专题7.4 期末复习之解答压轴题十三大题型总结（苏科版）（解析版）

专题7.4期末复习之解答压轴题十三大题型总结【苏科版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1两条直线相交问题】 1【题型2与一次函数有关的面积的计算】 9【题型3与一次函数图像有关的应用】 19【题型4与一次函数性质有关的应用】 25【题型5探究函数的图像及其性质】 30【题型6由三角形全等分类讨论求参数的值】 39【题型7利用全等三角形解决阅读理解类问题】 48【题型8勾股定理在格点中的运用】 58【题型9以弦图为背景的计算】 64【题型10利用勾股定理解决实际问题】 72【题型11等腰三角形中的证明与计算】 78【题型12数式或图形的规律探究】 90【题型13数式或图形中新定义问题】 95【题型1两条直线相交问题】【例1】（2023上·山西太原·八年级统考期末）综合与探究：如图1，平面直角坐标系中，一次函数y=-43x+8的图象分别与x轴、y轴交于点A，B，经过点B的直线交x轴的负半轴于点C，且OB=OC．点D是线段CA上的一个动点，过点D作x轴的垂线交直线AB于点E，交直线BC于点F．设点D

(1)直接写出A，B，C三点的坐标；(2)当m=-3时，求△BEF的面积；(3)如图2，作点C关于直线DF的对称点G．请从下面A，B两题中任选一题作答．我选择题．A．①当m=2时，点G的坐标为；②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=13DG时，m的值为B．①用含m的代数式表示点G的坐标为；②点D在线段CA上运动的过程中，当EF=12AG时，m的值为【答案】(1)A(6,0)，B(0,8)，C(-8,0)(2)21(3)A：①(12,0)；②43或-1；B：①(2m+8,0)，②34【分析】（1）在y=-43x+8中，令x=0得y=8，令y=0得x=6，即得A(6,0)，B(0,8)，而OB=OC，C在x（2）设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点B(0,8)，C(-8,0)代入可得直线BC的解析式为y=x+8，当m=-3时，F(-3,5)，E(-3,12)，可得EF=7，即可得ΔBEF（3）选A、①由m=2，C(-8,0)，直接可得G(12,0)；②由C(-8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，E(m,-43m+8)，F(m,m+8)，故EF=|73m|，即有选B、①由C(-8,0)，D(m,0)，得CD=m+8=DG，即可得G(2m+8,0)，②由A(6,0)，得AG=|2m+2|，根据已知得|73m|=12【详解】（1）解：在y=-43x+8中，令x=0得y=8，令y=0∴A(6,0)，B(0,8)，∵OB=OC，C在x轴负半轴，∴C(-8,0)；（2）解：设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0)，将点B(0,8)，C(-8,0)代入可得，b=8-8k+b=0解得k=1b=8∴直线BC的解析式为y=x+8，∵点D的横坐标m=-3，∴在y=x+8中令x=-3得y=5，即F(-3,5)，在y=-43x+8中令x=-3得y=12∴EF=12-5=7，∴△BEF的面积为：12（3）解：选A、①∵m=2，C(-8,0)，∴G(12,0)，②∵C(-8,0)，D(m,0)，∴CD=m+8=DG，E(m,-43m+8)∴EF=|m+8-(-4∵EF=1∴|7解得m=43或故答案为：①(12,0)；②43或-1选B、①∵C(-8,0)，D(m,0)，∴CD=m+8=DG，∴OG=OD+DG=m+m+8=2m+8或OG=DG-OD=m+8-(-m)=2m+8，∴G(2m+8,0)，②∵A(6,0)，∴AG=|2m+8-6|=|2m+2|，∴|7解得m=34或故答案为：①(2m+8,0)，②34或-【点晴】本题考查了一次函数的图象和性质，解题的关键是理解题意，掌握一次函数的图象与性质，用含m的代数式表示相关点坐标及相关线段．【变式1-1】（2023上·安徽合肥·八年级统考期末）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=kx+8交x轴于点A，交y轴于点B，且OB=2OA．

(1)求直线AB的解析式；(2)①若另一条直线y=ax+a+6与直线AB有唯一交点P，求点P的坐标；②直接写出a的取值范围．(3)若直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O，B重合），试写出a取值范围．【答案】(1)y=2x+8；(2)①P(-1,6)；②a≠2；(3)-6<a<2．【分析】本题主要考查待定系数法求直线解析式，直线的交点以及点的坐标运算．（1）令x=0得y=8,可得点B的坐标，OB的长，由OB=2OA可得OA，求出点A的坐标，运用待定系数法求出直线AB的解析式；（2）令y=2x+8y=ax+a+6，解得x=-1,y=6，从而得出点P（3）令x=0得y=a+6,根据题意得0<a+6<8，求解即可．【详解】（1）对于直线y=kx+8，令x=0得y=8,∴B∵OB=2OA，∴OA=∴A把A-4,0代入y=kx+8，得解得，k=2,∴直线AB的解析式为y=2x+8；（2）①联立方程组y=2x+8y=ax+a+6∴2x+8=ax+a+6,整理得，a-2x=2-a∵直线y=ax+a+6与直线AB有唯一交点，∴a-2≠0,解得x=-1，∴y=2×-1∴点P的坐标为：-1,6②由①知a-2≠0,∴a≠2；（3）对于y=ax+a+6，当x=0时，y=a+6,∵直线y=ax+a+6只与y轴的交点D在线段OB上（D不与O，B重合），∴0<a+6<8，解得，-6<a<2．【变式1-2】（2023下·河北承德·八年级统考期末）如图，已知直线l1与y轴相较于点A0,3，直线l2:y=-x-2交y轴于点B，交直线

(1)求直线l1(2)过动点Da,0作x轴的垂线，与直线l1相交于点M，与直线l2相交于点N，当MN=3(3)点Q为l2上一点，若S△APQ=【答案】(1)y=(2)a=-65(3)-2,0或-4,2【分析】（1）根据题意求得点P的坐标，待定系数法求一次函数解析式即可；（2）根据题意推得Ma,23a+3，（3）设Qh,-h-2，分当点Q在线段PB上和当点Q在射线BP上讨论，根据【详解】（1）解：∵y=-x-2过点P∴m=1即点P设l1的解析式为∵过点A0,3，∴-3k+b=1b=3解得，k=2所以l1的解析式为y=（2）解：由题意可知，Ma,23因为MN=3，有两种情况：23解得：a=-6-a-2-2解得：a=-24（3）解：设Qh,-h-当点Q在线段PB上，∵S△APQ∴S△ABQ∴h=2即Q-2,0当点Q在射线BP上，∵S∴S△ABQ∴h=-4，即Q-4,2综上，点Q的坐标为-2,0或-4,2．【点睛】本题考查了求一次函数的函数值，求一次函数的解析式等，在（1）中求得P点坐标是解题的关键，注意函数图象的交点坐标满足每个函数的解析式，在（2）中用含a的代数式表示出MN的长是解题的关键，在（3）中三角形面积的表示是关键．【变式1-3】（2023上·山西太原·八年级校考期末）如图，直线l1:y=14x+1与x轴，y轴分别交于A，B两点，直线l2与x轴，y轴分别交于C，D两点，两直线相交于点P，已知点C的坐标为(1)直接写出点A、B、P的坐标；(2)求出直线l2(3)如图1，求ΔADP(4)如图2，点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m①用m表示点M、N的坐标：M:，N:；②线段MN的长度用l表示，写出l与m的函数关系式；③ΔANP的面积用s表示，写出s与m【答案】(1)A(-4,0)，B(0,1)，P(2,(2)y=-x+(3)15(4)①(m,14m+1)，(m,-m+72)【分析】（1）在直线l1:y=14x+1中，分别令y=0和x=0，x=2，可求得A（2）利用待定系数法得到直线l2（3）求出点D的坐标，根据SΔ（4）①根据直线l1:y=14x+1，直线l2:y=-x+②根据①得出的点M、N的坐标即可写出l与m的函数关系式；③根据SΔ【详解】（1）解：在直线l1令y=0可得x=-4，令x=0可得y=1，令x=2可得y=3∴A(-4,0)，B(0,1)，P(2,3（2）解：设直线l2的解析式为y=kx+b∴3.5k+b=02k+b=3∴直线l2的解析式为y=-x+（3）解：∵直线l2的解析式为y=-x+∴点D(0,7∴S（4）解：①∵点M是线段AP上任一点，过点M作y轴的平行线交直线l2于点N，设点M的横坐标为m则：M:(m,14m+1)故答案为：(m,14m+1)②线段MN的长度l=-m+7∴l与m的函数关系式为l=-5③SΔ∴s与m的函数关系式为s=-15【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，用点的坐标表示线段的长是解题的关键．【题型2与一次函数有关的面积的计算】【例2】（2023下·山东济宁·八年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，已知点A10，0，点B0，8，过点B作x轴的平行线l，点

