（人教A版2019必修第一册）高一数学《考点题型 技巧》精讲与精练高分突破 3.2.2 奇偶性【附答案解析】

高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破系列(人教A版2019必修第一册)3.2.2奇偶性【考点梳理】重难点：奇偶性的概念考点一：函数奇偶性的几何特征一般地，图象关于y轴对称的函数称为偶函数，图象关于原点对称的函数称为奇函数．知识点二函数奇偶性的定义1．偶函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．2．奇函数：函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．知识点三奇(偶)函数的定义域特征奇(偶)函数的定义域关于原点对称．重难点：奇偶性的应用考点四：用奇偶性求解析式如果已知函数的奇偶性和一个区间[a，b]上的解析式，想求关于原点的对称区间[－b，－a]上的解析式，其解决思路为：(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设．(2)要利用已知区间的解析式进行代入．(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(x)或f(－x)，从而解出f(x)．考点五：奇偶性与单调性若函数f(x)为奇函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相同的单调性；若函数f(x)为偶函数，则f(x)在关于原点对称的两个区间[a，b]和[－b，－a]上具有相反的单调性．【题型归纳】题型一：函数奇偶函数的判断1．（2023·全国高一课时练习）下列函数为偶函数的是（）A． B． C． D．2．（2023·全国高一专题练习）下列函数中为偶函数且在区间上是增函数的是（）A． B． C． D．3．（2020·贵州遵义市·蟠龙高中高一月考）函数在上为奇函数，当时，，则当，（）A． B． C． D．题型二：利用奇偶性求函数的解析式4．（2023·云南高一期末）已知奇函数y=f（x）在x≤0时的表达式为f（x）=+3x，则x>0时f（x）的表达式为（）A．f（x）=+3x B．f（x）=-+3xC．f(x)=-3x D．f（x）=--3x5．（2023·全国高一课时练习）已知是上的奇函数，是上的偶函数，且，则（）A．5 B．6 C．8 D．106．（2023·全国高一专题练习）已知f（x＋y）＝f（x）＋f（y）对任意实数x，y都成立，则函数f（x）是（）A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数，也是偶函数D．既不是奇函数，也不是偶函数题型三：抽象函数的奇偶性问题7．（2023·全国高一专题练习）设函数的定义域为R，对任意，有且，则函数是（）A．奇函数 B．偶函数C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数8．（2023·浙江）若是奇函数，且在区间上是增函数，，则的解集是（）A． B．C． D．9．（2019·广东汕头市·高一期末）设函数在区间上为偶函数，则的值为（）A．-1 B．1 C．2 D．3题型四：利用奇偶性求参数10．（2023·浙江高一单元测试）若函数为奇函数，则=（）A． B． C． D．111．（2023·天津滨海新区·高一期末）已知函数是定义在区间上的偶函数，且在区间上单调递增，则不等式的解集为（）A． B． C． D．12．（2023·安徽省亳州市第一中学高一月考）在R上定义的函数是偶函数，且．若在区间上是减函数，则（）A．在区间上是增函数，在区间上是减函数B．在区间上是增函数，在区间上是增函数C．在区间上是减函数，在区间上是增函数D．在区间上是减函数，在区间上是减函数题型五：奇偶性函数的对称性的应用13．（2023·全国高一专题练习）下列图象表示的函数中具有奇偶性的是（）A．B．C．D．14．（2023·全国高一单元测试）设函数的定义域为．且为偶函数，为奇函数，则（）A． B． C． D．15．（2020·桂林市临桂区五通中学高一月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（）A． B． C． D．题型六:利用函数的奇偶性与单调性解不等式16．（2020·福建泉州市·泉州五中高一期中）已知函数.（1）若为奇函数，求的值；（2）证明：无论为何值，在上为增函数；（3）解不等式：.17．