【分析】

先证明△OAB^^OCD,再根据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可.

【详解】,：ABLBD,CD1,BD,

：.ZABO=ZCDO.

・・・NAOB=/COD,

.*.△OABs^oCD,

：.AO:CO=AB:CD,

A4:1=1.6:CD,

CD=OA.

故答案为0.4.

【点睛】本题主要考查了相似三角形的应用，正确地把实际问题转化为相似三角形问题，利用相似三角形

的判定与性质解决是解题的关键.

14.如图，一次函数y=-x-2与y=2x+m的图象相交于点P(n,-4),则关于x的不等式组｛

一无一2<0

的解集为一.

【答案】-2<x<2

【解析】

【分析】

先将点P(n,-4)代入y=-x-2,求出n的值，再找出直线y=2x+m落在y=-x

-2的下方且都在x轴下方的部分对应的自变量的取值范围即可.

【详解】•.•一次函数y=-x-2的图象过点P(n,-4),

-4--n-2,解得n=2,

：.P(2,-4),

又：y=-x-2与x轴的交点是(-2,0),

2.x+nv^-x—2

关于X的不等式组〈八的解集为-2<x<2.

-x-2<0

故答案为一2<x<2.

【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出

n的值，是解答本题的关键.

15.刘徵是我国古代最杰出的数学家之一，他在《九算术圆山术）中用“割圆术”证明了圆面积的精确公式,

并给出了计算圆周率的科学方法（注：圆周率=圆的周长与该圆直径的比值）“割圆术”就是以“圆内接

正多边形的面积”，来无限逼近“圆面积”，刘徽形容他的“割圆术”说：割之弥细，所失弥少，割之又

割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣.刘徽计算圆周率是从正六边形开始的，易知圆的内接正六

边形可分为六个全等的正三角形，每个三角形的边长均为圆的半径R.此时圆内接正六边形的周长为6R,

如果将圆内接正六边形的周长等同于圆的周长，可得圆周率为3.当正十二边形内接于圆时，如果按照上述

方法计算，可得圆周率为____.（参考数据：sinl5°=0.26）

【答案】3.12

【解析】

【分析】

连接而卜OA,,根据正十二边形的性质得到/4%2=30°,物z是等腰三角形，作〃于根据等

腰三角形三线合一的性质得出/4期=15°,44=24机设圆的半径R,解直角△4切/,求出4M进而得

到正十二边形的周长。那么圆周率"g-

2R

【详解】如图，设半径为彳的圆内接正十二边形的周长为£.

连接OA2,

•.,十二边形［也…亦是正十二边形，

二/4的2=30°.

作OML44于M,又OA、=OAz，

,44=24区

在直角犷中，4.井=flVsin/4QQO.26凡

.•.44=2440.52

.•.£=1244=6.24R,

同“L6.24

••圆周率丁Ig---=-----=3.12.

2R2R

故答案为3.12.

上6

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正多边形和圆，等腰三角形的性质，求出正十二边形的周长工

是解题的关键.

三、解答题

1Y

16.先化简，再求值：（1-——）4--一，其中X=2sin45°+1.

x+1x2-l

【答案】x-近.

【解析】

【分析】

先将括号内通分计算，再将除法变乘法，约分化简，最后代入x的值计算即可.

【详解】原式=一匚•生二三出

X+1X

=x-l,

5

当x=2x---+1=0+1时,

2

原式=友+1-1

=£

【点睛】本题考查分式的化简求值与特殊角度的三角函数值，熟练掌握分式的混合计算，熟记特殊角度的

三角函数值是解题的关键.

17.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图1）和不完整的扇形图（图2）,其

中条形图被墨迹遮盖了一部分.

（1）求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；

（2）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；

（3）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变,

则最多补查了人.

人数人

【答案】（1）条形图中被遮盖的数为9,册数的中位数为5；（2）选中读书超过5册的学生的概率为

—；（3）3

12

【解析】

【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4

册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；

（2）用读书为6册和7册的人数和除以总人数得到选中读书超过5册的学生的概率；

（3）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27,从而得到最多补查的人数.

