广西示范性高中2023-2024学年高二下学期3月调研测试数学试卷（含答案解析）

2024年广西示范性高中高二3月调研测试数学试卷本试卷满分150分，考试时间120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线：和：．若，则m的值为（）A. B.3 C.1或3 D.或3【答案】B【解析】【分析】借助直线平行的性质计算即可得，注意检验是否重合.【详解】由，则有，即，解得或，当时，有，，即两直线重合，不符，故舍去，当时，有，，符合要求，故.故选：B.2.函数单调递减区间为（）A. B. C. D.，【答案】A【解析】【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间.【详解】，当时，单调递增，当时，单调递减；的减区间是；故选：A.3.已知椭圆，分别是椭圆C的焦点，过点的直线交椭圆C于A，B两点，若，则（）A.2 B.4 C.6 D.8【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的定义可求，，结合条件可求.【详解】设椭圆的长半轴为，则，由椭圆定义可得，，又，所以.故选：D.4.圆与圆的公切线有（）A.条 B.条 C.条 D.条【答案】C【解析】【分析】判断两圆的位置关系，可得出结论.【详解】圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，因为，故两圆外切，故圆与圆的公切线有条.故选：C.5.在数列中，，，则（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】逐项计算，再根据数列的周期性求解即可.【详解】由题意，，，，，故数列满足，故.故选：A6.如图，平行六面体中，E为BC的中点，，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用空间向量的线性运算求解即得.【详解】在平行六面体中，E为BC的中点，所以.故选：B7.设等差数列，的前项和分别为，，，都有，则的值为（

）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.【详解】因为等差数列，的前项和分别为，且，所以.故选：D.8.已知双曲线的左､右焦点分别为.过的直线交双曲线右支于两点，且，则的离心率为（）A.2 B.3 C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据双曲线定义和线段之间的倍数关系求出，，由余弦定理求出，进而得到，得到答案.【详解】由已知可设，则，故，由双曲线的定义有，故，，故，在中，由余弦定理得.在中，由余弦定理得，即，解得，即，故的离心率为2.故选：A二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（）A.函数在处取得极大值B.函数在处取得极值C.在区间上单调递减D.的图象在处的切线斜率大于零【答案】AC【解析】【分析】根据导数的图象判断函数的区间单调性和极值、处切线斜率符号判断各项正误.【详解】由题图知：上，上，所以在上递增，上递减，即在处取得极大值，A对；在处函数值不是极值，B错；在区间上单调递减，C对；由图知：，即在处的切线斜率小于零，D错.故选：AC10.已知直线与圆交于A，B两点，则（）A.圆D的面积为 B.l过定点C.面积的最大值为 D.【答案】ABD【解析】【分析】将圆的方程整理成标准式，得到圆心和半径，即可求解圆面积判断A，直线整理成关于的方程，令其系数为0，即可得出直线过的定点，判断B；由，结合弦长公式与基本不等式，即可判断C；分别求出过点的弦长的最大值和最小值，即可判断D.【详解】对于A：圆即的圆心为，半径，故圆D的面积为，正确；对于B：将直线整理为：，令，解得，即直线过定点，正确；对于C：定点到圆心的距离，设点到直线的距离为，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故的面积的最大值为，错误；对于D：当直线与垂直时，弦的长度最小，当直线过圆心时，弦的长度最大，所以可得，正确.故选：ABD11.已知正方体的棱长为2，点是的中点，点满足，，则下列结论正确的是（）A.平面 B.与所成角的取值范围为C.的最小值为 D.三棱锥外接球体积的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】根据面面平行的性质判定选项；通过异面直线所成角的定义可知，与所成角即为与所成的角，在△即可确定与所成角的取值范围；将平面和平面展开在同一平面内，即可求出的最小值；由和外接球体积最小即可确定球心的位置，利用球的体积公式求解即可.【详解】选项，连接，∵∥，平面，平面，∴∥平面，同理可得∥平面，∵，平面，平面，∴平面∥平面，平面，∴平面，则选项正确；选项，连接，如下图，∵∥，∴与所成角就是与所成的角，∵为线段上的点，且不包括端点，∴与所成的角的最大值为，，，，则，即，∴，，∴与所成的角的最小值为，但是取不到，∴与所成的角的取值范围为，即与所成角的取值范围为，则正确；选项，将平面和平面展开在同一平面内，连接角于点，如下图，此时有最小值，而≌，∴为的中点，∴，则错误；选项，由已知得，作的中点，连接、、，∵，∴，∵三棱锥外接球体积最小，∴在处，∴，∴点为三棱锥外接球的球心，∴，∴三棱锥外接球体积的最小值为,则正确；故选：.【点睛】思路点睛：找到外接球的球心，然后找到与外接球半径有关系的方程，即可解出答案，或者建立空间直角坐标系，找出与半径有关的方程，建立目标函数，求得最值即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.