06 含指数式的极值点偏移问题-高中数学人教A版（2019）选择性必修第二册极值点偏移专题

专题06含指数式的极值点偏移问题近几年全国各地模拟试题､高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型：在给定区间内研究两函数之间的不等关系．要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量之后构造新的函数，通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关系．这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究．★（2016年新课标I卷理数压轴21题）1.已知函数有两个零点．证明：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由参变分离得，，求导，得在递减，在递增，由，得.设，，进而设，，求导判断，从而得，令，代入上式即可证得.【详解】由函数有两个零点，得，不难发现，，故可整理得：，设，则，求导得，当时，，单调递减；当时，，单调递增．设，构造代数式：，设，，则，故单调递增，有．因此，对于任意的，．由可知､不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有，令，则有，而在上单调递增，因此：，整理得：．【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）证明不等式成立的常用方法：（1）构造部分对称函数；（2）参变分离再构造差量函数；（3）参变分离再构造对称函数；（4）构造加强函数；（5）利用“对数平均”不等式.★（2010天津理）2.已知函数，如果，且．证明：．【答案】证明见解析.【解析】【分析】利用导数，求得函数的单调性，由，化简得，令，整理得，进而得到，转化为证明：，构造函数，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解.【详解】由题意，函数，可得，当时，；当时，，可得函数在上单调递增，在上单调递减，因为，得，化简得…①，不妨设，可得，令，则，代入①式，可得，解得，则，故要证，即证，又因为，等价于证明：…②，构造函数，则，故在上单调递增，，从而也在上单调递增，，即证②式成立，也即原不等式成立．【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于此类问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性与最值，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．3.设函数，其图象与轴交于两点，且．证明：（为函数的导函数）．【答案】证明见解析.【解析】【分析】由题意，，两式相减，得到，记，将转化为，再由导数求出其单调性，从而得到，再由是单调增函数，得到.【详解】因为两式相减得.记，则，设，则，所以是单调减函数，则有，而，所以.又是单调增函数，且；所以.【点睛】方法点睛：利用导数研究函数的单调性、极值、最值，零点存在定理，关键是换元法构造新函数，涉及知识点较多，题目较综合，属于难题.招式演练：4.已知函数.（Ⅰ）若，求曲线在处的切线方程；（Ⅱ）若，为函数的两个极值点，求的取值范围并证明.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；证明见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）将代入方程，求导可得，利用导数的几何意义，求得切线的斜率，再求得的值，代入直线方程，即可得答案；（Ⅱ）依题意，，是方程的两个实数根，设，求导，判断的单调性，结合的图像与性质，即可求得a的范围；根据，可解得，利用作差法比较与a的大小关系，即可得证.【详解】（Ⅰ）依题意，，，故，而，故所求切线方程为，即.（Ⅱ）依题意，，是方程的两个实数根，不妨设，设，则，则单调递增，由得，由得，故函数在上单调递减，在上单调递增，因为当时，，当时，，所以要使方程有两个实数根，只需，所以.由得，故，要证，则证明即可.，设，则，所以，设，则，当时，易知，所以，所以函数在上单调递减，故，从而可得，故原不等式成立.【点睛】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的性质，考查数学运算、逻辑推理，数学抽象的核心素养，综合较强，计算难度偏大，属难题.5.