人教A版2019高中数学选修1 1 空间向量与立体几何 B卷

人教A版2019高中数学选修1专题1空间向量与立体几何B卷

1.已知向量a=(1,2,2),fa=(-2,1,1).则向量b在向量a上的投影向量为()

2_4_4\244,

A.，，B.

9~9~979/9.

£1n2

C.3f3,3)D.

2.如图,已知空间四边形04BC,其对角线为OB,AC,M,N分别是04,CB的中点，点G在

线段MN上，且MG=3GN,则下列说法正确的是()

A.0G=-0A+-0B+-0CB.0G=-0A+-0B+-0C

633633

C.0G=-0A+-0B+-0CD.OG=-0A+-0B+-0C

844888

3.已知平面a={P|元•的=0},其中点P()(l,2,3),法向量记=(1,1,1),则下列各点中不在平面a

内的是()

A.(3,2,1)B.(-2,5,4)

C.(-3,4,5)D.(2,-4,8)

4.在正三棱柱4BC-&B1G中，侧棱长为V2,底面三角形的边长为1,则Bg与侧面ACC^

所成角的大小为()

45°C.60°D.90°

5.在棱长为1的正方体力BCD—4B1GD1中，已知点P是正方形AA^D内部（不含边界）的

一个动点，若直线AP与平面AA^B所成角的正弦值和异面直线AP与DC1所成角的余弦值

相等，则线段DP长度的最小值是（）

V62>/2V64

A.C.D.

2333

6.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，鼻«=1,2,…,8）是上底面上

其余的八个点，则荏•通（2=1,2,…,8）的不同值的个数为（）

A.1B.2C.4D.8

7.如图所示，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面相互垂直，动点M在线段

PQ上，E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为0,则cos。的最

2

A.B.C.-D.-

555

8.在棱长为2的正方体ABCD-A^C^中，E,F分别为棱AAr,BB1的中点，G为棱

上的一点，且41G=4(0<4<2),则点G到平面D]EF的距离为()

V3

CD.

-I3

9.已知点P是4ABe所在的平面外一点，若AB=(-2,1,4).AP=(1,-2,1),AC=(4,2,0),则

()

A.APJ.ABB.AP1BP

C.园=V53D.AP//BC

10.已知单位向量I,j,k两两的夹角均为。且。力“，若空间向量a满足a=xi+

yj+zk(x,y,zGR),则有序实数组(x,y,z)称为向量a在“仿射"坐标系Oxyz(0为坐标原

点)下的"仿射"坐标，记作a=(x,y,z)0,则下列命题是真命题的有()

A.己知a=(1,3,-2)0,b=(4,0,2)0,则ab=0

B.己知a=(x,y,0)pb=(0,0,z)p其中x,y,z>0,则当且仅当x=y时，向量后,族的

夹角取得最小值

C.己知a.=(x1,y1,z1)0,I=(应,乃*2)。，则a+K=(%i+x2,yr+y2,

D.己知OA=(1,0,0)pOB=(0,1,0)pOC=(0,0,1)p则三棱锥0-ABC的表面积S=&

11.如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABC。-4181cl2，其中，以顶点A为端点的三条棱的

长度都相等，且它们彼此的夹角都是60。，下列说法中正确的是()

B.ACl-（AB-AD）=O

C.向量瓦与瓯的夹角是60°

D.BD］与AC所成角的余弦值为彳

22.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是DDX的中点，则（）

A.直线8传〃平面4BD

B.BrC±BD1

C.三棱锥G-BiCE的体积为|

D.异面直线BiC与BD所成角的大小为60°

13.已知空间中三点A(-2,0,2),6(-1,1,2),C(一3,0,4),设a=AB,b=AC.若kd+b与ka—

2b互相垂直，则实数k=

14.如图所示，P,Q分别是四面体04BC的棱。4,BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点,

且OM=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=_.

o

15.如图所示，在直平行六面体ABCD-中，BD1DC,BD=DC=1,点E在AAt上,

且AE=\AA1=^,则点B到平面EDC］的距离为___.

16.如图，在三棱柱ABC-中，AB,AC,AAr两两互相垂直，AA^=2AB=2AC,M,N

是线段BBi，CCi上的点，平面AMN与平面ABC所成（锐）二面角为三，当最小时，

Z.AMB=

17.已知向量d=(1,—3,2),b=(-2,1,1),点力(-3,-1,4),8(-2,-2,2).

