概率课后习题答案

第一章随机事件及概率

1、这6个数字选出5个来排列的方法有用种，首位为0的

有P；种，而首位不能为0的为:-4=600.

2、任取5件，其中有4件正品与一件次品的取法为：

=105.

3、证明：

P(AUBUC)=P[(AUB)UC]

=尸(AU5)+P(C)-Pt(AUB)CJ

=P(A)+P(B)-P(AB)+P©_P(ACUBC)

=P(A)+P(B)~P(AB)+P(C)-[P(AC)+P(BC)-P(ACABC)]

=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

4、A表示任取3件中有一件为次品事件，50件中任取3件

的取法为4,而有一件为次品的取法为心G，••・44)=警=孤.

5、(1)任取四球都是白球的取法有C：,而任取四球的取法有

叱，因此任取四球都是白球的概率为：与」

C,233

(2)任取6球恰好3白2红1黑的概率为：£攀=改.

377

6、(1)每个盒子都放有的方法有10!,而总共的放法有10%

因此没有一个空盒子的概率为带；

(2)至少有一个空盒子的概率为1-播.

7、由题知：e(0,1)且x+y<(,如下图所不：

y

阴影部分为符合条件的点其面积S=S.OB-2=11

此事件的概率为：*1flW

8、如下图所示：

由题意可知所求的概率为:

1122

XXX

21-213-3-5

sV—q

P=°AAOH°AAA'B'1

X±1X

0^AOB0^AOB2-

9、（1）取得2个红球的可能有c；,而总共的取法为c3所以

两次取得都是红球的概率为4=--

GZ45

（2）两次中一次取得红球，另一次取得白球的方法有C；。；，而

总共的取法为G3因此此事件的概率为与="；

Go45

（3）因为两次取得红球的概率由⑴知为生，因此其对立事件

45

即至少一次取得白球的概率为1-身=口；

4545

（4）设4表示第一次取得白球事件，儿表示第二次取得白球事

件；显然这两事件是对立的，即P（A）=P（4）,至少一次取得白球

事件为4UA2，根据概率性质有：P（AtUA,）=F（A,）+P（A2）-A2）

=2P（4）-P（AA）

而由题知P（AUA?）岂，两次取得白球的概率为P（AH）=圣=2，

代入上等式有P（A2）=『g

10、设A表示此密码被译出的事件，A表示甲译出事件，A2

表示乙译出事件，&表示丙译出事件，?表示一个人译出事件，

当表示只有两人译出事件，人表示3个人译出事件，显然与，生，

易相互独立。由题知：

m）=P（A）p（4）p（4）+尸（A）p（&）p（4）+p（A>>2）p（4）

=gxa—5（1—（）+（1-｝（1一手><；+（1—卜乂:*（1一:）

13

"30

同理尸(当)=P(A)尸()p(4)+p(A)p(彳2)P(4)+P(A)P(&)P(4)

3

-20

P(B3)=P(A)P(&)P(A3)=]

60

根据全概率公式有：P(A)=P(B1)+2(4)+P(4)=0.6

11、(D设顾客买下该箱事件为A,4表示取得一箱中没有次

品事件，A表示取一箱有一件次品事件，4表示取一箱中有两件

次品事件；显然4、4、4为相互独立事件，P(A0)=0.8,

p（A）=01，p（4）=0.1

而尸(44)=1'P(A/A)卷子*P(“2)卷卷

根据全概率事件:

448

P(A)=P(A/A°)•P(A0)+P(A/%)•P(A)+P(A/A2)-P(A2)=后；

⑵在顾客买下该箱中，确实没有残次品的概率为

尸（AAo）-P（A°）=95

P（4/A）=

P（A）-112

12、设A为中靶事件，A。为选中未校正过事件，为为选中校

正过枪支事件，则P(4)=|，尸(A)=|,P(A/A0)=0.3,P(A/A)=0.8,

oo

49

P(A)=P(A0)P(A/A0)+PWP(A/A0)=—,

P（AA）P（AJ，40

尸（A/A）=P（A）-49

13、设A为飞机坠落事件，A,为击中一次事件，A2为击中两

次事件，人为击中3此事件；B,表示被第i此击中事件(i=l,2,3),

显然A,42,4为相互独立事件。尸(为)=0.4,P(B2)=0.5,尸(当)=0.7,

P(A)=P(Bi)P(瓦)P(瓦)+P(瓦)P(J)P(瓦)+P(瓦)P(瓦)P(%)=0.36,

P(4)=P(B1)P(/)P(瓦)+P(H)P(瓦)尸(岛)+P(瓦)P(/)尸(4)=0.41,

P(A3)=P(B,)P(B2)P(B3)=0.14,

而P(A/A)=O.2,P(A/4)=O.6,P(A/&)=1,因此根据全概率公式有

P(A)=尸(A/A)P(A1)+P(A/A2)-P(A2)+P(A/&)•尸(A3)=0.45

14、⑴击中3次的概率为尸=C：(0.6)3(1-0.6)2=0.3456,

(2)因为每次击中的概率为仁(0.6)3,而至少有一次未击中

是其对立事件，因此至少有一次击中的概率为l-C；(0.6)3=0.92224

15、考虑其对立事件：即少于3台车床发生故障的概率，没

有一台发生故障的概率为严，一台发生故障的概率为

。：2(0.3)(0.7尸，两台发生故障的概率为此(。3)2(0.7)|。，因此在任一

指定时刻有3台以上车床发生故障的概率为

1一心(0.7严—4(0.3)(0.7)”—。［(83)2(0.7)|。

16、第一问：考虑其对立事件：0台、1台发生故障的概率

分别为：或(0.99)2。,以(099)”.0.01；因此设备发生故障而得不到及

时处理的概率为1_或(0.99严-以(OS%*Ooi；

同理第二问中所求概率为：

］一C*0.99)跄一C；o(0.99)79.0.01-C^(0.99)78(0.01)2-C^(0.99)77-(0.01)3

第二章随机变量及其分布

1,设Z表示取出次品的个数，“z=o”表示取出0个次品事

件；因为15只零件中有2只次品，取3次且每次都不放回取到

。件次品的概率为：与=乌，即P（Z=O）=必；

C,3,3535

1）=P（Z=2）=*

同理有：「亿=年—==工—，r（Z=，）=-—=—

G；3535

因此Z的分布律为：（如下图所示）

X012

22121

P

353535

2,设Z表示3个零件中合格品的个数，“z=o”表示取出0

个合格品事件，A,表示第i个零件为不合格品事件（i=l,2,3）,

显然A，A2,A3为相互独立事件。由题意知：P（A,）=1,P（A2）=|,

P（4）=；,因此尸（z=3）=P（4）P（&）P（4）=（1-f（i-；）"：）=；，

同理：

P（z=2）=P（A,）P（A2）P（A3）+P（A）P（A2）p（4）+p（4）p（4）P（4）=,

———6

P（Z=I）=/WP（&）P（&）+尸⑷P（4）P（&）+P（"（&）P（4）=五

P（Z=O）=P（A）P（&）尸（4）=《，

所以Z的分布列为：

X0123

12112

P

244244

3,设Z表示该汽车首次遇红灯前已经通过的路口的个数,

过第一个路口就遇到红灯的概率为：0亿=。）=白

；

同理有：P（Z=1）P(Z=2)=p(Z=3)=-----=-

2'282228

所以Z概率分布列为:

X0123

]_i£

p

2488

4,X的分布列为:

X012n-1n

1：

pGC

2"2"2"2"

5,由题意知Z的分布函数为:

0x<1

0.2l<x<2

F(x)=<

0.52<x<3

1x>3

6,(1),;「/(x)dx=l,

J-00

n71

pQdx+Acosxdx+,0dx=1

J-r.4

~22

71

从而得到Asinx2A=J_

2

一2

(2),当x<-三时，F(x)=f=fOdt=0;

2%

当上生时,

22

F(x)=f(t)dt=£2Odt+—cosrJ/=—sinx+—;

“92222

当C工时,

2

7Tni

F(x)=f(t)dt=£2Odt+R—cosrdf+，0力=1；

X22

71

rX<----

02

因此Z的分布函数/(x)=Lsinx+---<x<—

2222

1、71

iX>—

2

7,当时有：

/(X)=rf(t)dt=r^e'dt=^-ex;

J-®k22

当xNo时有：

/(X)=£f(t)dt=j/(f)力+[fMdt=,；e*力+15r力=1-g

因此X的分布函数为：

[1.

