新教材2021秋高中数学苏教版必修第一册学案：第2章充分条件、必要条件、充要条件

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2.2充分条件、必要条件、充要条件

1.通过对典型数学命题的梳理•理解必要条件的意义•理解性质定理与必要条件的关系.

二:2.通过对典.型数学命题的梳理.理解充分条件的意义•理解判定定理与充分条件的关系.

全不准

3.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义.理解数学定义。充要条件的关系.

》基础认知.自主学习4

概念认知

1.命题真假与推出关系

命题真假喏P,则q”为真命题喏P,则q”为假命题

文字表述由p可以推出q成立由p不能推出q成立

符号表示pD=»/q

读法p推出qP不能推出q

传递性如果pnq,q=s,那么pns

2.充分条件、必要条件

推出关系p=q

条件关系P是q的充分条件,q是P的必要条件

3.充要条件

⑴定义:

pnq,且q=p,记作p=q称为

推出关系

“P与q等价”或“P等价于q”

P是q的充分且必要条件，

条件关系

简称P是q的充要条件

⑵本质：p是q的充分必要条件，也常说成P成立当且仅当q成立.

⑶应用：充要条件是数学中非常重要的概念，应用充要条件可以从

不同的角度来理解、刻画很多数学内容.

4.性质定理、判定定理和数学定义

⑴性质定理是指某类对象具有的具体特征.性质定理具有“必要性”.

⑵判定定理是指对象只要具有某具体的特征，就一定有该对象的所

有特征.判定定理具有“充分性”.

⑶数学定义既具有必要性也具有充分性.

自我小测

1.不等式x(x-2)<0成立的一个必要不充分条件是()

A.{x|0<x<2}B.{x|x>-1}

C.{x|O<x<l}D.{x|l<x<3}

选B.由x(x-2)<0得0<x<2,因为(0,2){x|x>-1},所以“{x|xN-

1}”是“不等式X(x-2)<0成立”的一个必要不充分条件.

2.对于任意的实数a,b,c,在下列命题中，真命题是()

A."ac>bc”是“a>b”的必要条件

B."ac=be”是“a=b”的必要条件

C."ac<bc”是“a<b”的充分条件

D."ac=be”是“a=b”的充分条件

选B.若a=b，贝!Jac=be；若ac=be，则a不一定等于b,故"ac=be"

是“a=b”的必要条件.

3.从符号“=”“口=/”“0”中选择适当的一个填空：

(l)x-2=0.(x-2)(x-3)=0；

(2)a+5是无理数_____a是无理数；

(3)x=yy/x=y[y.

(l)x-2=0=x=2=>(x-2)(x-3)=0；

(2)根据无理数的定义可知，a+5是无理数Qa是无理数.

(3)因为当x=y<0时，爪,Vy无意义，

所以x=yD=M=5-

答案：⑴=⑵=(3)Dn/

4.从“充分”“必要”中选择适当的一个填空：

(1)%>2"是%>3”的条件；

(2)“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的条

件.

⑴因为“x>3"="x>2"，所以“x>2”是“x>3”的必要条件；

(2)因为“四边形ABCD是正方形”="四边形ABCD是菱形”，所以“四

边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD是菱形”的充分条件.

答案：⑴必要⑵充分

5.“x=-1”是-x-2=0”的条件，-x-2=0”是“x=

-1”的条件.(用“充分”“必要”填空)

由x=-l=>x2-x-2=0所以“x=-1”是-x-2=0”的充分条件,

%2-X-2=0”是“X=-1”的必要条件.

答案：充分必要

6.p：1-x<0,q:x>a，若p是q的充分条件,则a的取值范围为

x>l=x>a，令A={x|x>l},B={x|x>a},则A£B,所以a<l.

答案:a<l

7.求证：关于x的方程ax2+bx+c=0(aW0)有一正根和一负根的充要

条件是ac<0.

【证明】⑴必要性：由于方程ax2+bx+c=0有一正根和一负根，

c

所以A=b2-4ac>0,xiX2=_<0,所以ac<0.

a

.__c

⑵充分性：由ac<0可得b?-4ac>0及X1X2=:<0,

d

所以方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实根，且两根异号,即方程

ax2+bx+c=0有一正根和一负根.综上可知，关于x的方程ax2+bx

+c=0（a#））有一正根和一负根的充要条件是ac<0.

》学情诊断•课时测评④・

基础全面练

一、单选题

1.（2021.南通高一检测）“x>0且x<4”的一个充分不必要条件为（）

A.0<x<4B.0<x<2

C.x>0D.x<4

选B.由题意得0<x<4,则充分不必要条件是集合｛x|0<x<4｝的子集.