(1)求\2a+b\；

(2)在直线AB上，是否存在一点E,使得OE1b?(0为原点)

18.如图所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，PD1底面ABC。，PAAB=

2,BC=»4BD—E在PC上.

(1)求证：平面PDA_L平面PDB；

(2)当E是PC的中点时，求异面直线AP与BE所成角的余弦值.

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，AD=PA=PB=2>/2,PA1PB,

平面PAB1平面4BCD.

(1)证明：平面P4D_L平面P8C；

(2)若M为PC中点，求平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值.

20.在图1中，2ABe和ZMCD都是直角三角形，AB=BC=®^CAD=30°,^ACD=

90°.将hABC沿AC折起，使得AB1BD,如图2.

图2

(1)证明：平面ABCJ.平面4CD；

(2)若E,F分别为AD,CD的中点，求二面角B-EF-A的大小.

21.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCDJ■平面PCD,底面ABCD为直角梯形，AB//CD,AD1DC,

且4B=1,AD=DC=DP=2,Z.PDC=120°.

C

A

(1)求证：？W_L平面PC。；

(2)线段BC上(不含端点)是否存在点F,使得平面PDF_L平面P4C?如果存在，求装的

DC

值；如果不存在，说明理由.

22.如图甲所示，B0是梯形ABCD的高，/.BAD=45°,OB=BC=1,OD=30A,将梯形ABCD

沿OB折起得到如图乙所示的四棱锥P-OBCD,使得PC=V3.

图甲图乙

(1)在棱PD上是否存在一点F,使得CF〃平面POB?若存在，请求出PF的值；若不存在,

请说明理由；

⑵点E是线段AB上一动点,当直线CE与DP所成的角最小时，求平面EBC与平面

ECD的夹角的余弦值.

答案

1.【答案】B

【解析】因为a=(1,2,2),b=(-2,1,1).

所以ab=lx(-2)+2x14-2x1=2,

所以向量b在向量a上的投影为兽=2=j

|a|V22+22+l23

所以向量b在向量a上的投影向量为弓稳=3毕=(黑，*

3|a|33\999/

故选B.

【知识点】空间向量的数量积运算

2.【答案】D

OG=0M+MG

=~0M+-MN

4

=OM+^(MO+OC+CN)

【解析】=；而+3沆+：而

=-0M+-0C+-X-CB

4442

=-0M+-0C+-(OB-0C)

=-OA+-OB+-0C.

888

故选D.

【知识点】空间向量基本定理

3.【答案】B

【解析】对于A,庭=(2,0,—2),n-PoP=lx2+lxO+lx(-2)=0,故选项A中的点在平

面a内；

对于B,PQP=(—3,3,1),n-P^P=lx(-3)+1x3+1x1=1*0,故选项B中的点不在平面

a内；

对于C,即=(—4,2,2),n-P^P=lx(-4)+1x24-1x2=0,故选项C中的点在平面a内；

对于D,可=(1,一6,5),n-Po^=lxl+lx(-6)+1x5=0,故选项D中的点在平面a内.

［知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题

4.【答案】A

【解析】以C为原点，CA所在直线为x轴，在平面ABC中过C且与AC垂直的直线为y

轴，CG所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，

则Bg,y,0),前(0,0,或)，则酩=(—；,一苧，旬,

易知平面4CG4的一个法向量为n=(0,1,0),

设BC、与侧面ACC^所成角的大小为0,

则sin®=萼*=*='

所以e=30°,

所以BC1与侧面4CC14所成角的大小为30。,

故选A.

【知识点】线面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

5.【答案】C

【解析】以D为坐标原点，DC,DA,DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐

标系，如图，

可设P(0,y,z),0<y<1,0<z<l,易知4(0,1,0),(1,0,1).D(0,0,0).

