广西壮族自治区梧州市万秀区2023-2024学年八年级上学期期中数学试题（含答案解析）

广西梧州市万秀区2023-2024学年八年级（上）期中数学试卷一．选择题（共12小题，满分36分，每小题3分）1.在代数式，，﹣3x，，中，其中是分式的有（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【答案】B【解析】【分析】根据分式的定义：一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，逐个判断即可得．【详解】解：是多项式，属于整式，和都是单项式，属于整式，和都是分式，综上，分式有2个，故选：B．【点睛】本题考查了分式，熟记定义是解题关键．2.下列各组数可能是一个三角形的边长的是（）A.2，2，4 B.4，5，10 C.7，5，11 D.14，5，8【答案】C【解析】【分析】根据三角形三边关系定理逐个判断即可．【详解】解：A、2+2=4，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B、4+5＜10，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；C、7+5＞11，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，故本选项符合题意；D、5+8＜14，不符合三角形三边关系定理，不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，三角形的任意两边之和大于第三边，能熟记三角形的三边关系的内容是解此题的关键.3.已知，图中的虚线部分是小玉作的辅助线，则下列结论正确的是（）A.CD是边AB上的高 B.CD是边AC上的高C.BD是边CB上的高 D.BD是边AC上的高【答案】A【解析】【分析】根据三角形高线定义解答．【详解】解：图中CD是边AB上的高，BD是边CD上的高，故选：A．【点睛】此题考查了三角形的高的定义：从角的顶点向角的对边所作的垂线段，是三角形的高线，熟记定义是解题的关键．4.分式和的最简公分母是（）A.xy B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据最简公分母的确定方法解答即可．【详解】解：分式和的最简公分母是，故选：C．【点睛】本题主要考查了最简公分母的确定方法，确定最简公分母的一般方法：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．5.如图，对于分式中的四个符号，任意改变其中的两个，分式的值不变的是（）A.①② B.②③ C.①③ D.②④【答案】A【解析】【分析】根据分式的基本性质得出分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变，再逐个判断即可．【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变，所以同时改变①（分式本身的符号）和②（分母的符号），分式的值不变，故选：．【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的符号变化规律，分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变是解此题的关键．6.下列命题正确的是（）A.到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；B.线段的垂直平分线上的点与该线段的两端点均能构成等腰三角形；C.三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等；D.两边及第三边上的高对应相等的两个三角形全等．【答案】C【解析】【分析】A、B、D均可举反例说明错误，C选项可构成图形证明．【详解】解：到角两边距离相等的点，在角的平分线所在直线上，很明显A的叙述有漏解的情况（这个点可能在这个角的邻补角的角平分线上），故A错误；线段的垂直平分线上的点与该线段的两端点均能构成等腰三角形，如果这个点在线段上不能构成三角形，故B错误；如下图，当△ABC是以BC为底的等腰三角形，根据等腰三角形三线合一即可得出三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等；当△ABC是一般三角形，如下图通过AD为中线可得BD=CD，BE、CF分别为B、C到线段AE的距离，可得∠CFD=∠BED，根据对顶角的定义可得∠ADC=∠BDE，所以可得△BDE≌△CDF，由此可得BE=CF，即三角形一边的两端到这边中线所在的直线的距离相等，选项C正确；有两边及第三边上的高对应相等，这两边的夹角有可能一个是锐角一个是钝角，所以这两个三角形不一定全等，故D错误．故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义．说明一个命题正确要证明它，说明一个命题错误只需要举一个反例即可．7.如图△ABC中，∠A＝85°，∠B＝38°，则∠ACD为（）A.67° B.95° C.123° D.142°【答案】C【解析】【分析】根据三角形外角性质解答即可．【详解】解：在△ABC中，∠A＝85°，∠B＝38°，∴∠ACD＝∠A+∠B＝85°+38°＝123°，故选：C．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，了解基本性质是解题的关键．8.如图，的面积为平方厘米，如果，．那么的面积为（）A.8 B.6 C.4 D.4．8【答案】C【解析】【分析】根据，可得，根据可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∵，∴，∵的面积为平方厘米，∴的面积为，故选：C．【点睛】本题考查了分数乘法的应用，根据分数的乘法进行计算是解题的关键．9.已知关于的分式方程有解，则的取值范围为（）A. B.C.且 D.且【答案】C【解析】【分析】先解方程，再根据分母不为零，列出不等式即可．【详解】解：，去分母得，，解得，，∵关于的分式方程有解，∴且，解得，且故选：C．【点睛】此题主要考查了分式方程的解，关键是掌握分式方程有解时，分母不为零可列不等式，进而可得k的取值范围．10.如图，要测量河岸相对的两点A、B之间的距离，先从B处出发与AB成方向，向前走50米到C处立一根标杆，然后方向不变继续朝前走50米到D处，在D处转沿DE方向再走17米，到达E处，此时A、C、E三点在同一直线上，那么A、B两点间的距离为A.10米 B.12米 C.15米 D.17米【答案】D【解析】【分析】根据已知条件求证△ABC≌△EDC，利用其对应边相等的性质即可求得AB．【详解】∵先从B处出发与AB成90°角方向，

