概率论与数理统计习题集及答案

概率论与数理统计习题集及答案1-《概率论与数理统计》作业集及答案第1章概率论的基本概念§1.1随机试验及随机事件1.(1)一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T出现的情形.样本空间是：S=；(2)一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数.样本空间是：S=；2.(1)丢一颗骰子.A：出现奇数点，则A=；B：数点大于2，则B=.(2)一枚硬币连丢2次，A：第一次出现正面，则A=；B：两次出现同一面，则=；C：至少有一次出现正面，则C=.§1.2随机事件的运算1.设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件：(1)A、B、C都不发生表示为：.(2)A与B都发生,而C不发生表示为：.(3)A与B都不发生,而C发生表示为：.(4)A、B、C中最多二个发生表示为：.(5)A、B、C中至少二个发生表示为：.(6)A、B、C中不多于一个发生表示为：.2.设：则（1），（2），（3），（4）=，（5）=。§1.3概率的定义和性质已知，则(1),(2)()=,(3)=.2.已知则=.§1.4古典概型1.某班有30个同学,其中8个女同学,随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率,(2)最多有2个女同学的概率,(3)至少有2个女同学的概率.2.将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.§1.5条件概率与乘法公式1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是。2.已知则。§1.6全概率公式有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。§1.7贝叶斯公式某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1）该厂产品能出厂的概率，（2）任取一出厂产品,求未经调试的概率。将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:2，若接收站收到的信息是A，问原发信息是A的概率是多少？§1.8随机事件的独立性1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。ABLRCD甲，乙,丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率:(1)恰好命中一次,(2)至少命中一次。第1章作业答案§1.11：（1）；（2）2：（1）；（2）正正，正反正正，反反正正，正反，反正}。§1.21：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)或；2：(1)；(2)；(3)；（4）或；（5）。§1.31：(1)=0.3,(2)=0.2,(3)=0.7.2：)=0.4.§1.41：(1),(2)(,(3)1-(.2：.§1.51：.2/6；2：1/4。§1.61：设A表示第一人“中”，则P(A)=2/10设B表示第二人“中”，则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=两人抽“中‘的概率相同,与先后次序无关。2：随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：p=0.5×0.4+0.5×0.5=0.45§1.71：（1）94%（2）70/94；2：0.993；§1.8.1：用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=AB∪CD,从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性P(T)=P(AB)+P(CD)-P(ABCD)=P(A)P(B)+P(C)P(D)–P(A)P(B)P(C)P(D)2：(1)0.4(1-0.5)(1-0.6)+(1-0.4)0.5(1-0.6)+(1-0.4)(1-0.5)0.6=0.38；(2)1-(1-0.4)(1-0.5)(1-0.6)=0.88.第2章随机变量及其分布§2.1随机变量的概念，离散型随机变量1一盒中有编号为1，2，3，4，5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球中的最大号码.,试写出X的分布律.2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，一次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数,试写出X的分布律。§2.2分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从λ=4的泊松分布，求(1)每分钟恰有1次呼叫的概率；(2)每分钟只少有1次呼叫的概率；(3)每分钟最多有1次呼叫的概率；2设随机变量X有分布律：X23,Y～π(X),试求：p0.40.6（1）P(X=2,Y≤2)；(2)P(Y≤2)；(3)已知Y≤2,求X=2的概率。§2.3贝努里分布一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻(1)恰有2台计算机被使用的概率是多少？(2)至少有3台计算机被使用的概率是多少？(3)至多有3台计算机被使用的概率是多少？(4)至少有1台计算机被使用的概率是多少？2设每次射击命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率不小于0.9？§2.4随机变量的分布函数1设随机变量X的分布函数是：F(x)=求P(X≤0)；P；P(X≥1)，(2)写出X的分布律。2设随机变量X的分布函数是：F(x)=,求（1）常数A,(2)P.§2.5连续型随机变量1设连续型随机变量的密度函数为：（1）求常数的值；（2）求X的分布函数F(x)，画出F(x)的图形，（3）用二种方法计算P(-0.5<X<0.5).2设连续型随机变量的分布函数为：F(x)=求X的密度函数，画出的图形，(2)并用二种方法计算P(X>0.5).§2.6均匀分布和指数分布1设随机变量K在区间(0,5)上服从均匀分布,求方程4+4Kx+K+2=0有实根的概率。