(1)如图1，求出△AOP的面积；(2)如图2，已知点C是直线y=85x上一点，若△APC是以AP【答案】(1)△AOP的面积为40(2)点C的坐标为10，16【分析】（1）根据三角形的面积公式即可得到结论；（2）当点C在直线l的上方时，证明△PEA≌△CFP(AAS)，得到AE=PF且PE=FC，即可求解；当点C在直线【详解】（1）∵点A10，0∴OA=10，过点P作PH⊥OA于H，

∵直线l∥x轴，点B在z轴上，∴PH=OB=8，∴S△AOP故答案为：40；（2）设点Pn,8n≠0，点C当点C在直线l的上方时，如图，

过点P作直线FE，交x轴于点E，交过点C与x轴的平行线于点F，、∵△APC为等腰直角三角形，则PA=PC，∠APC=90°，∴∠APE+∠FPC=90°，∠FPC+∠FCP=90°，∴∠APE=∠FCP，∵∠PEA=∠CFP=90°，PA=PC，∴△PEA≌△CFP(AAS∴AE=PF且PE=FC，则85m-8=10-n且解得：m=10n=2即点C的坐标为10,16（不合题意的值已舍去）；当点C在直线l的下方时，如图，过点A作AM⊥l于点M，过点C作CN⊥x轴于点N，

同理可得：△AMP≌△ANC(AAS∴AM=AM且MP=NC，∴8=|10-m|或n-10=8解得：m=2n=565即点C的坐标为2,165或综上，点C的坐标为：10,16或2,16【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，涉及全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、分类讨论及数形结合的思想．本题第三问注意考虑问题要全面，做到不重不漏．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．【变式2-1】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点A-5，2，B-1，2，直线y=kx-1与

(1)求△ABC的面积；(2)若点A和点B在直线y=kx-1的两侧，求k的取值范围；(3)若P点将线段AB分成1：3两部分，直接写出【答案】(1)6(2)-3<k<-(3)k=-32【分析】（1）延长线段AB交y轴于点D，则AB⊥y轴，求出AB,CD，利用三角形的面积公式求解即可；（2）先求出直线AC,BC的斜率，即可求出k的取值范围；（3）分两种情况：AP:PB=1:3或AP:PB=3:1求解.【详解】（1）解：∵A-5∴AB∥x轴，延长线段AB交y轴于点D，AB⊥y轴，∵CD=2--1=3，∴S

（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b(k≠0)，∴-5k+b=2b=-1∴直线AC的解析式为y=-设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠0)，∴-m+n=2n=-1∴直线BC的解析式为y=-3x-1∵点A和点B在直线y=kx-1的两侧，∴-3<k<-3（3）解：当AP:PB=1:3，∵A-5∴点P的坐标为-4,2，将点P-4,2代入y=kx-1，得2=-4k-1解得，k=-3当AP:PB=3:1，∵A-5∴点P的坐标为-2,2，将点P-2,2代入y=kx-1，得2=-2k-1解得，k=-3综上所述，k=-32【点睛】此题考查了一次函数的性质，利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键．【变式2-2】（2023上·江苏泰州·八年级校考期末）已知一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，-1,4，将此函数中的k与b交换位置后得另一个一次函数，设其图像为直线l'(1)求直线l的函数表达式；(2)求直线l、直线l'及y(3)过y轴上一点P画x轴的平行线分别与直线l，l'交于两个不同的点M、N，若点P、M、N中有一点是另两点所成线段的中点，求点P【答案】(1)y=-3x+1(2)2(3)0,-5或0,-177【分析】（1）将点0,1，-1,4代入一次函数的解析式y=kx+b中，得到关于k，b的二元一次方程组，求解即可；（2）确定直线l与y轴的交点A0,1，确定直线l'与y轴的交点B0,-3，得到AB=4，再通过解联立方程组y=-3x+1y=x-3，得到两直线的交点C1,-2，得到点C（3）求得两条直线与直线y=a的交点横坐标，分四种情况讨论即可．【详解】（1）解：∵一次函数y=kx+b的图像直线l经过点0,1，-1,4，∴b=1-k+b=4解得：k=-3b=1∴直线l的函数表达式为y=-3x+1；（2）∵直线l的解析式为y=-3x+1，∴直线l'的解析式为y=x-3设直线l：y=-3x+1与y轴的交点为A，当x=0时，y=1，则A0,1设直线l'：y=x-3与y轴的交点为B当x=0时，y=-3，则B0,-3∴AB=1--3设直线l与直线l'交于点C∴y=-3x+1y=x-3解得：x=1y=-2∴C1,-2∴点C到y轴的距离为1，∴S△ABC∴直线l、直线l'及y轴围成三角形的面积为2（3）设点的坐标为P0,a∴过点P与x轴平行的直线的解析式为y=a，把y=a代入y=-3x+1得，a=-3x+1，解得：x=1-a∴M1-a把y=a代入y=x-3得，a=x-3，解得：x=a+3，∴Na+3,a分四种情况：①如图所示，点P为NM的中点，则0-a+3解得：a=-5，∴点P的坐标为0,-5，②如图所示，点N为PM的中点，则a+3-0=解得：a=-17∴点P的坐标为0,-17③如图所示，点M为PN的中点，则1-a3解得：a=-7∴点P的坐标为0,-7④如图所示，点P为MN的中点，则0-1-a解得：a=-5（不符合题意，舍去），综上所述，点P的坐标为0,-5或0,-177或【点睛】本题考查一次函数图像与几何变换，待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像与坐标轴相交的点的坐标，两直线相交问题，三角形的面积．分类讨论的应用是解题的关键．【变式2-3】（2023下·湖南邵阳·八年级统考期末）如图，过点C的直线y-x=6与坐标轴相交于A、B两点，已知点Cx,y是第二象限的点，设△AOC的面积为S