2.若a£R,则“a=l”是“同=1”的（）

A.充分条件

B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件

D.无法判断

选A.当a=1时，|a|=1成立，但|a|=1时，a=±1,所以a=1不一定

成立.

所以“a=1”是“|a|=1"的充分条件.

3.（2021.南京高一检测）已知m,nER,则“弋-1=-n=0"

成立的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

选-1==lnm=nnm-n=0,反之，当m=n=O时，

虽有m-n=0,但是弋-1=0不成立，所以m-n=0=*-1=0.

所以*-1=0”是，m-n=0”成立的充分不必要条件.

4.设集合A={x|-1WX<3},集合B={x|0<x<2}，则设£A”是“x£B”

的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

选B.因为A={x|-lWx<3},B={x|0<x<2},

所以BA,所以“x£A”是“xWB”的必要不充分条件.

5.（2021.邢台高一检测）若a>b>c,贝（］（）

A.“x>b”是“x>a”的充分不必要条件

B.“x>a”是“x>c”的充要条件

C.“x>c”是“x>a”的必要不充分条件

D.“x>b”是“x>c”的既不充分也不必要条件

选C.对于A,x>bn/x>a,x>a=x>b,贝卜x>b”是，x>a”的必要不充分

条件，A错误；对于B,x>a=x>c,x>c=/x>a,则“x>a”是“x>c”的

充分不必要条件,B错误；对于C,x>cn/x>a,x>a=>x>c,则“x>c”

是“x>a”的必要不充分条件，C正确；对于D,x>b=x>c,x>c=/x>b,

则“x>b”是“x>c”的充分不必要条件，D错误.

6.“m<1”是“关于x的一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的

条件（）

A.充分不必要B.必要不充分

C.充要D.既不充分也不必要

选A.关于X的一元二次方程X2+x+m=0有实数解，则△=1-4m>0,

解得mg,

所以{m|m曰{m|m*,所以“m<1”是“关于x的一元二次方程

x2+x+m=0有实数解”的充分不必要条件.

二、多选题

7.已知A,B为实数集R的非空集合，则AUB的必要不充分条件

可以是（）

A.AClB=AB.AACRB=0

C.CRBUCRAD.BUCRA=R

选ABD.因为AUB^CRBUCRA,所以CRBUCRA是AUB的充分必要条

件，因为AUB^AcB«AnB=A«AnCRB=0<^BUCRA=R,

ABD.

8.下列各题中，p是q的充要条件的有()

A.p：四边形是正方形；q:四边形的对角线互相垂直且平分

B.p：两个三角形相似；q：两个三角形三边成比例

C.p：xy>0；q:x>0,y>0

D.p：x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的—讨艮；q:a+b+c

=O(aHO)

选BD.四边形是正方形则四边形的对角线互相垂直且平分成立，但四

边形的对角线互相垂直且平分四边形可能是菱形，故P不是q的充要

条件；两个三角形相似与两个三角形三边成比例可以互相推导，故p

是q的充要条件；xy>0不能推出x>0,y>0,可能x<0,y<0,故p

不是q的充要条件；x=1是一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根，

将1代入方程可得a+b+c=O,当a+b+c=O时，c=-a-b代入方

程ax?+bx+c=0彳导ax?+bx-a-b=(ax+a+b)(x-1)=0解彳导x=1,

故p是q的充要条件.

三、填空题

9若集合A={142},B={2,4}字集m=2”是“ACIB={4}”的________

条件.（填必要、不必要）

答案：不必要

10.函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是

函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限的充要条件是k>0,

b>0.

答案：k>0,b>0

四、解答题

11,下列所给的各组p,q中，p是q的什么条件？

(l)p：x2=x+6,q：x=[x+6；

ab

(2)p：b2=ac,q：=-；

(3)p：ADB=A,q：CuB£CuA；

(4)p:点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等,

q：a=1或a=0.

(1)由于％2=x+6",则”x=±yJx+6”,故"x2=x+6”是"x=yjx+6”

的必要不充分条件.

(2)b2=acD=*，如b=0,c=0时，b?=ac,而曰[无意义.但

所以P是q的必要条件，但P不是q的充分条件.

⑶画出Venn图(如图)可得.

AAB=A=AGB=CUA3CuB,故p是q的充要条件.

(4)当a=1时，点P(1,1)到两坐标轴距离相等，

当a=0时，点P(2,-2)到两坐标轴距离相等,

当点P(2-a,3a-2)到两坐标轴距离相等时，

|2-a|=|3a-2|,解得a=1或a=0.