AP=(0,y-l,z),西=(1,0,1),DA=(0,1,0),DP=(0,y,z),

设直线AP与平面AA^B所成角为9,异面直线AP与DCi所成角为a,

易知平面AA.B.B的一个法向量为成DA=(0,1,0),

所以sin9=|cos(AP,DA)|=//了、,，

Vz2+(y-i)2

由sinO=cosa,cosa=|cos(4P,DC；)|=_..Z=,

V2-y/z2+z(y-l)2

可得z=V2(l—y),0<y<1,

则|DP1=y/y24-z2=yjy24-2(1-y)2=|(y-§+1,

当y=|时，线段DP长度最小，为y.

【知识点】线面角、异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

6.【答案】A

【解析】由题图知，AB与上底面垂直，因此AB1BPi(i=1,2,-,8),AB-APi=

|希||亚|COSNB4R=\AB\'\AB\=l(i=1,2,-,8).

【知识点】平面向量的数量积与垂直

7.【答案】B

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

设AB=1,则M(O,y,l),0<y<l,

易知万=(1金,0),丽96(0,既,

所以

cos。=|cos(AF,EM)|

_I/两I

一\AF\-\EM\

E+切

.2(i-»■y■)■...

2,

\[5-yj4y+5

r2(l-y)12=]8y+l,

lV4y2+5J4y2+5’

令8y+l=t,1WtW9,则笔=—'?；，当且仅当t=l时取等号,

4yz+5t+y-25

所以2(—y)_

加以府育一三1”2+5S-Vs'

所以COS0=X4=P当且仅当y=0时取最大值，

丁・，4y2+5x/5V55/

故选B.

【知识点】异面直线所成的角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

8.【答案】A

【解析】以D为原点，DA,DC,DD.所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系

D—xyz.

则G(2",2),Di(0,0,2),E(2,0,l),尸(2,2,1),

所以D^E=(2,0,-1).*=(22-1),GE=(0,-A,-l),

设平面DiEF的法向量为n=(x,y,z),则一n

(乙人।4y/u,

令％=1,则y=0,z=2,所以平面DiEF的一个法向量为元=(1,0,2).

所以点G到平面DiEF的距离为|需|=|詈|=等

【知识点】点面距离(线面距离、点线距离、面面距离)、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

9.【答案】A：C

【解析】因为AP-AB=0,所以AP1AB,故A正确；

BP=AP-AB=(3,-3,-3),7?•乔=3+6-3=6彳0,故B不正确；

BC=AC-AB=(6,1-4),[BC\=^62+I2+(-4)2=V53,故C正确；

AP=(1,-2,1),BC=(6,1,—4),1:(—2):16:1:(—4),故D不正确.

【知识点】空间向量的数量积运算

10.【答案】B；C

【解析】由定义可得

a-b=(1,3,-2)0-(4,0,2)0

=(i+3j-2fc)(4i+2fc)

=4+12t-fc-4

=12cos仇

因为0<e<n,且。力]所以a-b^O,故A错误；

如图所示，

设布=族，OA=a,则点A在平面xOy上，点B在z轴上，由图易知当x=y时，乙AOB

取得最小值，即向量&与5的夹角取得最小值，故B正确；

根据"仿射"坐标的定义可得

a+b=(x1(y1(Zi)0+(x2,y2,z2)0

=-+yj+Z㈤+(x2l+yj+Z2初

=(X1+X2)i+(71+y2)j+(Z1+z2)fc

=(%1+x2,yi+y2>zi+Z2)仇

故c正确；

由己知可得三棱锥O-ABC为正四面体，棱长为1,其表面积S=4xlxl2x^=V3,故D

错误.故选BC.

【知识点】平面向量数量积的坐标运算

11.【答案】A：B

【解析】设以顶点A为端点的三条棱的长度为1,

因为它们彼此的夹角是60°,

所以AA^-AB=AA^-AD=AD-AB=lxlxcos600=

/>>>、2..>2>->„>>>>>>

22

(A4+AB+AD)=A&+AB+AD+2AA1-AB+2AB-AD+2AAi•AD

=l+l+l+3x2xi

2

=6.

2AC2=2(AB+AD)2

=2(AB2+AD2+2AB-AD)

=2^1+l+2x—

=2x3

=6,

所以A正确.

AC^-(AB-AD)=(丽+AB+ADy(AB-AD)

=AA^-AB-AA^-AD+AB2-AB-AD+AD-AB-AD2

=o,

所以B正确.