(1)写出S与x之间的函数关系，并写出x的取值范围；(2)当△AOC的面积为6时，求出点C的坐标；(3)在（2）的条件下，坐标轴上是否存在点M，使得M与A、O、C中任意两点形成的三角形面积也为6，若存在，请直接写出点M的坐标．【答案】(1)S=3x+18(2)C(-4,2)(3)存在，M10,2，M2(0,-2)，M30,3，M40,-3【分析】（1）先求出点A坐标，由S△AOC（2）将S=6代入函数解析式可求得点C(-4,2)；（3）根据三角形三个顶点不同分类讨论求出点M．【详解】（1）解：点Cx，y在第二象限，则当y=0时，x=-6，则AO＝S△AOC==18+3x（-6<x<0)（2）由（1）可知S当18+3x=6则x=-4此时：y=6+x=2所以C(-4,2)（3）存在点M满足条件，I．当M点在y轴时，若S△MAO=6，即∴12∴OM=2，∴当点M在原点上方时，点M坐标为M1∴当点M在原点下方时，点M坐标为M2II．当M点在y轴时，若S△MOC=6，即∴12∴OM=3，∴当点M在原点上方时，点M坐标为M3∴当点M在原点下方时，点M坐标为M4III．当M点在y轴时，若S△MAC=6，即

12∴BM=6，∴当点M在点B上方时，点M坐标为M5∴当点M在点B下方时，点M点M与点O重合，不合题意舍去；；IV．当M点在x轴时，若S△MOC=6，即∴12∴OM=6，∴当点M在原点右侧时，点M坐标为M6∴当点M在原点左侧时，点M坐标为-6,0，与点A重合，不合题意舍去；V．当M点在x轴时，若S△MAC=6，即∴12∴AM=6，∵点A坐标为(-6,0)，∴当点M在点A左侧时，点M坐标为M7∴当点M在点A右侧时，点M与点O重合，不合题意舍去；综上所述：点M坐标为M10,2，M2(0,-2)，M30,3，M40,-3【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、解一元一次方程，解题的关键是分类讨论的数学思想．【题型3与一次函数图像有关的应用】【例3】（2023下·安徽芜湖·八年级校考期末）甲、乙两地高速铁路建设成功，一列动车从甲地开往乙地，一列普通列车从乙地开往甲地，两车均匀速行驶并同时出发．设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米）．图中的折线表示y与x之间的函数关系图像．求：

(1)甲、乙两地相距______千米；(2)求动车和普通列车的速度；(3)求C点坐标和直线CD解析式；(4)求普通列车行驶多少小时后，两车相距1000千米．【答案】(1)1800(2)动车的速度为300km/h；普通列车的速度(3)C6,900，(4)169h【分析】(1)根据图像，直接得到．(2)根据图像，慢车走完全程用时12小时，计算速度；根据4小时相遇，可确定动车的速度．(3)根据题意，动车达到目的地的时间为1800300=6h，根据图像，得到m=6，此时相遇后各自行驶2小时，此时y=2300+150=900km(4)分相遇前和相遇后两种情形计算．【详解】（1）根据图像，得到当x=0h时，y=1800两地距离为1800km故答案为：1800．（2）根据图像，慢车走完全程用时12小时，∴普通列车的速度为180012根据4小时相遇，得4150解得v动（3）根据题意，动车达到目的地的时间为1800300根据图像，得到m=6，此时相遇后各自行驶2小时，此时y=2300+150故C6,900设CD的解析式为y=kx+b，∵D12,1800∴6k+b=90012k+b=1800解得k=150b=0故CD的解析式为y=150x6≤x≤12（4）设经过x小时，辆车相距1000千米，当相遇前，辆车相距1000千米时，根据题意，得150x+300x=1800-1000，解得x=16当相遇后，辆车相距1000千米时，动车到达目的地，普通车自己行驶x小时，根据题意，得2150+300解得x=2故行驶总时间为6+2故经过169h或203【点睛】本题考查了图像信息的读取，待定系数法求解析式，交点的意义，熟练掌握交点的意义，待定系数法，读取图像信息是解题的关键．【变式3-1】（2023下·重庆沙坪坝·八年级重庆一中校考期末）在一条直线上依次有A、B、C三个港口，甲、乙两船同时分别从A、B港口出发，沿直线匀速驶向C港，最终到达C港停止．设甲、乙两船行驶xh后，与B港的距离分别为y1、y2km，y1

(1)B、C两港口间的距离为______km，a=______；(2)甲船出发几小时追上乙船？(3)在整个过程中，什么时候甲乙两船相距10km【答案】(1)90，2(2)甲船出发1小时追上乙船(3)当经过23h或43h【分析】（1）根据图象可得，甲船用0.5h从A港口到达B港口，A港口和B港口距离30km，即可求出甲船的速度，根据图象得出B港口和C港口距离为90km（2）先求出乙船的速度，根据甲船追上乙船时，两船与B港口距离相等，列出方程求解即可；（3）根据投影进行分类讨论：①当甲船还未追上乙船时；②当甲船追上乙船后，当未到达C港口时；③当甲船到达C港口，乙船还未到达C港口时，分别列出方程求解即可．【详解】（1）解：由图可知：B、C两港口间的距离为90km，甲船用0.5h从A港口到达B港口，A港口和B港口距离∴甲船的速度为：300.5∴甲船从B港口到C港口时间为：9060∴a=1.5+0.5=2，故答案为：90，2；（2）解：由图可知，乙船用3h从B港口到达C∴乙船的速度为：90360x-30=30x，解得：x=1．答：甲船出发1小时追上乙船；（3）解：①当甲船还未追上乙船时，30x-60x-30解得：x=2②当甲船追上乙船后，当未到达C港口时：60x-30-30x=10解得：x=4③当甲船到达C港口，乙船还未到达C港口时：90-30x=10，解得：x=8综上：当经过23h或43h或【点睛】此题主要考查了从函数图象获取信息，以及一元一次方程的应用，利用数形结合得出关键数据，根据题意找出等量关系列出方程是解题关键．【变式3-2】（2023上·江苏盐城·八年级统考期末）数学活动课上：学校科技小组进行机器人行走性能试验，在试验场地一条笔直的赛道上有A，B，C三个站点，A，B两站点之间的距离是90米（图1）．甲、乙两个机器人分别从A，B两站点同时出发，向终点C行走，乙机器人始终以同一速度匀速行走．图2是两机器人距离C站点的距离y（米）出发时间t（分钟）之间的函数图像，其中EF-FM-MN为折线段．请结合图像回答下列问题：

(1)乙机器人行走的速度是___________米/分钟；(2)在4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，6分钟后，甲机器人又恢复为原来出发时的速度．①图2中m的值为___________．②请求出在6≤t≤9时，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间t的值．【答案】(1)50(2)①120，②7或39【分析】（1）根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，据此可求得乙机器人行走的速度；（2）①先求得甲机器人行走的总路程540米，再分段求得甲机器人行走的路程，根据速度、时间、路程的关系式求解即可；②分情况讨论，一种是甲乙都在运动，第二种状态是甲先到，静止下来，乙在跑，以甲停止运动那一刻为分界点．【详解】（1）解：根据图形知乙机器人9分钟走完了450米，∴乙机器人行走的速度为450÷9=50(米/分)；故答案为：50．（2）①设甲机器人前3分钟的速度为x米/分，依题意得：3x=50×3+90，解得x=80，甲机器人行走的总路程为：450+90=540(米)，甲机器人前4分钟的速度为80米/分，甲行走路程：80×4=320(米)，4≤t≤6时，甲的速度变为与乙的速度相同，甲行走路程：50×2=100(米)，∴m=540-320-100=120故答案为：120．②∵6分钟后甲机器人的速度又恢复为原来出发时的速度，∴6分钟后甲机器人的速度是80米/分，当t=6时，甲乙两机器人的距离为：80×4+50×6-4当甲到达终点C时，t=7.5（分），乙到达终点C时，t=9（分）当6≤t≤9时，y当6≤t≤7.5时，y当7.5<t≤9时，y-50t+450--80t+600-50t+450-0=60，甲、乙两机器人之间的距离为60米时时间的值为7或39【点睛】本题考查了一次函数的应用、一元一次方程中追击问题，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．【变式3-3】（2023下·河北唐山·八年级统考期末）如图，水平放置的甲容器内原有120mm高的水，乙容器中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙容器底面上）．现将甲容器中的水匀速注入乙容器，且乙容器中水不外溢．甲、乙两个容器中水的深度y（mm）与注水时间x（min）之间的关系如图．