（2020·桂林市临桂区五通中学高一期中）奇函数是定义在区间上的增函数，且．（1）求解析式；（2）求不等式的解集．18．（2023·全国）已知函数是定义在上的奇函数，且.（1）求实数和的值；（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.【双基达标】一、单选题19．（2020·桂林市临桂区五通中学高一月考）设为定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的大小顺序是（）A． B．C． D．20．（2023·嘉峪关市第一中学高二期中（文））已知是定义在上的偶函数，并满足：，当，，则（）A． B．C． D．21．（2023·云南省玉溪第一中学高二月考（理））已知是偶函数，对任意，，且，都有，且，则的解集是（）A． B．C． D．22．（2023·福建泉州市·高二期末）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（）A．2 B．-2 C．3 D．-323．（2022·北京海淀区·中关村中学高二开学考试）已知函数的图象关于对称，且在上单调递增，设，，，则、、的大小关系为（）A． B． C． D．24．（2023·鹤庆县第一中学高一期末）定义在上的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则函数（）.A．在区间上是增函数，在区间是减函数B．在区间上是增函数，在区间是增函数C．在区间上是减函数，在区间是减函数D．在区间上是减函数，在区间是增函数25．（2023·江西南昌市·高三开学考试（文））已知是定义在R上的奇函数，且对任意的都有，当时，，则（）A．0 B． C． D．226．（2022·全国高三专题练习）已知f（x）=ax2+bx是定义在[a-1，2a]上的偶函数，那么a+b的值是（）A． B． C． D．27．（2023·全国高一专题练习）设定义在R上的奇函数满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．28．（2023·重庆北碚区·西南大学附中高一月考）已知定义在R上的函数满足，，当时，，则（）A．1 B． C． D．2【高分突破】一：单选题29．（2023·安徽高一月考）若定义在的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（）A． B．C． D．30．（2020·江苏南京市·）已知，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，，则等于（）A．4 B．3 C．2 D．131．（2020·如皋市第一中学高一月考）定义在上的奇函数在定义域上是单调函数，且，若，则实数的取值范围为（）A． B． C． D．32．（2019·长沙市南雅中学高一月考）下列判断正确的是（）A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数33．（2020·威远中学校高一月考）已知f（x）是定义域为R的奇函数，且，当时，，则的大小关系是（）A． B．C． D．34．（2020·石家庄市第十七中学高一月考）某函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A． B． C． D．35．（2020·重庆市松树桥中学校高一月考）已知函数的定义域为是偶函数，，在上单调递减，则不等式的解集为（）A． B．C． D．36．（2020·张家港高级中学）设定义在R上的奇函数满足对任意，，且，都有，且，则不等式的解集为（）A． B．C． D．二、多选题37．（2020·重庆市清华中学校高一月考）下列对函数的奇偶性判断正确的是（）A．是奇函数B．是奇函数C．既不是奇函数也不是偶函数D．既是奇函数又是偶函数38．（2020·淮北市树人高级中学高一月考）符号表示不超过的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2，定义函数:，则下列命题正确的是（）A． B．当时，C．函数的定义域为，值域为[0，1] D．函数是增函数､奇函数39．（2020·河北承德第一中学高一月考）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（）A．B．若在上有最小值，则在上有最大值1C．若在上为增函数，则在上为减函数D．若时，，则时，40．（2020·浙江杭州高级中学高一月考）已知函数的定义域都是R，且是奇函数，是偶函数，则（）A．