于<0

F(x)=《2x

i1〃xNO

I2

8,(l)・.—(x)是处处右连续的，

limF(x)=F(l)=l,limAx2=1;A=1;

XT1XTl

(2)/(x)=%x)=2<x0<x<1

其它

(3)P{0.3<x<1.3}=F(1.3)-F(0.3)=0.91

9,(1)最初150小时电子管烧坏的概率为:

尸(X4150)=£"/(x)Jx=1;

因此至少有两电子管被烧坏的概率为：P=C；g）2（l—；）+仁（；）3=为

（2）Y表示在使用最初150小时内烧坏的个数，则：

p（y=o）=c«（i-1）3=^,p（r=i）=c］（！）（1-1）2=，

P（Y=2）=或（孑（1一；）=争（丫=3）=c；g）3=

因此电子管数Y的分布列为：

Y0123

81261

P

27272727

（3）,Y的分布函数为：

0

8y<0

一

270<y<l

/X20

1-一

\71<y<2

27

26

一2<y<3

207

”3

10,设匕=k表示观测值不大于0.1的次数为k,而

）

P（X<0.1）=£X.If（x）dt=［fipdx+1fi.l2xdx=0.01,

因此随机变量匕的概率分布为：

P（y„=k）=c^（0.01）A（0.99）"-*,A:=1,2,3"•

11,因为要使方程y2+Xy+l=0有实根,则其判别式

A=X2-4xlxl>0,得X22或X4-2;

又因为X服从［1,6］分布，所以P（24X46）=手上

6-15

12,设A表示观测值大于3的事件，B表示A发生的次数,

依题意得：P(A)===2,

5-23

・••P(8N2)=C；守;+C；(手哼

X10

13,(1)因为F(x)=l-”，所以P(X410)=/(10)=1-e-=1-「2,

P(r=k)=C；*)*(1-e<)5-*,女=0,l,2,3,4,5;

(2)Y是表示10分钟内等不到的次数，则

P(r>l)=l-(l-e-2)5®0.5167

14,(l)P(X<a)=F(a)=①(纥&)=0.90,查表知上叫=1.28,所

33

以a=111.84;

(2),P(101.1<X<117.6)=-F(101.1)+F(117.6)

不，117.6—108、不，101.1—108、

=——-——)-0(——-——)

因为①(-x)=l-①(x),所以P(1OL1<X<117.6)=0.988

15,因为P{120<X<200}N0.8,即

_„„__200_160120—160

产(200)-尸(120)=0(-----------)-0(------------)

a

〜40、不/-40、

0(—)-0(——)

acr

示,40、1不,40、

=0(——)-1-0(——)

(7Lb_

40

=20(—)-1>0.8

(7

40

n(D(—)>0.90，

cr

查表知：—>1.28,.-.<7<31.20

(7

16,误差的绝对值不超过30米的概率为：

30-20-30-20

P(-30<X<30)=/(30)-尸(—30)=皿％)=04961，

所以误差超过30米的概率为：1-0.4931=0.5069,

所以三次误差绝对值都超过30米的概率为C；(0.5069)3,

因此三次测量中至少有一次误差绝对值不超过30米的概率为：

1一《(0.5069)3=0869

17,(1)根据题知：

P(—l<X<x)=(1」」卢。1)=(其中xe(-1,1))；

841-(-1)16

当x<-l时，F(x)=P(X<x)=0,

当-14x<1时，

F(x)=P(X<x)=P(X<-l)+P(-l<X<x)=0+l+^^=^^

81616

当X21时,尸(X)=1;

(2)X取负值的概率为：P(X<O)=F(O)=5X^+7=4

1616

18,由题知，P(X=0)=(1-04)3=0.216,

P(X=1)=C；(0.4)(1—0.4)2=0.432，P(X=2)=C；(0.4)2(l-0.4)=0.288，

P(X=3)=C；(0.4)3=0.064，

p0.2160.4320.2880.064

X0123

r0149

匕0-101

八0110

⑴故X=X2的分布列为:

匕0149

p0.2160.4320.2880.064

⑵％=X(X-2)的分布列为:

丫2-101

p0.4320.5040.064

⑶打=若也的分布列为:

01

p0.280.72

19,由丫=(?，得y=e，，显然有y>0且x=lny,根据定理有：

A(y)=/xOny)|Qny)[=/x(lny)y,

⑴当lny=xN0时，即yNl时有(Iny)•—=e-lny—=,

yy

(2)当Iny=x<0时，即0cy<1时有/x(Iny)」=0,

y

i

=<2

由(1),(2)得：fY(y)y，一

00<y<1

20,(1)因为Fy(y)=P(Y<y)--(arctanX<y)=P(X<tany)=Fx(tany)