(1)乙容器中原有水的高度是_________mm，铁块的高度是_________mm；(2)注水多长时间时，甲、乙两个容器中水的深度相同：(3)若乙容器底面积为900mm【答案】(1)20，140(2)注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同(3)21000【分析】（1）借助图像可知折线A-B-C是乙容器睡得高度随时间的变化图象，分析图象可以得到答案；（2）分别求出线段AB、DE的解析式，然后联立解方程组即可解题；（3）先求出铁块的底面积，然后计算出铁块的体积即可解题．【详解】（1）解：由图像可知，折线A-B-C是乙容器睡得高度随时间的变化图象，即可以得到原有水的高度是20mm，铁块的高度是140故答案为：20，140．（2）设线段AB的解析式为：y=kx+b，将点0,20和4,140代入得，b=204k+b=140解得，∴y=30x+20设线段DE的解析式为：y=mx+n，将点0,120和6,0代入得，n=1206m+n=0，解得，∴y=-20x+120，令30x+20=-20x+120，解得x=2，∴注水2min时，甲、乙两个容器中水的深度相同．（3）解：由图象知：当水槽中没过铁块时4分钟水面上升了120mm，即1分钟上升30mm，当水面没有没过铁块时，2分钟上升了50mm，即1分钟上升25mm．设铁块的底面积为a m∵匀速注水，∴1分钟非水量是相等的．乙水槽中放入铁块时，1分钟注水的体积为：30×不放铁块时，1分钟注水的体积为：25×900m∴30×900-a=25×900，解得∴铁块的体积为：150×140=21000m【点睛】本题考查一次函数的实际问题，掌握待定系数法求函数关系式是解题的关键．【题型4与一次函数性质有关的应用】【例4】（2023下·山东泰安·八年级统考期末）为使活动更具有意义，某活动举办方决定购买甲、乙两种品牌的文化衫，已知购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元．(1)求甲、乙两种品牌文化衫的单价；(2)根据需要，举办方决定购买两种品牌的文化衫共1000件，且甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍．请你设计出最省钱的购买方案，并说明理由．【答案】(1)甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元(2)购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫；理由见解析【分析】（1）设甲品牌文化衫的单价为x元，乙品牌文化衫的单价为y元，根据“购买3件甲品牌文化衫和2件乙品牌文化衫需190元；购买5件甲品牌文化衫和1件乙品牌文化衫需235元”列方程组求解即可；（2）设购买m件甲品牌文化衫，根据“甲品牌文化衫的件数不少于乙品牌文化衫件数的3倍”列不等式求出m的取值范围，设购买这1000件文化衫所需总费用为w元，列出w与m的关系式，根据w随m的变化关系求出最佳方案即可．【详解】（1）设甲品牌文化衫的单价为x元，乙品牌文化衫的单价为y元，依题意得：3x+2y=1905x+y=235解得：x=40y=35答：甲品牌文化衫的单价为40元，乙品牌文化衫的单价为35元．（2）最省钱的购买方案为：购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫，理由如下：设购买m件甲品牌文化衫，则购买1000-m件乙品牌文化衫，依题意得：m≥31000-m解得：m≥750．设购买这1000件文化衫所需总费用为w元，则w=40m+351000-m∵5>0，∴w隨m的增大而增大，∴当m=750时，w取得最小值，此时1000-m=250，∴最省钱的购买方案为：购买750件甲品牌文化衫，250件乙品牌文化衫．【点睛】本题考查了购买问题，方案设计问题．解题的关键是熟练掌握总价与单价和数量的关系，运用题设等量关系和不等关系列出二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数解析式，根据函数值增减性设计最佳方案．【变式4-1】（2023下·河北邢台·八年级统考期末）学校计划组织八年级的同学参观大学城，已知八年级共有480名同学，计划租用9辆客车，现有甲、乙两种型号的客车，它们的载客量和租金如下表：租金/（元/辆）载客量/（座/辆）甲种客车170045乙种客车200060(1)若恰好一次性将480名学生送往大学城且客车全部坐满，则应租用甲、乙两种客车各多少辆？(2)设租用甲种客车x辆，租用甲、乙两种型号的客车总费用y元．①求y与x的函数关系式．②在保证所有同学均能被送达大学城的情况下，怎样租车费用最低？最低费用是多少元？【答案】(1)租用甲种客车4辆，乙种客车5辆(2)应租用4辆甲种客车，5辆乙种客车，最低租车费用16800元【分析】（1）设租用甲种客车a辆，乙种客车b辆．然后根据题意列二元一次方程组求解即可；（2）①设租用甲种客车x辆，应租乙种客车9-x辆．然后根据题意列出y与x的函数关系式即可；②由①所得解析式的增减性再结合x的取值范围求解即可.【详解】（1）解：设租用甲种客车a辆，乙种客车b辆．由题可得a+b=945a+60b=480，解得a=4答：租用甲种客车4辆，乙种客车5辆．（2）解：①设租用甲种客车x辆，由题可知，应租乙种客车9-x辆．可得y=1700x+20009-x②由①知y=-300x+18000，∵-300<0，∴y随x的增大而减小．依题意可得x≥045x+60解得0≤x≤4，∴当x=4时，y有最小值，最小值为16800．答：应租用4辆甲种客车，5辆乙种客车，最低租车费用16800元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一次函数的应用、不等式的应用等知识点，根据题意确定x的取值范围是解答本题的关键．【变式4-2】（2023下·湖北荆门·八年级统考期末）为了落实“乡村振兴”政策，A,B两城决定向C,D两乡运送水泥建设美丽乡村，已知A,B两城分别有水泥200吨和300吨，从A城往C,D两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从B城往C,D两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现C乡需要水泥240吨，D乡需要水泥260吨．(1)设从A城运往C乡的水泥x吨．设总运费为y元，写出y与x的函数关系式并求出最少总运费．(2)为了更好地支援乡村建设，A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元，这时A城运往C乡的水泥多少吨时总运费最少？【答案】(1)y=4x+100400≤x≤200，最少总运费为10040(2)A城运往C乡200吨，总运费最少．【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值；（2）先列出A城运往C乡的运费每吨减少a(0<a<7)元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值．【详解】（1）设从A城运往C乡肥料x吨，则运往D乡200-x，从B城运往C乡肥料240-x吨，则运往D乡60+x吨，设总运费为y元，根据题意，则：y=20x+25200-x=4x+100400≤x≤200∵k=4>0,y随x的增大而增大，∴当x=0时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．答：y与x的函数关系式为y=4x+100400≤x≤200最少总运费为10040元；（2）设减少运费后，总运费为w元，则：w==∵0<a<7，∴分以下三种情况进行讨论：①当0<a<4时，4-a>0，此时w随x的增大而增大，∴当x=0时，w最小②当a=4时，w=10040，∴不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；③当4<a<7时，4-a<0，此时w随x的增大而减小，∴当x=200时，w最小∴综上可得：当0<a<4时，A城运往C乡0吨，总运费最少；当a=4时，无论从A城运往C乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；当4<a<7时，A城运往C乡200吨，总运费最少．【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键．【变式4-3】（2023下·福建厦门·八年级统考期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：商品进价售价乒乓球拍（元/套）a45羽毛球拍（元/套）b52已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．(1)求出a，b的值；(2)该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍x套，售完这批体育用品获利y元．①求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了n元（0<n<10），羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？【答案】(1)a的值为35，b的值为40(2)①y与x的函数关系式为y=-2x+3600，x的取值范围为：100≤x≤150；②当0<n<2时，乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当2<n<10时，乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当n=2时，无论购多少套，只要满足100≤x≤150，利润都是3600．