已知f（x）＝me2x﹣2x（x+1）ex，其中e为自然对数的底数，且函数f（x）恰有两个极值点x1，x2.（1）求实数m的取值范围；（2）求证：3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）求得导数，构造函数，将问题转化为值域的求解，利用导数处理即可；（2）构造函数，据此求得的范围，借助基本不等式求得的范围，即可证明.【详解】（1），函数f（x）恰有两个极值点x1，x2，则有两个变号零点，当时，，其，故此时有两个变号零点，满足题意；当时，，令，故可得，故当或时，，单调递减，当时，，单调递增.且当时，恒成立，当趋近于正无穷时，趋近于0，又趋近于负无穷时，趋近于正无穷；且，故当时，只有一个极值点，不满足题意；当时，有三个极值点，不满足题意；当时，有两个极值点，满足题意；当时，没有极值点，不满足题意.综上所述，（2）令，则，不妨设，由（1）可得：，令，则，故在单调递减.故当时，，即.令，则，又，故，又因为，且在单调递减，故，即.故，由（1）知，则故，即.综上可得：，.故3＜x1x2﹣（x1+x2）＜8即证.【点睛】本题考查利用导数由函数极值点个数求参数范围，以及用导数研究双变量问题，涉及极值点偏离思路的应用，属综合困难题.6.已知函数.（1）若曲线在处的切线与直线平行，求的单调区间；（2）当时，若，且，证明：.【答案】（1）的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由题意先求出的值，再利用导函数分析函数的单调性，即可得出结论；（2）先代入数值求导，构造函数，求导得出的单调性，整理已知条件，再次构造函数，求导分析函数的单调性，利用单调性整理即可得出结论.【详解】（1），，则，，令，得或；令，得；所以的单调递增区间为；单调递减区间为；（2）证明：，，令，则，所以在上为增函数；，，与同号，不妨设，设，则，，，，在上为增函数，，，，又在上为增函数，，即.【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的单调区间以及构造函数证明不等式问题.考查了学生分析问题和解决问题的能力，做题时要注意对条件的利用.属于较难题.7.已知函数.（1）判断函数的单调性；（2）若方程有两个不同的根，求实数a的取值范围；（3）如果，且，求证：.【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）由（1）可求出函数的值域，再根据数形结合，即可求出的范围；（3）构造函数，利用导数可证函数在上单调递增，可证对恒成立，由，则，利用函数单调性，可证，再根据函数单调性，即可证明．【详解】解：（1）因为，所以，.可得函数在上单调递增，在上单调递减.（2）由（1）可知函数在处取得最大值，，所以函数的图象大致如下：.易知函数的值域为.因为方程有两个不同的根，所以，即，，解得.即实数a的取值范围为（3）证明：由，，不妨设，构造函数，，则，所以在上单调递增，，也即对恒成立.由，则，所以，即，又因为，，且在上单调递减，所以，即.【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，是一道综合题．8.已知函数，.（1）若函数是上的增函数求的取值范围；（2）若函数恰有两个不等的极值点、，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）问题转化为对恒成立.求导后分离参数得到，设，利用导数研究单调性，求得最小值，根据不等式恒成立的意义得到所求范围；（2）由，为两个极值点不妨设，联立极值点的条件，并结合要证不等式，消去a,将要证不等式转化为只含有，的不等式，适当变形转化为只含有的不等式，作换元，转化为关于t的不等式，构造函数，利用导数研究单调性，进而证明即可.【详解】解：（1），在上增函数等价于对恒成立.即，设，，0－0+极小值，故（2）由，由，为两个极值点不妨设则两式相减得要证明：等价于证明即两边同除等价于证明：，设即，设由（1）可知：当时，恒成立，成立，即，∴∴在单调递减∴故成立.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，涉及不等式恒成立中的参数范围，考查利用导数研究函数的极值点，以及关于极值点的不等式的证明问题，涉及消参思想和换元思想，构造函数，并利用导数研究函数的最值解决不等式相关问题，是典型题.9.已知函数(其中e是自然对数的底数，k∈R)．(1)讨论函数的单调性；(2)当函数有两个零点时，证明：．