[ta02y

22

等式两边对y求导得：fyiy)-fx(tany)secy=—f=e-sec^j

J2万

=arctanX1守y=arctanx，,——<y<—9

22

0MW

A(y)=12tan2y

secy――Z—71R

e2<y<—

22

2

(2)FY(y)=P(Y<y)=P(2X+l<y)(显然y21才有可能)

F)

=3后^-弓(卡抖

=24(肉)T

两边对y进行求导得：

川)=2打(用)(用)1上

'=.e4

2〃(y-l)

因此Y=2X?+1的概率密度为：

1「y-1

4y>i.

fr(y)-,2j万(y—1)9

0I

(3)Fr(y)=P(r<y)=P(|X|<y)

=P(-y<X<y)

=Fx(y)-Fx(-y)

=2G(y)-l,

匕[2

两边对y求导得：/y(y)=2/x(y)=2T=J2=ke丁

弋2兀

p2

因此丫=凶的概率密度为：fy(y)=，R7y>0

0y<0

习题三

1.箱子里装有12只开关，其中只有2只次品，从箱中随机地取两次,

每次取一只，且设随机变量X,Y为

vfO,若第一次取得正品，

[I,若第一次取得次品；

fo,若第二次取得正品，

[1,若第二次取得次品.

试就放回抽样与不放回抽样两种情况，写出X与Y的联合分布律.

解：先考虑放回抽样的情况：

25

/>{%=o,y=o}=—X—

121236

p{x=o,y=1}=也2='

12123(

210

p{x=i,y=0}一X—

1212

22

p{x=i,y=1}=—X—=

1212

则此种情况下，X与Y的联合分布律为

再考虑不放回抽样的情况

p{x=o,y=0}』x2=12p{x=o,y=1}

121122

P{X=l,y=0}=—X—=—,P{X=i,y=1}：

121133

2.将一硬币连掷三次，以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表

示在三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值，试写出

（X,Y）的联合分布律及边缘分布律.

解：由已知可得：X的取值可能为0,1,2,3；Y的取值可能为1,

3；则由硬币出现正面和反面的概率各吗，可知

P{X=0,Y=0}=0（此种情况不可能发生）

p{x=0,y=3}=—x—x—=—,

2228

p{x=i,y=3}=o,

i13

p{x=2,y=i}=《5X—x—=

228

P[X=2,Y=3}=0

p{x=3,y=i}=o

111]_

P{X=3,y=3}=—X—X—=

2228

3.把三个球随机地投入三个盒子中去，每个球投入各个盒子的可能

性是相同的，设随机变量X与Y分别表示投入第一个及第二个盒

子中的球的个数，求二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布.

解：由已知可得：X的取值可能为0,1,2,3；Y的取值可能为0,

1,2,3；则

111

p{x=o,y=o}=—X—X—=——

33327

P{x=o,y=2}=c；WLLp{x=o,y=3}=-xlxl=—

'333933327

P{X=l,y=0}=C'-xlxl=l,P{x=l,y=l}=C'C'-xlxl=-

33393339

P{X=l,y=2}=C]lxlxl=l

px=i,y=3}=o,?{x=2,y=o)=C3=i

P{X=2,Y=\}=C1-x-x-=-

33339

P{X=2,y=2}=P{X=21=3}=0

1

P{x=3,y=0}=c^xlxl

27

P{X=3,Y=l}=P[X=3,y=2}=P{X=3,y=3}=0

则二维随机变量（X,Y）的概率分布及边缘分布为

4.设(X,Y)的概率密度为

、：(6-x-y),0<x<2,2<y<4,

f(x,y)=j8

0,其它.

求：

(1)P((x,y)£D},其中D={(x,y)|x〈l,y<3};

(2)P{(x,y)eD},其中D={(x,y)|x+y<3}.

解(1)VD={(x,y)lx<l,y<3}

P{(x,y)GO}=「，/(x,y)dxdyy)dxdy=|

(2)VD={(x,y)lx+y<3}

•*-P{(x,)，)eD}=J/(x,y)dxdy=f'(6_X_y)dxdy=总

5.设(X,Y)的概率密度为

C(R—&2+y2),x2+y2<R2,

f(x,y)=

0,其它.

求:

(1)系数c；

(2)(入丫)落在圆/+》2少2卜</?)内的概率.