瓦？=砧，显然为等边三角形，则4441。=60°,

所以向量砧与京的夹角是120。，即向量瓦差与根的夹角是120°,所以C不正确.

因为西=而+再一荏，AC=AB+AD,

所以

忸。1|=^AD+AA1-AB)

=JAD2+踞2+荏2+2AD■词-2标•AB-2AD-AB

=V2,

\AC\=J(AB+AD)=AB2+AD2-21B-AD=V3,

西.正=(而+京-确.(而+而)=1,

所以cos(西，硝=薪禽=熹=今所以D不正确•

故选AB.

【知识点】空间向量的模、夹角与距离求解问题

12.【答案】A：B；D

【解析】如图，建立空间直角坐标系，

4(0,0,0),5(1,0,0),C(l,l,0),D(0,l,0),2(0,0,1),Bj(1,0,1).^(1,1,1),。式0,1,1),E(0,1,0,

则B^C=(0,1,-1),BD1=(-1,1,1)-BD=(-1,1,0),'BA[=(-1,0,1)，

设平面AXBD的法向量为记=(x,y,z),

则1元.西=0，即广久+z=0,

-3前=。，即iT+y=°，

令x=l,贝！|y=l,z=1,所以五=(1,1,1),

则n-^C=0xl+lxl+lx(-1)=0,即S1瓦？，又直线&CC平面&B0,所以直线

BiC〃平面&BD,故A正确.

B^C-BD\=-lxO+lxl+lx(-1)=0,即布_L西，所以BXC1BDX,故B正确.

KTI-BJCE=^BJ-CJCE=gBiJ•SAQCE=-XlX-XlXl=-,故C错误.

BTCBD=-1X0+1X1+0X(-1)=1,||=V2,|BD|=V2,

设异面直线B[C与BD所成角的大小为e,其中则cose=黑黑=；,又。e

\ZJ\o^C\\DD\Z

(0用，所以0=或故D正确.

故选ABD.

【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题

13.【答案】—|或2

【解析】因为a=AB=(1,1,0),b=AC=(-1,0,2),

所以ka+b=(fc-l,fc,2),ka-2b=(fc+2,/c,-4),

又(fca+b)1(fca-2b),

所以(k—1)(卜+2)+卜2-8=0,解得k=-|或k=2.

【知识点】空间向量的数量积运算

14.【答案】|

【解析】因为P,Q分别是四面体04BC的棱。4BC的中点，M是PQ靠近P的三等分点,

所以

OM=OP+PM

=河+^(PA+AB+BQ)

=^OA+^OA+OB-OA+

=^OA+^OA+OB-OA+^(OC-OB)]

=1OA+1OB+1OC.

所以x+y+z=|+i+|=|.

【知识点】空间向量基本定理

15.【答案】苧

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,

则0(0,0,0),4(1,一1,0),8(1,0,0),

C(0,l,0),Ci(0,1,2),F(l,-l,i).

所以的=(0,1,2),DE=(l,-l，I)1=(1,0,0).

设平面EDCi的法向量为n=(x,y,z),

元=%-y+；z=0,

则

•n=y+2z=0,

令z=1,则％=—I，y=-2,

所以n=(-|,-2,l).

所以点8到平面EDC1的距离八嚅=1=4

X

【知识点】点面距离(线面距离、点线距离、面面距离)、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

16.【答案】2

6

【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，

可设BM=a,CN=b,AB=1,则AAr=2AB=2,AC=1,

所以4(0,0,0),B(1,0,0),M(l,0,a),N(0,l,b),

则AM=(1,0,a),AN=(0,1,fe).

设平面AMN的法向量为沅=(久,y,z),

则僚累：则上沈眸z=1，解得MN

所以in=(-a,-b,1),

易知平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1).

因为平面AMN与平面ABC所成(锐)二面角为p

71

所由以853=而I沆•宿而=而1许,

化简可得a2+b2=3,

当BrM最小，即a最大时，b=0,a=V3,

此时tan乙4MB=需=喜=圣又Z.AMBe[o,*

【知识点】二面角、利用向量的坐标运算解决立体几何问题

17.【答案】

(1)2a+b=(2,-6,4)+(-2,1,1)=(0,-5,5),

故\2a+b\=V°2+(-5)2+52=5V2.