【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】【详解】试题分析：本题考查导数与函数单调性的关系以及用导数证明不等式的问题．（1）求导数后，根据导函数的符号判断出函数的单调性．（2）根据题意将证明的问题转化为证明，即证，构造函数，利用函数的单调性证明即可．试题解析：（1）解：∵∴．①当时，令，解得，∴当时，，单调递减；当时，，单调递增．②当时，恒成立，∴函数在R上单调递增.综上，当时，在上单调递减，在上单调递增．当时，在R上单调递增.（2）证明：当时，由（1）知函数单调递增，不存在两个零点．所以．设函数的两个零点为，则，设，解得，所以，要证，只需证，设设单调递增，所以，所以在区间上单调递增，所以，故．10.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若存在两个极值点，，，证明：．【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）先求导，再对分和两种情况即得函数的单调性；（2）分析得到所以，，再化简得到，构造函数，得到，不等式即得证.【详解】（1）．因为.当时，，此时在上单调递减；当时，由解得或，∵是增函数，∴此时在和单调递减，在单调递增．（2）由（1）知，∴，所以，所以，∵，∴，，令，∴，∴在上是减函数，，∴，即．所以原不等式得证.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11.已知函数．（1）判断函数的单调性；（2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围；（3）如果，且，求证：．【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.；（2）；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）先求出函数的值域，即可求出的范围；（3）构造函数，判断函数的单调性，即可证明．【详解】解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得，即函数在上单调递增，在上单调递减．（2）由（1）可得函数在处取得最大值，，所以函数的图象大致如下：．易知函数的值域为．因为方程有两个不同的根，所以，即，，解得．即实数的取值范围为．（3）证明：由，，不妨设，构造函数，，，则，所以在，上单调递增，，也即对，恒成立．由，则，，所以，即，又因为，，且在上单调递减，所以，即证．即．【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题．12.已知函数有三个极值点，（1）求实数的取值范围；（2）求证：.【答案】（1）且；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）函数有3个零点等价于有3个变号零点，由于，且，所以可得有两个不为0，－1的实根，再对求导讨论其单调性可得结果；（2）由（1）可知有一个零点为0，所以不妨设，，而，所以，因此要证，即证而，，而在上递减，，所以只需证，即，然后构造函数，只需证此函数值恒大于零即可.【详解】解：（1）利用的极值点个数即为的变号零点个数，，设，由已知，方程有两个不为0，－1的实根，当时，在上递增，至多一个实根，故所以在上递减，在上递增，因为，所以时，有两个实根，解得且（2）由（1）不妨设，，∵，∴.要证，即证而，由在上递减，在上递增，且故只要证，又，故只要证即证设∴∴递增，∴即∴【点睛】此题考查函数的极值点问题，极值点偏移问题，利用导数求函数的单调区间，利用导数证明不等式恒成立等，考查了数学转化思想，属于较难题.13.已知函数（1）求函数的极值；（2）若直线与函数的图象有两个不同交点，，求证：【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）直接利用导数求函数的单调性，极值；（2）由时，，结合（1）中极值，可设，要证，需证，由，，且在是单调递减函数，即只需证：，即只需证，再构造函数，，利用导数证得即可.【详解】（1）∵，∴变化时，与变化情况如下－1－0+单调递减极小值单调递增∴当时，有极小值为∴极小值为，无极大值.（2）由时，，设，由（1）知，，欲证：，需证：由，，且在是单调递减函数即证：∵，即证：令，，当时，，∴单调递增∴，∴时，由时，∴，∴，得证【点睛】本题考查了利用导数求函数的极值，分析法的应用，利用导数研究函数的单调性，并证明不等式，还考查了学生的分析推理能力，转化思想的运用，难度较大.14.