【分析】（1）根据购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元，列出方程组，解方程组即可；（2）①根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据购进乒乓球拍的套数不超过150套，购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半求出自变量的取值范围；②根据总利润=乒乓球拍的利润+羽毛球拍的利润列出函数解析式，再根据函数的性质求最值．【详解】（1）根据题意：2a+b=1104a+3b=260解得a=35b=40答：a的值为35，b的值为40；（2）①由题意得：y=(45-35)x+(52-40)(300-x)=-2x+3600，∵购进乒乓球拍的套数不超过150套，∴x≤150，∵购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，∴x≥1解得：x≥100，则x的取值范围为：100≤x≤150，∴y与x的函数关系式为y=-2x+3600，x的取值范围为：100≤x≤150；②由题意得：y=45-35+n∵0<n<10，∴当0<n<2即n-2<0时，y随x的增大而减小，∴当x=100时，y有最大值100n-2∴乒乓球拍购进100套，羽毛球拍购进200套能获利最大；当2<n<10时，即n-2>0时，y随x的增大而增大，∴当x=150时，y有最大值150n-2乒乓球拍购进150套，羽毛球拍购进150套能获利最大；当n=2时，无论购多少套，只要满足100≤x≤150，利润都是3600．【点睛】本题考查了一次函数和二元一次方程组的应用，解题的关键是仔细审题，找到等量关系列出函数解析式和列出方程组．【题型5探究函数的图像及其性质】【例5】（2023下·江西抚州·八年级南城县第二中学校考阶段练习）有这样一个问题：探究函数y=-2|x|+1的图像与性质．小明根据学习函数的经验，对函数y=-2|x|+1的图像与性质进行了探究．(1)①函数y=-2|x|+1的自变量x的取值范围是_____________；②若点A（－7，a），B（9，b）是该函数图像上的两点，则a___________b（填“＞”“＜”或“＝”）；(2)请补全下表，并在平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图像：x…－5－3－10135…y……(3)函数y1=-2|x|和函数①y1=-2|x|的图像向___________平移________个单位长度得到y=-2|x|+1，y2=-2|x+1|+1的图像向___________平移②当-2|x|+1=-2|x+1|+1时，x＝_____________；③观察函数y2【答案】(1)①全体实数；②＞；(2)见详解；(3)①上，1，右，1；②-0.5；③当x=-1时，函数有最大值，最大值为1．（答案不唯一）【详解】（1）解：①函数y=-2|x|+1的自变量x的取值范围全体实数；故答案为：全体实数；②把点A（－7，a），B（9，b）代入函数解析式y=-2|x|+1得a=-2×|-7|+1=-13，b=-2×|9|+1=-17，∴a＞故答案为：＞；（2）解：补全表格得x…－5－3－10135…y…-9-5-11-1-5-9…在平面直角坐标系画出函数图像如图：（3）（3）观察函数图像可发现：①y1=-2|x|的图像向上平移1个单位长度得到y=-2|x|+1，y2=-2|x+1|+1的图像向右平移故答案为：上，1，右，1；②当-2|x|+1=-2|x+1|+1时，x＝-0.5；故答案为：-0.5；③观察函数y2=-2|x+1|+1的图像，得到当x=-1时，函数有最大值，最大值为【点睛】本题考查了函数图像、性质的探究，熟知画函数图像的一般步骤，并能根据图像得到函数性质是解题关键．【变式5-1】（2023上·重庆潼南·八年级校联考期末）如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，BC=4，AC=3，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着B-C-A方向运动到A点停止，设y=S△ABP，点P的运动时间为(1)直接写出y与x之间的函数表达式，并写出对应x的取值范围．(2)在平面直角坐标系中画出y的图像，并写出y的一条性质(3)结合作出的图像直接写出它与函数y=x+1相交时x的值．（保留一位小数，误差不超过0.2）【答案】(1)y=(2)图见解析，当0<x≤4时，y随x的增大而增大；当4<x<7时，y随x的增大而减小(3)x≈4.3或x=2.0【分析】（1）分两种情况，点P在BC上，点P在AC上，分别根据三角形的面积公式求出结果即可；（2）描点再顺次连接可得函数图象，由图象可得函数的一条性质；（3）观察图象可得答案．【详解】（1）解：当点P在BC上时，0<x≤4，此时y=1当点P在AC上时，4<x<7，此时y=1综上分析可知：y=3（2）解：把x=4代入y=32x则图象经过点4,6，把x=7代入y=14-2x得：y=0，则图象经过点7,0，∴连接点0,0和4,6，连接点4,6和7,0，且点0,0和7,0除外，如图所示：根据函数图象可知，当0<x≤4时，y随x的增大而增大；当4<x<7时，y随x的增大而减小；（3）解：根据函数图象可知，作出的图像与函数y=x+1的交点的横坐标约为4.3，2.0，即此时x≈4.3或x=2.0．【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数的性质，画一次函数图象，直线的交点坐标，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数的性质．【变式5-2】（2023上·江苏盐城·八年级校考阶段练习）【了解概念】对于给定的一次函数y=kx+b（其中k，b为常数，且k≠0），则称函数y=-kx+bx≥0kx+bx<0为一次函数y=kx+b（其中k，【理解运用】例如：一次函数y=-2x+1，它的关联函数为y=2x+1(1)点P-2,m在一次函数y=-2x+1的关联函数的图像上，则m的值为______(2)已知一次函数y=-2x+1．我们可以根据学习函数的经验，对一次函数y=-2x+1，它的关联函数为y=2x+1①填表，x…-2-1012…y…53135…②根据（1）中的结果，请在所给坐标系中画出一次函数y=-2x+1的关联函数的图像；③若-1≤x≤2，则y的取值范围为______；【拓展提升】(3)在平面直角坐标系中，点M、N的坐标分别为-1，4、2，2，连接MN．直接写出线段MN与一次函数y=-2x+b的关联函数的图像有1个交点时，【答案】(1)5；(2)②作图见解析；③1≤y≤5；(3)-2≤b<2或者b=10【分析】（1）根据关联函数的定义把P-2，m（2）②根据列表即可作出图形，③分别求出x=-1、0、2时，y的值，结合图形即可求得对应y的取值范围；（3）先求出直线MN与y轴的交点坐标，再由一次函数y=-2x+b的关联函数为y=2x+b【详解】（1）解∶由题意得y=-2x+1的关联函数为y=2x+1∵点P-2，m在一次函数y=-2x+1∴把P-2，m代入y=-2x+1，得，解得m=5，故答案为∶5；（2）解：②作图如下，③∵当x=-1时，y=-2x+1=-2×-1+1=3，当x=0时∴-1≤x<0时，1<y≤3，∵当x=0时y=2x+1=2×0+1=1，当x=2时，y=2x+1=2×2+1=5，∴0≤x≤2时，1<y≤5，∴-1≤x≤2时，1≤y≤5；（3）解：如图，设直线MN为y=mx+n，∵点M、N的坐标分别为-1，4、∴-m+n=42m+n=2解得m=-2∴直线MN为y=-2令x=0，则y=10∴直线MN为y=-23x+103由题意得，一次函数y=-2x+b的关联函数为y=2x+b当y轴右侧部分与MN有交点时，把-1，4和0，103当y轴左侧部分与MN有交点时，把0，103和2，2当x<0，b≠2，∴-2≤b<2或者b=10∴关联函数与MN有1个交点时，b的取值范围为∶-2≤b<2或者b=10故答案为∶-2≤b<2或者b=10【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键．【变式5-3】（2023上·江苏淮安·八年级校考期末）在我们学习函数的过程中，经历了“确定函数的解析式一利用函数图象研究其性质”的学习过程，在画函数图象时，我们可以通过描点或平移的方法画出一个函数的大致图象．同时，我们也学习了绝对值的意义a阳阳结合上面的学习过程，对函数y=|2x-1|的图象与性质进行了探究．(1)①化简函数y=|2x-1|的表达式：当x≥12时，y=，当x＜12②在平面直角坐标系中，画出此函数的图象；(2)函数y1=|2x-1|+1的图象可由y=|2x-1|的图象向上平移①当0≤x<3时，y1的取值范围是②当2≤y1≤5时，x的取值范围是③当m<y1<n时（其中m，n为实数，m<n），自变量x的取值范围是-1<x<2，求n【答案】(1)①2x-1；-2x+1(2)①1≤y1<6②1≤x≤52或0≤x≤-32【分析】本题考查的是两条直线相交问题，考查了用待定系数法求函数的解析式，一次函数的图象和性质，（1）①根据绝对值的代数意义去掉绝对值即可；②根据一次函数的图象特征和自变量x的取值范围不同，确定三个点即可画出该函数图象；（2）①根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和自变量的取值范围进行计算判断即可；②根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和函数的取值范围进行计算判断即可；③根据题意画出图象，利用函数顶点的位置和自变量的取值范围及函数的取值范围进行计算判断即可；熟练掌握其性质及数形结合思想是解决此题的关键．【详解】（1）①函数y=|2x-1|，当x≥12时，当x<12时，故答案为：2x-1；②当x=12时，y=0；当x=1时，y=1；当x=-1时，图象过三点（1y=|2x-1||如图示：（2）平移后的图象如图所示：