(2)存在.设

OE=OA+AE

=0A+tAB

=(-3,—1,4)+t(l,—1,—2)

=(—3+—1—t,4—2t),

若岳JL六则屈i=0,

所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0,

解得t=I，

因此存在点E,使得OElb,此时点E的坐标为

【知识点】空间向量的坐标运算

18.【答案】

(1)因为底面ABCD是平行四边形，

所以AD=BC=1,

又BD=小,AB=2,

所以AD2+BD2=AB2,

所以AD1BD,

因为PDJ.平面ABCD,BDu平面48CD,

所以PD±BD,

又PDu平面PDA,4Du平面PZM,PDCAD=D,

所以BD1平面PD4,

又BDu平面PD8,

所以平面PDA1平面PD8.

(2)以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则D(0,0,0),4(1,0,0),5(0,V3,0),C(-l,V3,0),P(0,0,甸.

因为E是PC的中点，

所以己(-消汽)，

则=(-1AV3),=

设直线AP与BE所成的角为a,

则cosa=|cos(衲碉|=翳翻=缘

【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、异面直线所成的

角

19.【答案】

(1)因为平面PA8JL平面4BCD,平面248C平面4BCD=4B,且矩形ABCD中，AD1.AB,

所以AD1平面尸4B.

又PBu平面R4B,

所以AD1PB,

又PA1PB,ADQPA^A,4。u平面PAD,PAu平面尸4。，

所以PBJL平面PAD.

又PBu平面PBC,

所以平面24。1平面PBC.

(2)由(1)知AD1平面PAB,取AB中点。，连接P0,则POLAB.

以。为原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-孙z,

则P(2,0,0),>1(0,-2,0),8(0,2,0),。(0,-2,2©,M(1,1,V2),

则DA=(0,0,-2V2),DM=(1,3,-V2),DB=(0,4,-272).

设平面AMD的法向量为n=(x,y,z),

则E更=。，即

(n-DM=0,U+3y-V2z=0,

令y=-1,则x=3,z=0,

所以n=(3,-l,0),

同理可得，平面BMD的一个法向量为m=(-1,1,72),

所以cos(范力=繇=急=一手,

所以平面AMD与平面BMD的夹角的余弦值为等.

【知识点】利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角、平面与平面垂直关系的判定

20.【答案】

(1)因为4B1B0,4B_LBC且=

所以4B1平面BCD,

又CDu平面BCD,

所以AB1CD,

又CD1AC且=

所以CD1平面4BC,

又CDu平面4CD,

所以平面ABCJ.平面4CD.

(2)取AC的中点0,连接0B,则BO1.AC.

又平面4BC平面4CD,平面48CC平面4CD=4C,80u平面4BC,

所以BO1平面4CD,

连接0E,贝ljOE//CD,

所以OELAC.

以。为坐标原点，OE,OC,0B的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立如图所示的空

间直角坐标系，

则0(000),B(0,0,g)，E(l,0,0),F(l,V3,0),

所以抽=(0,0,⑸，BE=(1,0,-V3),EF=(0,V3,0),

显然OB是平面AEF的一个法向量.

设平面BEF的法向量为n=(x,y,z),

则[五¥=。，

[n-EF=0,

即-V3z=0,

易知y=o.令z=1,可得X=V3,

所以记=(V3,0,1),

所以cos体㈤=繇=£/

所以二面角B-EF-A的大小为60°.

【知识点】平面与平面垂直关系的判定、利用向量的坐标运算解决立体几何问题、二面角

21.【答案】

(1)因为平面ABC。1平面PCO,平面ABC。n平面PC。=CD,AD1DC,ADu平面力8C。,

所以AD1平面PCD.

(2)以D为原点，DA,DC所在直线分别为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则P(0,-l,V3),C(0,2,0),4(2,0,0),5(2,1,0),

PF=(2,2,-V3),BC=(-2,1,0),

PA=(2,1,-V3),PC=(0,3,-V3),PD=(0,1,-V3).

设更=九则而*=ABC,1e(0,1),

而=而+前=而+ABC=(2-22,2+A,-V3),

设平面PAC的法向量为沅=

令Zi=V3,则yi=1,=1,

所以m=(l,l,V3),

设平面PDF的法向量为元=(%2，y2，Z2)，

则gg•元=0,即(y2-