已知函数，其中是自然对数的底数．(1)求的单调区间；(2)当时若方程存在两个不同的根，求证:【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】【分析】（1）对函数求导，得出，对实数分两种情况和讨论，结合导数的符号得出函数的单调区间；（2）解法一：构造函数，，利用导数分析函数的单调性，并构造函数，利用导数分析该函数的单调性，再由，可得出，由函数的单调性可证明，由，得出，通过因式分解得出，可得出所成的结论；解法二：构造函数，，利用导数分析函数的单调性，通过对等式变形得出转化为证不等式，并构造函数，利用导数证明，于是得出，再通过因式分解以及基本不等式等手段可得出，于此证明结论．【详解】（1），，，当时，则，所以，函数的单调递增区间为；当时，由，得；由，得．所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．综上所述：当时，函数的增区间为；当时，函数的减区间为，增区间为；（2）证明：令，，则，令，得；由，得；由，得．所以，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当，．不妨设，则，，且．先证明．构造函数，其中，则，因为，则，，，所以，函数在上单调递减，，所以，，即，因为，所以，，，，且在上单调递增，所以，，即．再证：．因为，所以，，且，所以，，所以，，即．所以，，所以，．综上所述，；解法二：（1）同解法一；（2）证明：令，，则，令，得；由，得；由，得．所以，函数在上单调递减，在上单调递增，当时，；当，．不妨设，则，，且．由，得，由得：，因为，所以，，，所以，，即，，，由得，，下面证明：，即证，构造函数，，则，所以，函数在上单调递减，当时，，即，所以，．所以．因为，，，所以，，即，因为，所以，即，所以，．综上所述，．【点睛】本题考查函数单调性与导数、函数的零点、以及利用导数来证明函数不等式，对代数式变形、化简以及根据不等式结构构造新函数是本题的难点所在，在处理这类问题时，也要注意极值点偏移问题的处理方法，考查分类讨论思想以及函数方程思想，属于难题．15.已知函数，其中，，e为自然对数的底数.(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；(2)若，且存在两个极值点，，求证：【答案】(1)；(2)见解析.【解析】【分析】(1)由已知可得，只需对与0的大小关系分类讨论，确定函数的单调性，从而确定函数的最小值，即可求出实数a的取值范围；(2)根据，是的根，可得与的关系及其范围，进而可将用含有的式子表示，构造函数即可证出.【详解】(1)若，则，所以，因为，，所以当，即时，，所以函数在上单调递增，所以，符合题意；当，即时，时，；时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，不符合题意，综上：实数a的取值范围为.(2)若，则，所以，因为存在两个极值点，所以，所以，令，得，所以是方程的两个根，所以，，且，，不妨设，则，所以，令，所以，所以在上单调递增，所以，所以，又，所以.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查函数的单调性、最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题.16.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若存在，使得，证明：.【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）对函数直接求导，得，通过讨论导函数的正负来得出的单调性，即可得出结论.（2）先找到关于的对称点，构造函数利用单调性发现，再结合条件及（1）的结论在上单调递减，可得.【详解】（1）由题可知，令，得，当时，，在上单调递减；当时，，在上单调递增.综上，的单调递减区间为，单调递增区间为.（2）当时，..令，则.∴在上单调递增.又，∴当时，，即.∵，∴.∵，∴.而由知，∵，由（1）知在上单调递减，∴，∴.【点睛】本题主要考查导数的综合应用，考查学生的运算能力及转化思想.属于较难题.17.已知函数.（1）若曲线在处切线的斜率为，判断函数的单调性；（2）若函数有两个零点、，证明，并指出的取值范围.【答案】（1）为上的增函数；（2）证明见解析，的取值范围是.