解(1)由「「/(x,y)dxdy=1,得

J-coJ-CO

+y2yixdy=1,可求得c=—"•

x2+y2<R2兀R

(2)设Z)={(x,y)I/+y2K〃2,则

P{(X,Y)e。}

=\[f{x,y}dxdy=JJ(R-yfx2+y2}dxdy=

八22/2TUX7CKJLX.

Dxz+yz<r

6.已知随机变量X和Y的联合概率密度为

4xy,0<x<1,0<y<1,

f(x,y)=<

0,其他.

求X和Y的联合分布函数.

解：•••随机变量X和Y的联合概率密度为

[4盯,0<x<1,0<y<1,

f(x,y)=

1。，其他.

当x<0,或y<0时，F(x,y)=0;

当OKx<l,OWyK1时，

F(x,y)=P{X<x,Y<y}=j'4XYdXdY^x2y2

当04x41,y>l时，

F(x,y)=P{X<x,Y<y}=f^AXYdXdY^x2

当x>1,04y41时，

F(x,y)=P{X<x,Y<y)=^AXYdXdY=y2

当x>1,y>1时，

F(x,y)=P{X<x,Y<y}=j^AXYdXdY=1

综上可得，X和Y的联合分布函数为

0X<0,或y<0

22

%y0<x<1,0<y<1

F(x,y)=<x20<x<1,y>1

y2x>1,0<y<1

ix>l,y>1

7.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为

[k{x+y),0<x<6,0<y<6,

小0,其他

(1)求常数k;

(2)求P{0<x<2,l<y^3];

(3)求X,Y的边缘概率密度；

(4)判断X与Y是否相互独立.

解(1)由概率密度的性质有「「/(x,y)dMy=l

即/f左(x+y)dxdy=1,有216k=1女=

(2)尸{0<x<2,l<yW3}=j，+(%+)3入6=需

(3)X的边缘概率密度为

(

/xx)=]J-cof(x,y)dy

»*«当oWx<6时，fx(x)=f+(x+y")dy=急

当xvO或x26时，显然有人(x)=0

x+3

0<x<6,

，/x(x)=<36

0,其他.

Y的边缘概率密度为4(y)=匚/(x,y)dx

.•.当o〈y<6时一，方(y)=f上a+y)力=崇

㈤21636

当yWO或x26时，显然有月(>)=0

1+3

0<y<6,

・••/y(y)=36

0,其他.

(4)从以(x)及/丫(y)的表达式易知，/x(幻力(y)牛/(x,y)

・•.X与Y不相互独立.

8.已知随机变量X1和X2的概率分布为

Pill------2

157----------

而且P{X1X2=O}=1.

(1)求X1和X2的联合分布；

(2)问X］和X2是否独立？为什么？

解：由P{X1X2=0}=1,可知乂禺=0必然成立・

P[X}X2#0}=0

由p{X2=}}=P{Xi=-\,X2=l]=P{Xi=0,X2=1}=P{XI=1,X2=1}W

P{X1=0,X2=l}=P[X2=l}=g

同理可得：P{Xt=-l,X2=0}=^-,P{X,=1,X2=0}=1,

而

P{XtX2=O}=P{Xt=0,X2=0}+P{X1=-l,X2=0}+P{X,=0,X2=1}+P{X,=l,x2=0}

P{X}=0,X2=0}=P{XtX2=0}-P{X1=-l,X2=0}-P{X1=0,X2=1}-P{X,=l,X2=0}

(2)p{X1=o,X2=0}xP{X1=0}尸{x?=0}

可知X1和X2不独立.

9.设随机变量X与Y相互独立，且都服从(-6,6)上的均匀分布，求

方程J+rx+y=0有实根的概率.

解：方程J+氏+丫=0有实根的充要条件是X2—4Y20,

由于随机变量X与Y相互独立，所以随机变量(X,Y)的联合概

率密度为/(x,y)=标'—"<"〈"一腔”"'

0,其他

下面分两种情况讨论:

(1)当0<b44时，如图

P[X2>4y}=娶(尤,y)dxdy=宜收£力=；+,

(2)当b>4时，如图

P{X224y}=W(x,y)dxdy=y\\dxdy=1-?\\dxdy=1《篮吧办=1-击

综上可得：方程/+正+丫=0有实根的概率为

1b

2+24'0<^<4,

P{X2-4K>0}=<

1」6>4.

