2025版高考数学一轮总复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3讲随机事件的概率古典概型提能训练

第3讲随机事件的概率古典概型A组基础巩固一、单选题1．(2022·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(D)A．“至少有一个黑球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是红球”C．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”D．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”[解析]A中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；B中的两个事件是对立事件；C中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；D中的两个事件是互斥而不对立的关系．2．(2024·陕西宝鸡金台区质检)甲乙两人在一座7层大楼的第一层进入电梯，假设每人从第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则甲乙两人离开电梯的楼层数的和是6的概率是(C)A.eq\f(1,6) B．eq\f(1,9)C．eq\f(1,12) D．eq\f(7,36)[解析]将甲乙两人离开电梯的楼层数配对，组成6×6＝36种等可能的结果，记事件A＝“甲乙两人离开电梯的楼层数的和是6”，则事件A的可能结果有3种，即A＝{(2,4)，(4,2)，(3,3)}，所以事件A的概率为：P(A)＝eq\f(3,36)＝eq\f(1,12)，故选C.3．(2024·辽宁部分学校摸底)某商家为了吸引顾客，促销商品，推出消费满额砸金蛋的活动．某顾客共获得2次砸金蛋的机会，若该顾客砸金蛋时还剩9个金蛋，其中只有3个金蛋有奖券，则该顾客砸出奖券的概率为(D)A.eq\f(2,3) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)[解析]所求概率为1－eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,9))＝eq\f(7,12)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或P＝\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,6)＋C\o\al(2,3),C\o\al(2,9))＝\f(7,12))).故选D.4．(2024·湖南长沙名校质检)某校4名同学参加数学和物理两项竞赛，每项竞赛至少有1名同学参加，每名同学限报其中一项，则两项竞赛参加人数不相等的概率为(D)A.eq\f(3,8) B．eq\f(3,7)C．eq\f(5,8) D．eq\f(4,7)[解析]记“两项竞赛参加人数不相等”为事件A，则P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(2,2),24－2)＝eq\f(4,7).故选D.5．(2024·云南楚雄州质检)口袋中有5个白球，3个红球和2个黄球，小球除颜色不同，大小形状均完全相同，现从中随机摸出2个小球，摸出的2个小球恰好颜色相同的概率为(A)A.eq\f(14,45) B．eq\f(2,3)C．eq\f(2,9) D．eq\f(1,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(2,5)＋C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,10))＝eq\f(14,45).故选A.6．(2023·广东惠州调研)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．下图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”，其中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”，正方形ABCD外部四个阴影部分的三角形称为“风叶”．现从该“数学风车”的8个顶点中任取2个顶点，则2个顶点取自同一片“风叶”的概率为(A)A.eq\f(3,7) B．eq\f(4,7)C．eq\f(3,14) D．eq\f(11,14)[解析]从“数学风车”的八个顶点中任取两个顶点的基本事件有Ceq\o\al(2,8)＝28种，其中这两个顶点取自同一片“风叶”的基本事件有4Ceq\o\al(2,3)＝12种，故所求概率P＝eq\f(12,28)＝eq\f(3,7).故选A.7．(2023·河北保定模拟)三位同学参加某项体育测试，每人要从100m跑、引体向上、跳远、铅球四个项目中选出两个项目参加测试，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(C)A.eq\f(1,12) B．eq\f(1,3)C．eq\f(5,12) D．eq\f(7,12)[解析]三个同学选择两个项目的试验的基本事件数有(Ceq\o\al(2,4))3个，它们等可能，有且仅有两人选择的项目完全相同的事件A含有的基本事件数有Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(2,4)(Ceq\o\al(2,4)－1)个，所以有且仅有两人选择的项目完全相同的概率P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,4)C\o\al(2,4)－1,C\o\al(2,4)3)＝eq\f(5,12).