【解析】【分析】（1）求出函数的导数，结合题意求出的值，从而求出函数的单调区间；（2）通过讨论的范围，求出函数的单调区间，从而判断函数的零点的个数，利用单调性证明不等式后，即可确定满足条件的的取值范围，然后构造函数，利用导数分析得出为的减函数，可得出，再由以及结合函数在区间上的单调性可证得结论成立.【详解】（1），，则，得，此时，由得.则时，，为增函数；时，，为增函数，且，所以为上的增函数；（2）①当时，由得或，若，由（1）知，为上的增函数，且，由，，所以只有一个零点，不符合题意；若，则当时，，为增函数；当时，，为减函数；时，，为增函数.而，故最多只有一个零点，不符合题意；若时，则当时，，为增函数；当时，，为减函数；当时，，为增函数，则，故最多只有一个零点，不符合题意；②当时，由得.由得，为减函数，由得，为增函数，则.先证明：当时，.构造函数，则当时，，所以，函数在区间上单调递增，则，即.当且时，，则，又，所以，函数在区间和上各有一个零点，所以当时，始终有两个零点、，不妨令，，构造函数，所以，由于时，，又，则恒成立，所以为的减函数，则，即，故有.又、是的两个零点，则，所以，由于函数在区间上单调递减，所以，，所以，所求的取值范围是.【点睛】利用导数证明函数不等式，可从不等式的结构特点出发，构造函数，借助导数确定函数的性质，借助单调性或最值实现转化，在证明（或）的极值点偏移的问题时，一般利用对称性构造函数，通过利用导数分析函数的单调性实现转化.18.已知函数有两个不同的零点，（1）求实数a的取值范围；（2）证明：【答案】（1）（2）证明见解析；【解析】【分析】(1)根据题意，转化为，有两个不同的零点有两个不同的根，然后利用数形结合求解即可(2)由(1)得，，得，不妨设，则结合图象易得，，然后，构造函数（），利用导数求出该函数的单调性，即可证明结论【详解】（1）有两个不同的零点有两个不同的根.令，则，易得时，，函数单调递减；时，，函数单调递增.当时，，当时，，又，结合图象可知，要使函数的图象与直线有两个不同的公共点，则，所以，实数的取值范围为.（2）由(1)得，，不妨设，则结合图象易得，，令（），则，所以单调递增，故，所以（）.由条件知，又，，以及由(1)得，函数在时单调递增，得，所以.【点睛】本题考查利用导数解决函数的零点问题，以及考查极值点偏移的相关题目，属于难题19.已知函数．（1）讨论的单调区间与极值；（2）已知函数的图象与直线相交于，两点（），证明：．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）求出导函数，利用确定增区间，确定减区间，从而可得极值；（2）由（1）知只有在且即时，函数的图象与直线才有两个交点，由得，可得，同时由消去参数，并设，都可用表示，要证不等式，只要证，即，只要证，引入新函数．利用导数的知识可证．【详解】解：（1），①当时，，此时在上单调递增，无极值；②当时，由，得.所以时，，单调递减；时，，单调递增.此时函数有极小值为，无极大值.（2）由题设可得，所以，且由（1）可知，，.，，∴，同理，由，可知，所以.由，得，作差得设（），由，得，所以，即，所以，要证，只要证，即，只要证.设（），则.所以在单调递增，.所以.【点睛】本题考查用导数求函数的单调区间和极值，证明与方程根有关的不等式．考查转化与化归思想．对于与方程的解有关的不等式问题，关键是引入新参数，如，，象本题，此时的范围是确定的，如、、等等，接着关键是把用表示（可用消参法建立关系），要证的不等式就变为关于的不等式，引入新函数后应用导数知识证明．20.已知函数，其中.（1）当时，求不等式在上的解；（2）设，关于直线对称的函数为，求证：当时，；（3）若函数恰好在和两处取得极值，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）当时，对求导，判断导函数在上的正负号，说明函数在上的单调性，再利用，即可解出不等式.（2）根据题意求出，令，求出说明其大于0.则在上单调递增，再结合，即可得证.（3）根据题意可知，是函数的两个不同实根.不妨设，分别根据函数零点存在性定理可得，可得，则，要证即证.化简得，令，再根据函数，求导说明函数在上是减函数，结合，即可得证.【详解】（1）当时，，，，∴在上单调递增，∴，∴在上单调递增，又，∴的解集为；（2），∵关于直线对称的函数为，∴∴令，，当且仅当时取“＝”，∵，故上式取不到“＝”，即，∴在上单调递增，故，即，∴当时，，（3）证明：由已知，由，是函数的两个不同极值点（不妨设）.即，是函数的两个不同实根.即，∴，，两式相减得：，于是要证明，即证明，两边同除以，即证，即证，即证令即证不等式当时恒成立.设，∴而，即，∴，∴在