∴∠ABC=90°，

∵BC=50m，CD=50m，∠EDC=90°，∠ACB=∠ECD，

∴△ABC≌△EDC，

∴AB=DE，

∵沿DE方向再走17米，到达E处，即DE=17

∴AB=17．

故答案为D.【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等性质，解题关键是熟记全等三角形的性质.11.某生产小组计划生产5000个口罩，由于采用新技术，实际每小时生产口罩的数量是原计划的2倍，因此提前5小时完成任务．设原计划每小时生产口罩个，根据题意，所列方程正确的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】设原计划每小时生产口罩个，可得实际每小时生产口罩2个，根据时间相差5个小时，列分式方程即可解题．【详解】解：设原计划每小时生产口罩个，则实际每小时生产口罩2个，根据题意得，，故选：C．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．12.如图所示，某工程队欲测量山脚两端A、B间的距离，在山旁的开阔地取一点C，连接AC、BC并分别延长至点D，点E，使得CD＝AC，CE＝BC，测得DE的长，就是AB的长，那么判定△ABC≌△DEC的理由是（）A.SSS B.SAS C.ASA D.AAS【答案】B【解析】【分析】根据CD＝AC，∠ACB=∠DCE，CE＝BC，用SAS证明△ABC≌△DEC即得．【详解】证明：在△ABC和△DEC中，，∴△ABC≌△DCE（SAS），故选：B．【点睛】本题主要考查了三角形全等，解决问题的关键是熟练掌握SAS判定三角形全等的方法和全等三角形的性质．二．填空题（共6小题，满分12分，每小题2分）13.在中，，，已知为的角平分线，则的度数为______°．【答案】30【解析】【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义；先根据三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义计算即可．详解】解：∵，，∴，∵为的角平分线，∴．故答案为：30．14.若分式的值为0，则x的值为______________________；【答案】-3【解析】【详解】=，当x=-3时原式的值=-315.已知实数满足，则的值为__________．【答案】【解析】【分析】由条件得，先求出的值，再根据平方根的定义即可求出的值．【详解】解：∵，∴，，∴．故答案为：．【点睛】本题主要考查了分式的求值，熟悉完全平方公式的结构特点及平方根的定义是解题的关键．16.已知为等边三角形，为的高，延长至E，使，连接，则______．【答案】3【解析】【分析】本题考查等边三角形的性质，根据等边三角形的三边上三线合一求解即可得到答案；【详解】解：∵为等边三角形，为的高，∴点D为的中点，，∵，∴，∴，∴，故答案为：3．17.如图，在△ABC中，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC于E，若∠BAC＝100°，则∠EAD＝_______°．【答案】20【解析】【分析】根据AB的中垂线可得，再根据AC的中垂线可得，再结合∠BAC=100°即可计算出，再由即可得到答案．【详解】解：根据AB的中垂线可得，根据AC的中垂线可得，∵∠B+∠C+∠BAC=180°，∠BAC=100°∴，∴，又∵，，故答案为：20．【点睛】本题主要考查线段中垂线的性质，三角形内角和定理，解题的关键在于能够熟练掌握线段中垂线的性质．18.如图，∠AOB＝10°，点P在OB上．以点P为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P1（点P1与点O不重合），连接PP1；再以点P1为圆心，OP为半径画弧，交OB于点P2（点P2与点P不重合），连接P1P2；再以点P2为圆心，OP为半径画弧，交OA于点P3（点P3与点P1不重合），连接P2P3；……请按照上面的要求继续操作并探究：∠P3P2P4＝_____°；按照上面的要求一直画下去，得到点Pn，若之后就不能再画出符合要求点Pn+1了，则n＝_____．【答案】①.40②.8【解析】【详解】分析：根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得∠P1PB，∠P2P1A，∠P3P2B，∠P4P3A，…，依次得到规律，再根据三角形外角小于90°即可求解.