是奇函数 B．是奇函数C．是偶函数 D．是偶函数41．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，，当时，有，则称函数为“理想函数”.给出下列四个函数是“理想函数”的是（）A． B．C． D．三、填空题42．（2023·河北邢台市·高一月考）写出一个值域为的偶函数________．43．（2023·黑龙江大庆市·大庆中学）若是偶函数，当时，，则的解集是________．44．（2023·湖南）定义在上的奇函数满足，当时，，则___________.45．（2020·成都市温江区东辰外国语学校高一月考）设函数，给出四个命题：①是偶函数； ②是实数集上的增函数；③，函数的图象关于原点对称； ④方程有两个解.上述命题中，正确命题的序号是_______.（把所有正确命题的序号都填上）四、解答题46．（2019·广西百色市·田阳高中高一月考）已知是定义在上的奇函数，且当时，.（1）求函数在上的解析式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.47．（2020·嫩江市高级中学高一月考）已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=-x2+ax.（1）若a=-2，求函数f(x)的解析式；（2）若函数f(x)为R上的单调减函数，①求a的取值范围;②若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)<0恒成立，求实数t的取值范围.48．（2019·长沙市明德中学高一月考）已知定义在上的函数满足：①对任意，，有.②当时，且.（1）求证：；（2）判断函数的奇偶性；（3）解不等式.49．（2019·吴江汾湖高级中学）已知函数.（1）若函数是偶函数，求的值；（2）若函数在上，恒成立，求的取值范围.50．（2020·重庆北碚·西南大学附中高一月考）已知函数是定义域上的奇函数.（1）确定的解析式；（2）用定义证明：在区间上是减函数；（3）解不等式.【答案详解】1．D]【详解】A.函数是非奇非偶函数，BC都是奇函数，D.满足，定义域是，是偶函数.故选:D.2．B【详解】对于A，定义域为，，是偶函数，而在上递减，A不符合；对于B，定义域为，，是偶函数，在上递增，B符合；对于C，定义域为，不是偶函数，C不符合；对于D，定义域为，，是奇函数，D不符合.故选：B3．A【详解】因为，所以，所以，又因为为奇函数，所以，所以，故选：A.4．B【详解】设，则，所以，因为函数为奇函数，所以，即，所以.故选：B5．D【详解】因为，所以.又是奇函数，是偶函数，所以，则，故.故选：D6．A【详解】令x＝y＝0，所以f（0）＝f（0）＋f（0），所以f（0）＝0.又因为f（x－x）＝f（x）＋f（－x）＝0，所以f（－x）＝－f（x），所以f（x）是奇函数.故选：A7．B【详解】对任意，有令，得，令，得，即令，得，即函数为偶函数.故选：B8．A由题意，是奇函数，所以等价于，当时，，此时在上是增函数，且，所以解得；当时，，因为是奇函数，所以解得，所以的解集为.故选：A9．B【详解】因为函数在区间上为偶函数，所以，解得.又为偶函数，所以，即，解得：a=-1.所以.故选：B10．A【详解】∵为奇函数，∴，得．

故选：A.11．B因为函数是定义在区间上的偶函数，所以，解得，可化为，因为在区间上单调递增，所以，解得.故选：B12．A【详解】由可得，所以的对称轴为，因为函数是偶函数，所以，由可得：，所以，所以是周期为的周期函数，若在区间上是减函数，根据对称性可知在上是增函数，根据周期为可知：在区间上是增函数，在区间上是减函数，故选：A.13．B【详解】选项A中的图象关于原点或y轴均不对称，故排除；选项C、D中的图象所示的函数的定义域不关于原点对称，不具有奇偶性，故排除；选项B中的图象关于y轴对称，其表示的函数是偶函数.故选：B14．D【详解】因为为偶函数，所以的对称轴为，将图象向右平移1个单位可得的图象，所以对称轴为，因为为奇函数，令为奇函数，则，令可得，因为对称轴为，所以根据题中条件无法判断选项A、B和C是否正确，故选：D.15．A【详解】由题意，当时，，可得，函数是定义在上的奇函数，可得.故选：A.16．（1）因为为上奇函数，所以，即，解得，此时，检验满足，所以（2）.任取，则因为，所以，，，故.因此，在上为增函数.（3）令，由（1）（2）知，为上增函数，奇函数不等式，可化为，即.因为为上奇函数，所以，所以，又因为为上增函数，所以，解得所以不等式的解集为17．