抛物线的准线到焦点的距离为____________【答案】【解析】【分析】根据题意，化为抛物线的标准方程，求得的值，即可得到答案.【详解】由题意，抛物线可化为，可得，所以抛物线的准线到焦点的距离为.故答案为：.13.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________【答案】3【解析】【详解】分析：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.14.已知直线是曲线与曲线的公切线，则的值为__________.【答案】2【解析】【分析】由求得切线方程，结合该切线也是的切线列方程，求得切点坐标以及斜率，进而求得直线，从而求得正确答案.【详解】设是图像上的一点，，所以在点处的切线方程为，①，令，解得，，所以，，所以或（此时①为，，不符合题意，舍去），所以，此时①可化为，所以.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.设等差数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式及前项和公式即可求解；（2）根据（1）的结论,再利用数列求和中的裂项相消法即可求解.【小问1详解】设等差数列的公差为，依题意得，解得.故数列的通项公式是【小问2详解】由（1）知，.所以.16.已知圆经过两点，且圆心在直线上.（1）求圆的标准方程；（2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根据圆心所在直线设出圆心坐标，结合圆过的点列出方程求解圆心进而求圆的方程；（2）先求出圆心到直线的距离，再分类讨论直线斜率不存在和存在两种情况求解方程即可.【小问1详解】因为圆心在直线上，所以设，因为圆经过两点，所以，解得，即，半径，所以圆的标准方程为【小问2详解】因为过点的直线被圆截得的弦长为8，所以到直线距离，当直线斜率不存在时，直线满足题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，所以，解得，此时直线方程为，即.综上所述，直线的方程为或17.如图，在三棱柱中，底面是边长为6的等边三角形，，，，分别是线段，的中点，平面平面．（1）求证：平面；（2）若点为线段上的中点，求平面与平面的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】【分析】（1）连接，根据已知可得，，再由面面垂直的性质有，最后利用线面垂直的判定证结论；（2）由题设，构建空间直角坐标系，向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】连接，四边形是菱形，则，又，分别为，的中点所以，故，又为等边三角形，为的中点，则平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故又，，，平面，可得平面.【小问2详解】，，为等边三角形，是的中点，则，由（1）得平面，以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，则，所以，，设平面的一个法向量为，则，取，所以，由（1）得是平面的一个法向量，，即平面与平面的夹角的余弦值为．18.固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线．1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为，其中为参数．当时，就是双曲余弦函数，类似地我们可以定义双曲正弦函数．它们与正、余弦函数有许多类似的性质．（1）类比正、余弦函数导数之间关系，，，请写出，具有的类似的性质（不需要证明）；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3）求的最小值．【答案】18.,19.20.0【解析】【分析】（1）求导即可得结论;（2）构造函数,求导,并结合分类讨论确定函数的最小值即可求解;（3）多次求导最终判断函数单调在内单调递增,且函数为偶函数从而确定最小值.【小问1详解】求导易知,.【小问2详解】构造函数，，由（1）可知，①当时，由,可知，，故单调递增，此时，故对任意，恒成立，满足题意；②当时，令，，则，可知单调递增，由与可知，存在唯一，使得，故当时，，则内单调递减，故对任意，，即，矛盾；综上所述，实数的取值范围为．【小问3详解】，，令，则；令，则，当时，由（2）可知，，则，令，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，则，故在内单调递增，因为，即为偶函数，故在内单调递减，则，故当且仅当时，取得最小值0．19.已知椭圆C：的离心率为，左、右顶点分别为A、B，过点的直线与椭圆相交于不同的两点P、Q（异于A、B），且．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线AP、QB的斜率分别为、，且，求的值；（3）设和的面积分别为、，求的最大值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根据题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出椭圆的方程；（2）设直线的方程为，点、，将直线的方程的方程与椭圆的方程联立，利用韦达定理结合斜率公式分析可得；（3）利用韦达定理分析可得关于的函数关系式，利用对勾函数的单调性可求得的最大值.【小问1详解】因为，所以，由可得，解得，由离心率可求出标准方程为【小问2详解】由题意可知：点在椭圆内，直线与椭圆必相交，且直线的斜率可以不存在，但不