详解：由题意可知：PO=P1P，P1P=P2P1，…，则∠POP1=∠OP1P，∠P1PP2=∠P1P2P，…，∵∠BOA=10°，∴∠P1PB=20°，∠P2P1A=30°，∠P3P2B=40°，∠P4P3A=50°，…，∴10°n＜90°，解得n＜9．由于n为整数，故n=8．故答案为40°；8．点睛：本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等；三角形外角的性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.三．解答题（共8小题，满分72分）19.计算或化简：（1）；（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先把括号里的式子通分，然后计算除法即可；（2）先算负整数指数幂与零指数幂，再算乘除，最后加减即可．【小问1详解】解：原式．【小问2详解】解：原式．【点睛】此题考查了分式的乘除加减混合运算、含乘方的有理数混合运算，解题的关键是掌握分式的乘除加减混合运算法则和含整数指数幂的混合运算．20.解方程：（1）；（2）．【答案】（1）原分式方程无解；（2）原分式方程无解；【解析】【分析】本题考查解分式方程：（1）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可得到答案；（2）先去分母，再解一元一次方程，最后检验即可得到答案；【小问1详解】解：两边乘得到，，解得，检验：当时，，∴原分式方程无解；【小问2详解】解：两边乘得，，解得，检验：当时，，∴原分式方程无解．21.先化简，再求值，其中，．【答案】，；【解析】【分析】本题考查分式的化简求值，根式的运算，平方差公式的应用，先因式分解，再约分，约到最简，最后带入求解即可得到答案；【详解】解：原式，∴当，时，原式．22.如图，在△ABC中，，．（1）尺规作图：作边AB的垂直平分线交BC于点D（要求：保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图中，连接AD，AE是∠BAC的角平分线，求∠DAE的度数．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）根据尺规作图，作出边AB的垂直平分线即可；（2）先求解，再求解，，再利用角的和差可得答案.【详解】解：（1）分别以为圆心，以大于为半径，画弧，交于两点，连接，交BC于点D，如下图：（2）为线段的垂直平分线∴∴又∵，∴又∵平分∴∴故答案为【点睛】此题考查了尺规作图（垂直平分线），垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质．23.如图，于E，于F，若、．（1）求证：平分；（2）已知，，求的长．【答案】（1）见解析；（2）；【解析】【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，角平分线的判定：（1）先证，得到，再结合角平分线的判定即可得到证明；（2）先证，得到，即可得到答案；【小问1详解】证明：∵，，∴，∴在和中，∵，∴，∴，∵，，∴平分；【小问2详解】解：∴在和中，∵，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴．24.甲、乙两人计划开车从A地前往B地，已知A、B两地相距60km，甲的速度是乙的1.5倍，若同时出发，甲比乙早到半小时．（1）求甲、乙的速度各是多少？（列方程解答）（2）甲、乙同时出发后，甲在途中发现忘带了物品，于是立刻原速返回A地，取到物品后继续原速前往B地，最后甲在距离B地10km处追上乙．求甲出发多久时发现忘带了物品？【答案】（1）甲速度为60km/h，乙的速度为40km/h（2）甲出发h后发现忘带了物品【解析】【分析】（1）设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.5xkm/h，利用“时间=路程÷速度”并结合题意列出分式方程，解方程并检验即可得出乙的速度，然后将其代入到1.5x中即可计算甲的速度；（2）设甲出发yh后发现忘带了物品，根据甲追上乙时两人所以时间相同，即可列出关于y的一元一次方程，解方程即可得出结论．【小问1详解】解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.5xkm/h，根据题意可得，解得，经检验，是原方程的解，且符合题意，∴km/h．答：甲的速度为60km/h，乙的速度为40km/h；【小问2详解】设甲出发yh后发现忘带了物品，根据题意可知，解得．答：甲出发h后发现忘带了物品．【点睛】本题主要考查了