（1）；（2）.（1）∵函数是定义在上的奇函数，∴，即，∵，∴，解得，∴.经验证知，是定义在上的奇函数，所以.（2）∵函数在上为奇函数，且，∴，又∵函数是定义在上的增函数，∴，解得.故不等式的解集为.18．【详解】（1）因为，函数是定义在上的奇函数，所以得，又因为，所以，（2）由（1）可知，设所以=因为，所以，所以，，即，所以，函数在上是增函数（3）由（2）可知函数在上是增函数，且是奇函数要使“对上，都有成立”即则不等式组对恒成立，所以对恒成立，所以因为，所以，，所以，，所以，所以，所以实数的取值范围是.19．A【详解】因为为偶函数，所以．又在上为增函数，所以，所以．故选：A20．D【详解】由已知条件可得.故选：D.21．A【详解】因为是偶函数，所以的图像关于x=1对称，而，则，又因为任意，，且，都有，所以在单调递减，结合函数图像的对称性可知函数在单调递增.所以的解集是.故选：A.22．A【详解】因为为奇函数，所以①，将①中的替换为得②，因为为偶函数，所以③，由②③得，则，所以是以4为周期的函数.由④得，，则，所以..故选：A.23．B【详解】因为函数的图象关于对称，则，因为函数在上单调递增，且，所以，，即.故选：B.24．B【详解】，关于直线对称，在区间上是减函数，在区间上是增函数，又是偶函数，，，是周期为2的函数，在区间也是增函数.故选：B25．C【详解】因为是定义在R上的奇函数，且时，，所以，，又对任意的都有，所以，所以函数图象关于对称，所以，解得，所以，故选：C26．B【详解】由于是偶函数，所以，且.故选：B27．C【详解】因为为奇函数，所以，所以，因为对任意，且，都有，所以在单调递减，因此在单调递减，且，所以，故或，故或，故选：C．28．B【详解】由题意，函数满足，可得关于直线对称，又由，可得关于点对称，所以函数是周期为4的函数，因为当时，，则.故选：B.29．D【详解】根据题意，画出函数示意图：当时，，即；当时，，即；当时，显然成立，综上.故选：D30．B【详解】解：因为，分别是定义在上的奇函数和偶函数，所以又因为，，所以，所以故选：B31．C【详解】由在上为奇函数知，且，∴，∵在上是单调函数，∴为单调减函数，即，可得.故选：C32．C【详解】A，，函数的定义域为，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，错误；B，，函数的定义域为，不关于原点对称，故函数为非奇非偶函数，错误；C，定义域为，且，，故函数为非奇非偶函数，正确；D，函数图象关于轴对称，是偶函数，不是奇函数，错误.故选：C33．C【详解】由于是上的奇函数，且，所以，所以是周期为的周期函数.当时，....所以.故选：C.34．B【详解】函数在单调递减，且为奇函数，，，，故选：B.35．D【详解】因为是偶函数，所以函数的图象关于直线对称，则.因为在上单调递减，所以在上单调递增，故等价于，解得.故选：D36．C【详解】因为为奇函数，所以，所以，因为对任意，，且，都有，所以在单调递减，因此在单调递减，且，所以，故或，故或，故选：C.37．AD【详解】对A，，，故函数为奇函数，A正确；对B，因为，故函数不是奇函数，B不正确；对C，由知，，即，所以，又，所以函数为奇函数，C不正确；对D，由知，解得，所以，故既是奇函数又是偶函数，故D正确.故选：AD38．AB【详解】对于A项，，则A正确；对于B项，当时，，得出，则B正确；对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，所以，则C错误；对于D项，，，函数既不是增函数也不是奇函数，则D错误；故选：AB39．ABD【详解】由得，故正确；当时，，且存在使得，则时，，，且当有,∴在上有最大值为1，故正确；若在上为增函数，而奇函数在对称区间上具有相同的单调性，则在上为增函数，故错误；若时，，则时，，，故正确．故选：．40．AD【详解】对于A，，，即是奇函数，故A正确；对于B，，，即是偶函数，故B错误；对于C，，，即是奇函数，故C错误；对于D，，，即是偶函数，故D正确；故选：AD41．BD【详解】对于（1）对于定义域内的任意，有，则函数是奇函数对于（2），不妨设，由题意可得，则函数定义域内单调递减对于A，由知函数为偶函数，故A错误；对于B，，则函数是奇函数，由幂函数的性质可知，函数定义域内单调递减，故B正确；对于C，由知函数为定义域上的奇函数，但不满足定义域上单调递减，故C错误；对于D，，则函数是奇函数，由幂函数的性质可知，函数定义域内单调递减，故D正确；故选：BD42．－x2＋4（答案不唯一）【详解】只要满足，且