【详解】（1）抽查的学生总数为6・25%=24（人），

读书为5册学生数为24-5-6-4=9（A）,

所以条形图中被遮盖的数为9,册数的中位数为5：

（2）选中读书超过5册的学生的概率=3=』；

2412

（3）因为4册和5册的人数和为14,中位数没改变，所以总人数不能超过27,即最多补查了3

人，

故答案为3.

【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数以及概率公式，读懂统计图，从中找到必

要的信息进行解题是关键：概率的计算公式为：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结

果数除以所有可能出现的结果数.

18.已知：如图，以等边AABC的边BC为直径作。0,分别交AB,AC于点D,E,过点D作DFJ_AC交

AC于点F.

（1）求证：DF是。O的切线；

（2）若等边AABC的边长为8,求由£）E、DF、EF围成的阴影部分面积.

【答案】（1）证明见解析；（2）6^--

3

【解析】

分析：（1）连接CD、0D,先利用等腰三角形的性质证AD=BD,再证0D为AABC的中位线得D0〃AC,

根据DFLAC可得；

（2）连接0E、作OGJ_AC,求出EF、DF的长及NDOE的度数，根据阴影部分面积=S（WEFDO-S出彩DOE计

算可得.

详解：（1）如图，连接CD、0D,

；BC是。0的直径，

ZCDB=90°,即CD_LAB,

又•••△ABC是等边三角形，

AAD=BD,

VBO=CO,

・・・DO是^ABC的中位线，

A0D/7AC,

•:DF±AC,

ADF1OD,

・・・DF是。。的切线；

(2)连接OE、作OG_LAC于点G,

ZOGF=ZDFG=ZODF=90°,

・・・四边形OGFD是矩形,

/.FG=0D=4,

VOC=OE=OD=OB,KZCOE=ZB=60°,

・•・AOBDWAOCE均为等边三角形，

AZBOD=ZCOE=60°,CE=OC=4,

・・・EG=;CENDF=OG=OCsin60°=273，ZDOE=60°,

:.EF=FG-EG=2,

则阴影部分面积为S悌形EFDO・S扇形DOE

160W

=­X(2+4)x2垂)-

2360

=6-\/3---71.

3

点睛：本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识.判断直线和圆的位置关

系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为90。即可.注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相应

的线段长.

19.某地2015年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2017年

在2015年的基础上增加投入资金1600万元.

（1）从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2017年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前

1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年

该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

【答案】（1）50%；（2）今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.

【解析】

【分析】

（1）设年平均增长率为x,根据“2015年投入资金x（1+增长率）2=2017年投入资金”列出方程，解方程即

可；（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据“前1000户获得的奖励总数+1000户以后获得的

奖励总和"00万“列不等式求解即可.

【详解】（1）设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x,根据题意，

得：1280（1+x）2=1280+1600,

解得：x=0.5或x=-2.25（舍），

答：从2015年到2017年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%；

（2）设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，

得：1000x8x400+(a-1000)x5x400>5000000,

解得:a>1900,

答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励.

考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用.

20.如图，一次函数y=x+4的图象与反比例函数y二七(k为常数且kwO)的图象交于A(-1,a),B两点,

x

与X轴交于点C

(1)求此反比例函数的表达式；

3

(2)若点P在x轴上，且S^ACP二一S^BOC,求点P的坐标.

2

4

/c0\

3

【答案】(1)y=-一(2)点P(-6,0)或(-2,0)

x

【解析】

【分析】

(1)利用点A在y=-x+4上求a,进而代入反比例函数y=七求k.

X

(2)联立方程求出交点，设出点P坐标表示三角形面积，求出P点坐标.