①当x=0时，函数y1=1＋1=2；当由图象知，函数y1=2x-1∴y1的最小值为1结合图象知当0≤x<3，y1的取值范围是1≤故答案为：1≤y②y1=2时，x=0或x=1，当y1=5时结合图象知，x的取值范围是0≤x≤-32或故答案为：0≤x≤-32③当x=-1时，y1=4，当x=2时，结合图象知，当x的取值范围是-1<x<2时，1≤∴m的取值范围m<1,n的值4．【题型6由三角形全等分类讨论求参数的值】【例6】（2023下·陕西西安·八年级校考期末）如图，△ABC的两条高AD与BE交于点O，AD=BD，AC=6．

(1)求BO的长；(2)F是射线BC上一点，且CF=AO，动点P从点O出发，沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，同时动点Q从点A出发，沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，当点P到达点B时，P，Q两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．【答案】(1)6(2)65或【分析】（1）证△BDO≌（2）分两种情况，点F在BC延长线上时△AOP≌△FCQ得t=6-4t；当F在线段BC上时，证出△AOP≌【详解】（1）解：∵AD，BE为△ABC的高，∴∠AEB=∠ADB=90°，∵∠AOE=∠BOD，∴∠DBO=∠DAC，又∵∠BDO=∠ADC=90°，BD=AD，∴△BDO≌∴BO=AC=6；（2）解：∵△BDO≌∴∠BOD=∠ACD，当点F在BC延长线上时，

∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠ACF，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌∴t=6-4t，解得：t=6当F在线段BC上时，

∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠FCQ，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌∴t=4t-6，解得：t=2；综上所述，△AOP与△FCQ全等时，t的值为65或2【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形判定是解题关键．【变式6-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）如图1，在四边形BCDE中，∠D=∠E=90°，点A在边上DE上，且AC⊥AB．(1)求证：∠DAC=∠EBA．(2)如图2，若AC=8，AB=6．点F从点C出发，沿折线CAB以速度为每秒2个单位长度向终点B运动；点G从点B出发，沿折线BAC以速度为每秒1个单位长度向终点C运动；F，G向DE作垂线，垂足分别为M，N．设点G的运动时间为ts．当△AMF与A，N，G三点构成的三角形全等时，求AG【答案】(1)见解析(2)AG长为4或43或【分析】（1）根据题意，∠D=∠E=∠BAC=90°，可以得到∠DAC、∠DCA互余，∠DAC、∠EBA互余，因此得到∠DAC=∠EBA．（2）根据题意分析，要使△AMF≌△GNA，需要满足FA=AG，经分析F、G运动情况可以分为三种：当F在CA段，G在AB段时，列出等量关系，求出AG的长；当F在AB段，G在AB段时，列出等量关系，求出AG的长；当F在AB段，G在CA段时，列出等量关系，求出AG的长．【详解】（1）证明：∵∠D=∠E=∠BAC=90°，∴∠DAC+∠DCA=90°，∠DAC+EBA=90°∴∠DAC=∠EBA（2）解：由（1）知：∠DAC=∠EBA，∴在△AFM和△GNA中，∠DAC=∠EBA，∠D=∠E=90°，现在只需要FA=AG即可满足△AFM≌GNAAAS经分析，若要FA=AG，F、G运动情况可以分为三种：当F在CA段，G在AB段时，8-2t=6-t，解得t=2，此时AG=6-2=4，当F在AB段，G在AB段时，2t-82此时AG=6-14当F在AB段，G在CA段时，AG=AB=FA=6，此时t=12，故答案为AG长为4或43或【点睛】本题考查了三角形全等，直角三角形两锐角互余，路程、速度、时间的知识点，在分析中，利用已知速度的关系，合理分析满足FA=AG时，F，G的三种运动情况是解答本题的关键．【变式6-2】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝BC，BD⊥AC，垂足为D．(1)求证：∠BAM=∠BCA；(2)动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且S△ABP=5②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得△APB与△BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．【答案】(1)见解析(2)①t=2517；②存在，t=【分析】（1）①先证Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），推出∠BAC＝∠BCA．再由角平分线的定义得∠BAM＝∠BAC，等量代换即可证明∠BAM=∠BCA；（2）①作BH⊥AM，垂足为M．先证△AHB≌△ADB（AAS），推出BH＝BD，再由S△ABP＝52S△BQC，推出AP=52CQ，结合P，Q运动方向及速度即可求解；②分“点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上”，以及“点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上”两种情况讨论，利用三角形全等得出【详解】（1）证明：∵BD⊥AC，∴∠BDA=∠BDC=90°，在Rt△BDA和Rt△BDC中，BD=BD∴Rt△BDA≌Rt△BDC（HL），∴∠BAC＝∠BCA．∵AB平分∠MAN，∴∠BAM＝∠BAC，∴∠BAM＝∠BCA．（2）解：①如下图所示，作BH⊥AM，垂足为M．∵BH⊥AM，BD⊥AC，∴∠AHB＝∠ADB＝90°，在△AHB和△ADB中，∠AHB=∠ADB∴△AHB≌△ADB（AAS），∴BH＝BD，∵S△ABP＝52S△BQC∴12∴AP=5∴t=5∴t=25②存在，理由如下：当点P沿射线AM方向运动，点Q在线段AC上时，如下图所示，∵AB＝BC，又由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴t=5-3t，∴t=5当点P沿射线AM反向延长线方向运动，点Q在线段AC延长线上时，如下图所示，由（1）得∠BAM＝∠BCA，∴∠BAP＝∠BCQ，又∵AB＝BC，∴当AP＝CQ时，△APB≌△CQB，∴t=3t-5，∴t=5综上所述，当t=54或t=52时，△APB【点睛】本题考查角平分线的定义，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，并注意分类讨论是解题的关键．【变式6-3】（2023下·江苏苏州·八年级统考期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．（1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝；（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．【答案】（1）1；（2）32；（3）a＝2时，t＝2；或a＝2.3时，t＝5【分析】（1）由题意得∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，由三角形面积得AQ＝3BQ，则AB＝4BQ＝8，得BQ＝2＝2a，则a＝1；（2）由题意得点P与B为对应顶点，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，则AP＝AC﹣PC＝4，PQ⊥AC，得t＝2，则PQ＝BQ＝2a，再由三角形面积关系即可得出答案；（3）分两种情况：①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP＝EQ，AQ＝EF＝10，求出a＝2，BQ＝BE﹣EQ＝t，则AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得t＝2；②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP＝EF＝10，AQ＝EQ，求出t＝5，则AQ＝EQ＝5a，得BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，再分别求出a的值即可．【详解】解：（1）由题意得：∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，∵S△AQF＝3S△BQC，S△AQF＝12AF×AQ，S△BQC＝12BC×∴AQ＝3BQ，∴AB＝4BQ＝8，∴BQ＝2＝2a，∴a＝1；故答案为：1；（2）∵以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等，CQ是公共边，∴点P与B为对应顶点，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ⊥AC，∵AP＝2t＝4，∴t＝2，∴PQ＝BQ＝2a，∵△ABC的面积＝△ACQ的面积+△BCQ的面积，∴12×8×6＝12×10×2a+12×2解得：a＝32（3）由题意得：∠A＝∠E，∴∠A与∠E为对应角，分两种情况：①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP＝EQ，AQ＝EF＝10，∵EQ＝at，∴at＝2t，∴a＝2，∴EQ＝2t，∵BE＝3t，∴BQ＝BE﹣EQ＝t，∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，解得：t＝2；②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP＝EF＝10，AQ＝EQ，∴2t＝10，∴t＝5，∴AQ＝EQ＝5a，∵BE＝3t＝15，∴BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，当BQ＝15﹣5a时，AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5a，或AQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7，∴5a＝23﹣5a，或5a＝5a﹣7（无意义），解得：a＝2.3；当BQ＝5a﹣15时，AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7，或AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a，∴5a＝5a﹣7（无意义），或5a＝7﹣5a，解得：a＝0.7，不合题意，舍去；综上所述，a＝2时，t＝2；或a＝2.3时，t＝5．【点睛】本题主要考查全等三角形的综合问题及动点问题，关键是根据题意找到动点之间的联系，然后结合全等三角形的性质进行求解问题即可，注意分类讨论思想的运用．【题型7利用全等三角形解决阅读理解类问题】【例7】（2023下·四川达州·八年级四川省大竹中学校考期末）（1）阅读理解：