所以p=q，所以P是q的充要条件.

12.已知集合A={x|-l<x<3},集合B={x|a<x<a+1),aGR.

(1)若“1£8”是真命题，求实数a的取值范围；

(2)若“x£A”是“xWB”的必要不充分条件，求实数a的取值范围.

⑴若“1£B”是真命题,则a<l<a+l,得0<a<l.

⑵若“x£A”是“x£B”的必要不充分条件，

[a>-1

则BA,即1，得-,

[a+l<3

即实数a的取值范围是{a|-10a02}.

综合突破练

一、选择题

1.若非空集合A,B,C满足AUB=C，且B不是A的子集，则（）

A.“x£C”是“x£A”的充分条件但不是必要条件

B.“x£C”是“x£A”的必要条件但不是充分条件

C.“x£C”是“x£A”的充分条件也是“x£A”的必要条件

D.“x£C”既不是“xWA”的充分条件也不是“x£A”的必要条件

选B.xGA必有xGC，但反之不一定成立，所以“xWC”是“x£A”的

必要条件但不是充分条件.

2.盛唐著名边塞诗人王昌龄在其作品《从军行》中写道：青海长云

暗雪山，孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还.其最

后一句中“攻破楼兰'是“返回家乡”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

选B."攻破楼兰不一定返回家乡"但“返回家乡”一定是“攻破楼兰"

由充分条件和必要条件的定义判断可得“攻破楼兰'是“返回家乡”的

必要不充分条件.

3.（多选）已知p,q都是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的

必要条件，则（）

A.p是q的既不充分也不必要条件

B.p是s的充分条件

C.r是q的必要不充分条件

D.s是q的充要条件

选BD.根据题意画出示意图如图：

力、

CD<=CD

由图示可知，P=r=s=q=r=s,所以p是q的充分条件，p是s的

充分条件，1■是q的充要条件，s是q的充要条件.

二、填空题

4.已知P={x|a-4<x<a+4},Q={x[l<x<3},“x£P”是“x£Q”的必

要条件，则实数a的取值范围是________.

_a-4<1,

因为“x£P”是“x£Q”的必要条件，所以Qcp,所以，即

a+4>3,

a<5,

所以-l<a<5.

a>-1,

答案:"l<a<5

5.设nWN+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n

直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断.

，因为X是整数,

即2±正二为整数，所以“二为整数,fin<4，又因为nGN

+，取n=l,2,3,4,验证可知n=3,4符合题意；反之n=3,4

时，可推出一元二次方程x2-4x+n=0有整数根.

答案：3或4

三、解答题

6.已知集合A={y|y=x2-3x+1,xGR}={x|x+2m>0}；p：xGA,

q：x£B,并且q是p的必要条件，求实数m的取值范围.

由已知可得A=<y|yN-\>,B={x|xN-2m}.因为q是p的必要条

件，所以pnq,所以AGB,

所以-2m<-1,所以m>|,即m的取值范围是1m|m甯.

7.设x,yWR,求证|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy>0.

【证明】设p：xy>0,q：|x+y|=|x|+|y|,

(1)充分性(pnq)：如果xy>0,则有xy=O和xy>0两种情况,当xy

=0时,不妨设x=0,

则|x+y|=|y|,|x|+lyl=|y|,所以等式成立.

当xy>0时，即x>0,y>0,或x<0,y<0,

又当x>0,y>0时，|x+y|=x+y,|x|+|y|=x+y,所以等式成立.

当x<0,y<0时，|x+y|="(x+y),

冈+|y|=-x-y=-(x+y),所以等式成立.

总之，当xy>0时，|x+y|=|x|+|y|成立.

(2)必要性(qnp)：若|x+y|=|x|+|y|且x,yGR,

贝!J|x+yF=(|x|+|y|>,

即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x||y|,

所以|xy|二xy,所以xy>0.

由⑴⑵可得，xy>0是等式|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件.

少素养培优练卬

(50分钟80分)

一、选择题(每小题5分，共45分，多选题全部选对的得5分，选对

但不全的得3分，有选错的得0分)

1.下列语句：

(1)也是无限循环小数；(2)x2_3x4-2=0；

⑶当x=4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗?(5)

一个数不是合数就是素数；(6)作AABC当ABC；(7)二次函数的图象

太美了！（8）4是集合｛1,2,3｝中的元素.