【详解】(1)把点A(-1,a)代入y=x+4,得a=3,

AA(-1,3)

k

把A(-1,3)代入反比例函数y二一

x

k=-3,

3

...反比例函数的表达式为y=

X

(2)联立两个函数的表达式得

'y=x+4

,k

y=-

X

解得

x=-\x=-3

或《

[y=3

.•.点B的坐标为B(-3,1)

当y=x+4=0时，得x=-4

.,.点C(-4,0)

设点P的坐标为(x,0)

..3

•S&ACP=5S&BOC,

解得X1=-6,X2=-2

...点P(-6,0)或(-2,0)

【点睛】本题是一次函数和反比例函数综合题，考查利用方程思想求函数解析式，通过

联立方程求交点坐标以及在数形结合基础上的面积表达.

21.如图，在边长为2的正方形ABCD中，P为的中点，。为边CO上一动点，设《0WfW2),

线段PQ的垂直平分线分别交边A。、于点A/、N,过Q作于点E，过/作于

点户.

(1)当EW1时，求证：kPEQ合ANFM；

(2)顺次连接P、M、。、N,设四边形PMQN的面积为S,求出S与自变量f之间的函数关系式，

并求S的最小值.

【答案】(1)见解析；(2)S=-t2-t+-,S的最小值为2

22

【解析】

【分析】

(1)由四边形ABCD是正方形得到NA=/B=/D=90°，AD=AB，又由NEQP=NFMN,利用

ASA即可证得;

(2)分为两种情况：①当£在AP上时，由点尸是边AB的中点，45=2，AE=，，又由勾股定

理求得PQ,由△PEQw&VFM得到PQ的值，又PQLMN求得面积S,由♦范围得到S的最小值；②

当£在8尸上时，同法可求S的最小值.

【详解】解：(1)证明：：四边形AB8是正方形，

Z.A.—NB-ZD—90°，AD=AB，

VQE1AB,MF1BC,

：.AAEQ=ZMFB=90°,

四边形ABEW、AEQ。都是矩形，

:.MF=AB,QE=AD,MF±QE,

，MF=QE

又：PQ上MN,

：.Z1+ZEQP=90°,Z2+ZFMN=90°,

*/N1=N2，

NEQP=NFMN,

又,/ZQEP=ZMFN=90°,

"EQ=&VF70(ASA)；

(2)解：分为两种情况：①当E在AP上时,

DQ

:点P是边AB的中点，4?=2，DQ=AE=t,

：.PA^l，PE=\-t,QE=2,

由勾股定理，得PQ=4QE2+PE2=J0_f)2+4，

•；/^PEQ=\NFM,

，MN=PQ=^(l-r)2+4，

又PQVMN,

：.S=-PQMN=-{(1-tf+4=-t2-t+~,

22L」22

•「OWAEWAP

/.0<r<l,

；•当/■=1时，S最小但=2.

②当E在族上时，

•.•点尸是边A3的中点，A3=2,DQ=AE=t,

：.PA^l,PE=t-\,QE=2,

由勾股定理，得PQ=dQE?+PE2=J(f_iy+4,

•/kPEQwANFM,

MN=PQ=J61)2+4，

又•；PQ1MN,

AS=-PC-^=-r^-l)2+4]=-t2-t+-,

22L」22

・.,AP〈AE<AB

.,.当r=1时，S最小值—2.

1.5

综上：S=—/一，+—,5最小值为2.

22

【点睛】此题考查的是正方形的性质、全等三角形的判定及性质、求四边形的面积最值，掌握正方形的性

质、全等三角形的判定及性质、对角线互相垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半、和利用二次函数

求最值是解决此题的关键.

33

22.如图，直线y=-二x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y=-二x?+bx+c经过A、B两点，与x

48

轴的另一个交点为C.

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是第一象限抛物线上的点，连接0P交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m,PQ与0Q的比值为y,

求y与m的关系式，并求出PQ与0Q的比值的最大值；

（3）点D是抛物线对称轴上的一动点，连接OD、CD,设^ODC外接圆的圆心为M,当sinZODC的值最大时,

求点M的坐标.

【答案】（1）抛物线解析式为y---x2+—x+3；（2）y=--m2+—m,PQ与0Q的比值的最大值为一；（3）

84822

点M的坐标为（-1,6）或（-1,-73）.

【解析】

【分析】（1）根据直线解析式求得点A、B的坐标，将两点的坐标代入抛物线解析式求解可得；