如图①，在△ABC中，若AB=5，AC=3，求BC边上的中线AD的取值范围．解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，这样就把AB，AC，2AD集中在ΔABE中，利用三角形三边的关系可判断线段AE的取值范围是；则中线AD的取值范围是（2）问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边的中点，DE⊥DF于点D，DE交AB于点E，DF交AC于点F，连接EF，此时：BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．（3）问题拓展：如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD，∠BCD=160°，以C为顶点作∠ECF=80°，边CE，CF分别交AB，AD于E，F两点，连接EF，此时：BE、DF与EF的数量关系【答案】（1）2<AE<8,1<AD<4；（2）EF<EB+CF，见解析；（3）BE+DF=EF【分析】（1）延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，证明△ADC≌△EDB(SAS)，可得AC=BE，再由三角形三角关系可得2<AE<8，（2）延长FD至G，使FD=DG，连接BG，证明△CFD≌△GBD(SAS)，可得BG=FC，连接EG，可知△EFG是等腰三角形，则FE=EG，在△EBG中，EG>EB+BG，即（3）延长AB至H使BH=DF，连接CH，证明△CBH≌△CDF(SAS)，可推导出∠CEH=80°，再证明△FCE≌△HCE(SAS)，则【详解】解：（1）延长AD到点E使DE=AD，再连接BE，∵CD=BD，∠ADC=∠BDE，AD=DE，∴△ADC≌△EDB(SAS∴AC=BE，在△ABE中，AB-BE<AE<AB+BE，∴2<AE<8，∵AE=2AD，∴1<AD<4，故答案为：2<AE<8，1<AD<4；（2）延长FD至G，使FD=DG，连接BG，

∵CD=BD，∠CDF=∠BDG，FD=DG，∴△CFD≌△GBD(SAS∴BG=FC，连接EG，∵ED⊥FD，FD=DG，∴△EFG是等腰三角形，∴FE=EG，在△EBG中，EG<EB+BG，即EF<EB+CF；（3）延长AB至H使BH=DF，连接CH，

∵∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBH=180°，∴∠D=∠CBH，∵CD=CB，BH=DF，∴△CBH≌△CDF(SAS∴CH=CF，∠BCH=∠DCF，∵∠BCD=160°，∠ECF=80°，∴∠DCF+∠ECB=80°，∴∠CEH=80°，∵FC=CH，EC=EC，∴△FCE≌△HCE(SAS∴EH=EF，∵BE+BH=EH，∴BE+DF=EF．【点睛】本题考查全等三角形的综合应用，熟练掌握三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，三角形三边关系是解题的关键．【变式7-1】（2023上·辽宁大连·八年级校联考期末）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题:如图1,在四边形ABCD中,E是BC的中点,AE是∠BAD的平分线,AB∥DC，求证:AD=AB+DC．小明发现以下两种方法:方法1:如图2,延长AE、DC交于点F；方法2:如图3,在AD上取一点G使AG=AB,连接EG、CG.(1)根据阅读材料,任选一种方法,证明：AD=AB+DC；用学过的知识或参考小明的方法,解决下面的问题:(2)如图4,在四边形ABCD中,AE是∠BAD的平分线,E是BC的中点,∠BAD=60°,∠ABC=180°-12∠BCD，求证【答案】（1）见解析；（2）见解析.【分析】（1）方法1：如图2，延长AE、DC交于点F，证明△ABE≌△FCE（ASA）即可解决问题方法2：如图3，在AD上取一点G使AG=AB，连接EG、CG．想办法证明DC=DG即可解决问题；（2）如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连接EN．只要证明△CNE≌△CND（ASA）即可解决问题；【详解】（1）方法1：如图2，延长AE、DC交于点F；∵AB∥DF，∴∠B=∠ECF，∵BE=EC，∠BEA=∠CEF，∴△ABE≌△FCE（ASA），∴AB=CF，∵EA平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAF=∠F，∴AD=DF，∴AD=CD+AB．方法2：如图3，在AD上取一点G使AG=AB，连接EG、CG．∵AB=AG，∠BAE=∠GAE，AE=AE，∴△BAE≌△GAE（SAS），∴BE=EG=EC，∠AEB=∠AEG，∴∠EGC=∠ECG，∵∠BEG=∠EGC+∠ECG，∴∠BEA=∠ECG，∴AE∥CG，∴∠EAG=∠CGD，∵AB∥CD，AE∥CG，∴∠BAE=∠DCG，∴∠DCG=∠DGC，∴CD=DG，∴AD=AB+CD．（2）证明：如图4中，作CM∥AB交AE的延长线于M，CM交AD于N，连接EN．由（1）可知：AN=NM，AE=EM，∴EN平分∠ANM，∵∠BAD=60°，MN∥AB，∴∠MND=∠BAD=60°，∴∠ENM=∠ENA=60°，∴∠CND=∠CNE，∵∠B+∠ECN=180°，∠ABC=180°-12∠BCD∴∠NCE=∠NCD，∵CN=CN，∴△CNE≌△CND（ASA），∴CE=CD．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．【变式7-2】（2023下·江苏泰州·八年级统考期末）已知：如图①，纸片Rt△ABC，∠ACB=90°