故选C.8．(2022·湖北武汉质检)从3双不同的鞋子中随机任取3只，则这3只鞋子中有两只可以配成一双的概率是(C)A.eq\f(2,5) B．eq\f(1,2)C．eq\f(3,5) D．eq\f(2,3)[解析]所求概率P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(3,6))＝eq\f(3,5).故选C.二、多选题9．(2024·湖北部分学校期中联考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AB，A1D1的中点．取点B1，C，E，F，若一条直线过其中两点，另一条直线过另外两点，则(ABD)A．两条直线为异面直线是必然事件B．两条直线互相垂直的概率为eq\f(1,3)C．两条直线互相平行与互相垂直是对立事件D．两条直线都与直线AC1垂直是不可能事件[解析]因为点B1，C，E，F不共面，所以两条直线为异面直线，故A正确；过四点的两条直线共有3种情况，其中仅当一条直线过B1，F，另一条直线过C，E时，这两条直线相互垂直，故相互垂直的概率为eq\f(1,3)，故B正确；两条直线互相平行的概率为0，而两条直线互相垂直的概率小于1，故两条直线互相平行与互相垂直不是对立事件，C错误；B1C，B1E，B1F中，只有B1C与AC1垂直，且当B1C⊥AC1时，EF与AC1不垂直，故D正确．10．将4男、4女共8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组，则下列说法正确的是(AB)A．4位女同学分到同一组的概率为eq\f(1,35)B．男生甲和女生乙分到甲组的概率为eq\f(3,14)C．有且只有3位女同学分到同一组的概率为eq\f(32,35)D．4位男同学不同时分到甲组的概率为eq\f(34,35)[解析]8位同学随机地分成人数相等的甲、乙两组的不同分法为Ceq\o\al(4,8)·Ceq\o\al(4,4)＝70，A选项，4位女同学分到同一组的不同分法只有2种，其概率为eq\f(2,70)＝eq\f(1,35)，对；B选项，男生甲和女生乙分到甲组的不同分法为Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(4,4)＝15，其概率为eq\f(15,70)＝eq\f(3,14)，对；C选项，有且只有3位女同学分到同一组Ceq\o\al(3,4)·Ceq\o\al(1,4)·2＝32种，则有且只有3位女同学分到同一组的概率为eq\f(32,70)＝eq\f(16,35)，错；D选项，4位男同学同时分到甲组只有1种，其概率为eq\f(1,70)，则4位男同学不同时分到甲组的概率为1－eq\f(1,70)＝eq\f(69,70)，错，故选AB.11．高中某学校对一次高三联考物理成绩进行统计分析，随机抽取100名学生成绩得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，同时计划从样本中随机抽取个体进行随访，若从样本随机抽取个体互不影响，把频率视为概率，则下列结论正确的是(AB)A．学生成绩众数估计为75分B．考生成绩的第75百分位成绩估计为80分C．在[90,100]内随机抽取一名学生访谈，则甲被抽取的概率为0.01D．从[40,50)和[90,100]内各抽1名学生，[70,80)抽2名学生调研，又从他们中任取2人进行评估测试，则这2人来自不同组的概率为0.13[解析]由频率分布直方图得，成绩在[70,80)的频率最高，所以估计成绩的众数为75分，故A正确；因为0.010×10＋0.015×10＋0.020×10＋0.030×10＝0.75，所以估计第75百分位成绩为80分，故B正确；因为成绩在[90,100]内的人数为100×0.010×10＝10，所以随机抽取一名学生访谈，甲被抽取的概率为0.1，故C错误；由P＝eq\f(2C\o\al(1,2)＋1,C\o\al(2,4))＝eq\f(5,6)知，D错误．故选AB.12．(2024·辽宁鞍山质检)甲盒中有3个白球，2个黑球，乙盒中有2个白球，3个黑球，则下列说法中正确的是(BCD)A．若从甲盒中一次性取出2个球，记X表示取出白球的个数，则P(X＝1)＝eq\f(3,10)B．若从甲盒和乙盒中各取1个球，则恰好取出1个白球的概率为eq\f(13,25)C．若从甲盒中连续抽取3次，每次取1个球，每次抽取后都放回则恰好得到2个白球的概率为eq\f(54,125)D．若从甲盒中取出1球放入乙盒中，再从乙盒中取出1球，记B：从乙盒中取出的1球为白球，则P(B)＝eq\f(13,30)[解析]P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,3)·C\o\al(1,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,5)，A错；从甲、乙盒中各取一球恰好取出一个白球的概率为P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(13,25)，B正确；P＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,5)C\o\al(1,5))＝eq\f(54,125)，C正确；P(B)＝eq\f(C\o\al(1,3)C\o\al(1,3)＋C\o\al(1,2)C\o\al(1,2),C\o\al(1,5)C\o\al(1,6))＝eq\f(13,30)，D正确．故选BCD.三、填空题13．