2假设打一次电话所用时间（单位：分）X服从的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待：（1）超过10分钟的概率；（2）10分钟到20分钟的概率。§2.7正态分布1随机变量X～N(3,4),(1)求P(2<X≤5),P(-4<X≤10),P(|X|>2),P(X>3)；确定c，使得P(X>c)=P(X<c)。2某产品的质量指标X服从正态分布，μ=160，若要求P(120<X<200)≥0.80，试问σ最多取多大？§2.8随机变量函数的分布1设随机变量的分布律为；X012p0.30.40.3Y=2X–1,求随机变量的分布律。2设随机变量的密度函数为：，；求随机变量Y的密度函数。3.设随机变量服从（0，1）上的均匀分布，，求随机变量Y的密度函数。第2章作业答案§2.11：X345p0.10.30.62：X12345p0.40.6×0.40.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.40.6×0.6×0.6×0.6×1§2.21：(1)P(X=1)=P(X≥1)–P(X≥2)=0.981684–0.908422=0.073262,(2)P(X≥1)=0.981684,(3)P(X≤1)=1-P(X≥2)=1–0.908422=0.091578。2：(1)由乘法公式：P(X=2,Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)=0.4×()=2（2）由全概率公式：P(Y≤2)=P(X=2)P(Y≤2|X=2)+P(X=3)P(Y≤2|X=3)=0.4×5+0.6×=0.27067+0.25391=0.52458（3）由贝叶斯公式：P(X=2|Y≤2)=§2.31：设X表示在同一时刻被使用的台数，则X～B(5,0.6),(1)P(X=2)=(2)P(X≥3)=(3)P(X≤3)=1-(4)P(X≥1)=1-2：至少必须进行11次独立射击.§2.41：（1）P(X≤0)=0.5；P=0.5；P(X≥1)=0.5，(2)X的分布律为：X-11P0.50.52：(1)A=1,(2)P=1/6§2.51：（1），（2）；（3）P(-0.5<X<0.5)=；或=F(0,5)–F(-0.5)=。2：（1）（2）§2.61：3/52：§2.71：(1)0.5328,0.9996,0.6977,0.5；(2)c=3，2：σ≤31.25。§2.81：Y-113p0.30.40.32：，3：；第3章多维随机变量§3.1二维离散型随机变量设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出(X,Y)的联合分布律及边缘分布律。设二维随机变量的联合分布律为：XY012试根椐下列条件分别求a和b的值；00.10.2a(1)；10.1b0.2(2)；(3)设是的分布函数，。§3.2二维连续型随机变量的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X<1/2,Y<1/2)；(3)P(X+Y<1)；(4)P(X<1/2)。2．的联合密度函数为：求（1）常数k；（2）P(X+Y<1)；(3)P(X<1/2)。§3.3边缘密度函数设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。2.设(X,Y)的联合密度函数如下，分别求与的边缘密度函数。§3.4随机变量的独立性(X,Y)的联合分布律如下，XY123试根椐下列条件分别求a和b的值；11/61/91/18(1)；2ab1/9(2)；（3）已知与相互独立。(X,Y)的联合密度函数如下，求常数c，并讨论与是否相互独立？第3章作业答案§3.11：XY122：(1)a=0.1b=0.310.40.30.7(2)a=0.2b=0.220.30.0.3(3)a=0.3b=0.10.70.31§3.21：(1)k=1；(2)P(X<1/2,Y<1/2)=1/8；(3)P(X+Y<1)=1/3；(4)P(X<1/2)=3/8。2：(1)k=8；(2)P(X+Y<1)=1/6；(3)P(X<1/2)=1/16。§3.31：；；2：；；§3.41：（1）a=1/6b=7/18；(2)a=4/9b=1/9；（3）a=1/3,b=2/9。2：c=6,X与Y相互独立。第4章随机变量的数字特征§4.1数学期望1．盒中有5个球，其中2个红球，随机地取3个，用X表示取到的红球的个数，则EX是：（A）1；（B）1.2；（C）1.5；（D）2.设有密度函数：,求,并求大于数学期望的概率。设二维随机变量的联合分布律为：XY012已知，00.10.2a则a和b的值是：10.1b0.2（A）a=0.1,b=0.3；（B）a=0.3,b=0.1；（C）a=0.2,b=0.2；（D）a=0.15,b=0.25。4．设随机变量(X,Y)的联合密度函数如下：求。§4.2数学期望的性质1．设X有分布律：X0123则是：p0.10.20.30.4（A）1；（B）2；（C）3；（D）4.设有，试验证，但与不相互独立。§4.3方差丢一颗均匀的骰子，用X表示点数，求.有密度函数：，求D(X).§4.4常见的几种随机变量的期望与方差设,,相互独立，则的值分别是：-1.6和4.88；（B）-1和4；（C）1.6和4.88；（D）1.6和-4.88.2.设，与有相同的期望和方差，求的值。（A）0和8；（B）1和7；（C）2和6；（D）3和5.§4.6独立性与不相关性矩1．下列结论不正确的是（）（A）与相互独立，则与不相关；（B）与相关，则与不相互独立；（C），则与相互独立；（D），则与不相关；2．若，则不正确的是（）（A）；（B）；（C）；（D）；3．（）有联合分布律如下，试分析与的相关性和独立性。XY－101.－11/81/81/801/801/811/81/81/84．是与不相关的（）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。5.是与相互独立的（）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；（D）既不必要，也不充分。6.设随机变量(X,Y)有联合密度函数如下：试验证与不相关，但不独立。第4章作业答案§4.11：B；2：3/2,2,3/4,37/64；3：D；4：2/3，4/3，17/9；§4.21：D；§4.31：7/2,35/12；2：11/36；§4.41：A；2：B；§4.51：0.2，0.355；2：－1/144,－1/11；§4.61：C；2：C；3：与不相关，但与不相互独立；4：C；5：A；第5章极限定理*§5.1大数定理§5.2中心极限定理一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上