其中是命题的个数是（）

A.2B.4C.5D.7

选BO）是命题，能判断真假；⑵不是命题，因为语句中含有变量x,

在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；（3）是命题；（4）不

是命题，不是陈述句；（5）是命题；（6）不是命题；（7）不是命题；（8）是

命题.

2.已知p：A=0,q：AAB=。，则p是q的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

选A.由已知A=。=ACIB=0,反之不成立，得p是q的充分不必要

条件.

3.a,b中至少有一个不为零的充要条件是（）

A.ab=0B.ab>0

C.a2+b2=0D.a2+b2>0

选D.A.ab=0是a,b中至少有一个不为零的既不充分也不必要条件；

B.ab>0是a,b中至少有一个不为零的充分不必要条件；

C.a2+b2=0是a,b中至少有一个不为零的既不充分也不必要条件；

D.a2+b2>0，则a,b不同时为零；a,b中至少有一个不为零，则

a2+b2>0.所以a2+b2>0是a,b中至少有一个不为零的充要条件.

4.已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“AUB，W（）

A.充分条件

B.必要条件

C.既是充分条件也是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件

选A.当a=3时，A={1,3},故AGB,若AGB=a=2或a=3，不

一定有a=3,故“a=3”是“AGB”的充分条件.

5.（2021.长春高一检测）在如图电路中，条件p:开关A闭合，条件q：

灯泡B亮，则p是q的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

选A.若开关A闭合，则灯泡B亮，所以p=q；

若灯泡B亮，则开关A闭合或开关C闭合,所以qnp不成立，所以

p是q的充分不必要条件.

6.（2021绥化高一检测）设p：；<x<l；q：a<x<a+1,若p是q的充

分不必要条件，则实数a的取值范围是（）

A.0<a<gB.0<a<^

C.0<aD.0<a<2

选B.因为p：<x<l；q：a<x<a+1,

且p是q的充分不必要条件，

所以x1<x<l!{x|a<x<a+1},

则彳一？’且两不等式中的等号不同时成立.

La+l>l,

解得：0<a<1.

7.（多选）对任意实数a,b,c,给出下列命题，其中真命题是（）

A.“a=b”是"ac=be”的充要条件

B.“a>b”是方力”的充分条件

C."a<5”是“a<3”的必要条件

D.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件

选CD.对于A,因为"a=b"时，ac=be成立；ac=be且c=0时，a=

b不一定成立，

所以“a二b”是“ac=be”的充分不必要条件，故A错；

对于8,当2=-1,b=-2,a>b时，a2<b2；

当a=-2,b=1,a2>b?时,a<b.

所以“a>b”是“a2>b2”的既不充分也不必要条件，故B错；

对于C,因为“a<3”时一定有“a<5”成立，

所以“a<3”是“a<5”的必要条件，C正确；

D显然正确.

8.（多选）下列结论中正确的是（）

A."x<0”是“x<-2”的必要不充分条件

B.“x为无理数”是为无理数”的必要不充分条件

C.若a,bWR,则“a?+b?#）”是“a,b不全为0”的充要条件

D.在^ABC中，“AB2+AC2=BC2，是"ABC为直角三角形”的充要

条件

选ABC根据题意，依次分析选项：

对于A,若x<0,则“x<-2”不一定成立，反之若“x<-2"，必有“x<0”，

故“x<0”是“x<-2”的必要不充分条件，A正确；

对于B,若“x为无理数"贝。x2不一定为无理数"，如x=也，反之

%2为无理数”，则“x为无理数”，故"x为无理数是为无理数”的必

要不充分条件，B正确；

对于C,若“a?+b2/）”，则“a,b不全为0”,反之若“a,b不全为0”,

贝Fa2+b2#o”，故若a,bGR,则“a?+bZRO”是“a,b不全为0”的充要

条件，C正确；

对于D,在△ABC中，若“AB?+AC2=BC2，>,则NA=90°,故“△ABC

为直角三角形"，反之不一定成立，故"AB?+AC2=BC2"是“ABC为

直角三角形，，的充分不必要条件，D错误.

9.（多选）已知集合A={x|-l<x<3},集合B={x|x<m+1},则AClB

=0的一个充分不必要条件是（）

A.m<-2B.m<-2

C.m<2D.-4<m<-3

选BD.当AAB=0时,m+1<-1,解得m<-2,

由题意可得只要选项中的m范围是集合{m|mg-2}的真子集即可，

因此满足条件的选项为B,D.

二、填空题

10.（5分）“x>0”的一个充分不必要条件可以为；一个必要不

充分条件可以为.

“x>0”的充分不必要条件可以为x=2；一个必要不充分条件可以为

x>-1.

答案：X=