(1)将△ABC沿着MN折叠，使得△AMN与△CMN重合，MN为折痕，展开后如图②所示．试判断MN与BC的位置关系，并说明理由；(2)在（1）的条件下，连接MC，过点M作ME⊥BC，点E为垂足，如图③所示．①将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合吗？请说明理由；②图中与△AMN全等的三角形有______个；(3)将图②中纸片沿MC剪开得△MBC，如图④所示，将另一张纸片△OPQ与△MBC拼接，边OP与边MC恰好重合(点O与点C重合)，若OP=OQ，且△MBC的面积与△OPQ的面积相等，试探索∠BMC与∠【答案】(1)MN∥(2)①点B与点C重合，理由见解析；②3(3)∠BMC=∠POQ或∠POQ+∠BMC=180°，理由见解析【分析】（1）根据折叠的性质可得MN⊥AC，再根据∠A+∠B=90°,∠A+∠AMN=90°得出∠B=∠AMN，即可得出结论；（2）①通过证明△CMN≌△MCEAAS，得出EM=CN，MN=CE，进而推出△BME≌△CMNAAS，即可得出结论；②根据折叠的性质和（3）根据题意进行分类讨论：①当△OPQ为锐角三角形时，②当△OPQ为钝角三角形时．【详解】（1）解：∵△AMN与△CMN重合，MN为折痕，∴MN⊥AC，∵∠A+∠B=90°,∠A+∠AMN=90°，∴∠B=∠AMN，∴MN∥（2）解：①∵ME⊥BC，MN⊥AC∴∠CNM=∠MEC=90°，由（1）可得MN∥∴∠NMC=∠MCE，在△CMN和△MCE中，∠NMC=∠MCE∠CNM=∠MEC=90°∴△CMN≌△MCEAAS∴EM=CN，MN=CE，∵△AMN与△CMN重合，MN为折痕，∴∠B=∠AMN=∠CMN，在△BME和△CMN中，∠B=∠CMN∠CNM=∠MEB=90°∴△BME≌△CMNAAS∴BM=CM，∴将△BME沿ME折叠，点B能与点C重合；②∵△AMN与△CMN重合，MN为折痕，∴△AMN≌△CMN，由①可得△CMN≌△MCEAAS，△BME≌△CMN∴△AMN≌△MCE，△BME≌△AMN，综上：图中与△AMN全等的三角形有3个，故答案为：3．（3）解：①当△OPQ为锐角三角形时，过点B作BG⊥MC于点G，过点Q作QH⊥MC于点H，∵S△BMC∴12∵OP与边MC恰好重合，即OP=MC，∴BG=QH，∵MC=MB=OP=OQ，∴MB=OQ，∵BG⊥MC，QH⊥MC，∴∠BGM=∠QHO=90°，在Rt△BGM和RtMB=OQBG=QH∴Rt△BGM≌∴∠BMG=∠QOH，即∠BMC=∠POQ；

②当△OPQ为钝角三角形时，过点B作BS⊥CM于点S，过点Q作QT⊥OP于点T，∵S△BMC∴12∵OP与边MC恰好重合，即OP=MC，∴BS=QT，∵MC=MB=OP=OQ，∴MB=OQ，∵BS⊥CM，QT⊥OP，∴∠T=∠BSM=90°，在Rt△BSM和RtMB=OQBS=QT∴Rt△BSM≌∴∠BMS=∠QOT，∵∠POQ+∠QOT=180°，∴∠POQ+∠BMS=180°，即∠POQ+∠BMC=180°．

【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握轴对称的性质以及全等三角形的判定和性质．全等三角形的判定方法有：SSS,SAS,ASA,AAS,HL．【变式7-3】（2023上·河北张家口·八年级校考期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧．【探究与发现】(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，写出图中全等的两个三角形：__________；【理解与运用】(2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，求x的取值范围；(3)如图3，AD是△ABC的中线，∠BAC=∠ACB，点Q在BC的延长线上，QC=AB，求证：AQ=2AD．

【答案】(1)△ADC≌△EDB(2)1<x<4(3)证明见解析【分析】（1）△ADC≌△EDB，根据全等三角形的判定SAS即可得到．（2）根据（1）中的辅助线作法，延长EP至点Q，使PQ=PE，再证明△PDE≌△PFQ，得到DE=FQ，再在△FQE中，利用三边关系进行计算即可．（3）根据（1）中辅助线作法，延长AD至点M，使MD=AD，证明△BMD≌△CAD，得到BM=CA，∠DBM=∠DCA，再证明△ACQ≌△MBA，根据全等三角形的性质即可得证．【详解】（1）∵AD是△ABC的中线，∴BD=DC,在△ADC和△EDB中，DC=BD∠ADC=∠EDB∴△ADC≌△EDBSAS．（2）如图2，延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，

∵EP是△DEF的中线，∴PD=PF在△PDE和△PFQ中，PD=PF∠DPE=∠FPQ∴△PDE≌△PFQSAS,∴DE=FQ=3，PE=PQ=x，在△FQE中，EF-FQ<QE<EF+FQ即5-3<2x<5+3，∴1<x<4．（3）如图3，延长AD至点M，使MD=AD，连接BM，

∴AM=2AD，∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，在△BMD和△CAD中，MD=AD∠BDM=∠CDA∴△BMD≌△CADSAS，∴BM=CA，∠DBM=∠DCA，∵∠BAC=∠ACB，∠ACQ=∠BAC+∠ABC，∠MBA=∠DBM+∠ABC，∴∠ACQ=∠MBA，在△ACQ和△MBA中，CA=BM∠ACQ=∠MBA∴△ACQ≌△MBASAS，∴AQ=AM=2AD.【点睛】本题考查三角形全等的证明，三角形全等的证明方法以及倍长中线的辅助线作法是本题关键，准确的作出辅助线是本题难点．【题型8勾股定理在格点中的运用】【例8】（2023上·湖北武汉·八年级校联考阶段练习）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，图中A、B、C都在格点上，画图过程用虚线表示．

(1)在图1中，画出格点C，使∠ABC=45°．(2)在图2中，在AC上画点E，使∠AEB=∠ABC．(3)在图3中，点D是AB上一点，在AB的下方画∠ADF=45°．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)见解析【分析】（1）构造等腰直角三角形ABC即可；（2）构造等腰直角三角形ABJ，BJ交AC一点E，点E即为所求；（3）构造等腰直角三角形ABK，取格点P，Q，连接PQ交BK于点T，可得BK的中点T，连接AT，连接