(2022·全国甲卷)从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率为eq\f(6,35).[解析]从正方体的8个顶点中任取4个，有n＝Ceq\o\al(4,8)＝70个结果，这4个点在同一个平面的有m＝6＋6＝12个，故所求概率P＝eq\f(m,n)＝eq\f(12,70)＝eq\f(6,35).14．(2024·陕西汉中联考)根据历史记载，早在春秋战国时期，我国劳动人民就普遍使用算筹进行计数．算筹计数法就是用一根根同样长短和粗细的小棍子以不同的排列方式来表示数字，如图所示．如果用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，则个位和十位上的算筹不一样多的概率为eq\f(64,81).纵式：横式：[解析]用算筹随机摆出一个不含数字0的两位数，个位用纵式，十位用横式，共可以摆出9×9＝81个两位数，其中个位和十位上的算筹都为1的有1×1＝1种；个位和十位上的算筹分别都为2或3或4或5的各有2×2＝4种；共有4＋4＋4＋4＋1＝17种；所以，个位和十位上算筹不一样多的概率为P＝eq\f(81－17,81)＝eq\f(64,81).15．(2024·广东湛江摸底)某学校准备举办一场运动会，其中运动会开幕式安排了3个歌舞类和3个语言类节目，所有节目依次出场，则恰有两个语言类节目相邻的概率为eq\f(3,5).[解析]节目出场顺序总数为Aeq\o\al(6,6)，两个语言类节目相邻的安排数：Aeq\o\al(3,3)Aeq\o\al(2,3)Aeq\o\al(2,4).所以恰有两个语言类节目相邻的概率为P＝eq\f(A\o\al(3,3)A\o\al(2,3)A\o\al(2,4),A\o\al(6,6))＝eq\f(3,5).B组能力提升1．(2024·云南大理统测)云南省大理州于2023年5月4日至10日成功举办了三月街民族节活动．在活动期间，有6名志愿者报名参加了三月街民族节志愿服务活动，活动结束后6名志愿者排成一排合影，则甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为eq\f(1,5).[解析]6名志愿者排成一排合影共有Aeq\o\al(6,6)种排法，而乙、丙志愿者相邻，甲志愿者不在两边的排法有：Ceq\o\al(1,3)·Aeq\o\al(4,4)·Aeq\o\al(2,2)种排法，故甲志愿者不在两边，乙、丙志愿者相邻的概率为eq\f(C\o\al(1,3)·A\o\al(4,4)·A\o\al(2,2),A\o\al(6,6))＝eq\f(1,5).2．(2024·四川成都名校联考)2025年四川省新高考将实行3＋1＋2模式，即语文、数学、英语必选，物理、历史二选一，政治、地理、化学、生物四选二，共有12种选课模式．假若今年高一的小明与小芳都对所选课程没有偏好，则他们所选六科中恰有四科相同的概率是(B)A.eq\f(1,36) B．eq\f(5,12)C．eq\f(1,3) D．eq\f(1,12)[解析]两人所选六科的情况共有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝144种情况，由于语文、数学、英语必选，故所选六科中恰有四科相同的情况，包含以下情况，第一，物理、历史有一科相同，政治、地理、化学、生物不相同，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(2,4)＝12种情况．第二，物理、历史不相同，政治、地理、化学、生物有一科相同，有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,4)Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)＝48种情况，所以所求概率P＝eq\f(12＋48,144)＝eq\f(5,12).故选B.3．(2023·福建漳州质检)漳州某校为加强校园安全管理，欲安排12名教师志愿者(含甲、乙、丙三名教师志愿者)在南门、北门、西门三个校门加强值班，每个校门随机安排4名，则甲、乙、丙安排在同一个校门值班的概率为(D)A.eq\f(1,312) B．eq\f(1,311)C．eq\f(1,55) D．eq\f(3,55)[解析]将12个人平均分为3组，有eq\f(C\o\al(4,12)·C\o\al(4,8)·C\o\al(4,4),A\o\al(3,3))·Aeq\o\al(3,3)＝Ceq\o\al(4,12)·Ceq\o\al(4,8)种方法，将甲乙丙分在同一组有eq\f(C\o\al(1,9)·C\o\al(4,8)·C\o\al(4,4),A\o\al(2,2))·Aeq\o\al(3,3)＝3Ceq\o\al(1,9)·Ceq\o\al(4,8)种方法，所以甲乙丙在同一校门的概率P＝eq\f(3C\o\al(4,8)·C\o\al(1,9),C\o\al(4,12)·C\o\al(4,8))＝eq\f(3,55)；故选D.4．(2024·江苏南通如皋诊断)15个人围坐在圆桌旁，从中任取4人，他们两两互不相邻的概率是(A)A.eq\f(30,91) B．eq\f(25,91)C．eq\f(15,91) D．eq\f(10,91)[解析]15个人围坐在圆桌旁从中任取4人，他们两两互不相邻，则可先把11个人入坐好，再让其余4人插空，共有eq\f(A\o\al(11,11),11)·Aeq\o\al(4,11)种不同的围坐方法，所以所求概率是eq\f(\f(A\o\al(11,11),11)·A\o\al(4,11),\f(A\o\al(15,15),15))＝eq\f(30,91)，故选A.5．(2024·江苏苏州中学期初考试)树人学校为推动学校的大课间运动，开始在部分班级中使用一套新的大课间运动体操(记为A类体