3折'

另解：方程J+fX+y=o有实根的充要条件是

x2-4r>o

令4=X2,其分布函数为々(%),Z2=-4匕其分布函数为七(%),

则当x<0时七(x)=0,则当OWxWb?时

七(x)=P{Z1<X]=P{X2<X}=F{-VX<X<4x]

由于X与Y都服从(-。/)上的均匀分布，即其密度函数各为

1

-h<x<h—,-h<y<h

fM=<2b'=<

x/Y(y)2b

0,其他0,其他

当OWxWb2时,

Fz,(x)=

2bb

当X>b2时显然有F%(x)=l.

.♦.Z1的概率密度函数为七(x)=五，USXS0

0其他

而当xN4。时，F(x)=P[-4Y<x}=l-P{7<--}=l-0(v--<-b)=l

z244

xi]

当-4b<x<4b时，F(x)=l-P{y<--}=l-p—dt(-.--b<--<b)=~+—

47、4*2b428。

当xW-4b时，

xx

&（x）=i-py<-R=•-产）=0

.•Z的概率密度函数为匕,出=总-404x446

0其他.

又由于随机变量X与Y相互独立，...Z]和4也相互独立.

又设Z=Zi+Z2

其密度函数为fz（x）,分布函数为fz（x），则/z（z）=f：/z（x）/z（Z—》心，

2

ffi]F{X-4y>0}=F{Z>0）=l-Fz（0）=l-fjz（z）dz

•.,b>0,而当zW-4b,xe[-40,4们时，z+4640止匕时/z（z）=0

当—46<z4〃-4b时，/（z）=rih—^—.—dx=—

J,2b6助8b

0,z<—4b,

即/z（z）=<上筌,-4b<z<b2-4b,

8b

—,z>b2-4b.

18b

当0<644时，（即从—4A40）,

2

2fi-4bJz+4Z?.p1..bib\b

P{X~-4K>0}=1-----；~Jz—L-dz=\-------F—=—H----

8h2以一病8。1228224

当b》4时，（即从一4。>0）,P{X?—4丫20}=1—「&+„=]—-'

儿8/3加

综上可得：方程/+式+丫=0有实根的概率为

1b

,2+24f0<^<4,

p{x2-4r>oj=p]

]--------,b>4.

I3显

10.设（X,Y）的概率密度为

/(x,y)=.；0<x<y,

其他.

求边缘概率密度和P{X+Y<i}.

解：X的边缘概率密度为

/x(x)=「/(x，y)dy，当xWO时，九。)=0

yx

当x>0时，fx(x)=£e~dy=e~

Y的边缘概率密度为4(y)=「/(x,y)dx

yy

当xWO时，fY(y)=0,当y>0时，fY(y)=e~dx=ye'

0x<0[0y<0

fx(^)=\一八力(y)=《_y、n

ex>0.[ye-y>0

而

P{X+Y<1}=y)dxdy(其中。={(x,y)Ix+y<1}

D

1I_1

=e-ydy=^{e-x-ex-')dx=i+e-'-2e~i

11.设X,Y相互独立，其概率密度为

i,0<x<1,.[e~y,y>0,

/x(x)=\甘柚A(y)=<,

[0,具他.[0,y<0.

求Z=X+Y的概率密度.

解：由已知得"z)=「/x(x)/y(Z-x)dx

当Z<0时，/z(Z)=OG•当OWxWl时,z-xKO)

当OWzWl时，/z⑵=16，-,=1一0乜

当Z>1时，/z(z)=1e，rdx=(e-1)1

0z<0

/.Z=X+Y的概率密度为七⑵二”-10<z<l

(e-\)e-zz>1

12.设随机变量（X,Y）的概率密度为

3x,0<y<x,0<x<1,

f(x,y)=<

0,其他.

求Z=x—Y的概率密度.

解：•••ZnX—Y的分布函数为

Fz(z)=P{Z<z}=P[X-Y<^}=y)dxdy=f/(x,y)dy

X-Y^z

/.Z=X—Y的概率密度为fz(z)=Fz(z)=£f[x,x-z)dx

3x,0<y<x,0<x<1,

f(x,y)=>

0,其他.

当z21时，x-z<0,.-./Z(z)=0,

当zWO时，x-z>x,.,./Z(z)=0,

2

当0<z<l时，/Z(z)=_[3xdx=|(l-z),

.,.Z=X—Y的概率密度为

f-(l-z2),

OVNv1,

fz(N)=v2

O,其他.

13.设随机变量（X,Y）的概率密度为

]产+―

y)=~~~2，(-8<<+oo),

2g

求Z=X?+y2的概率密度.

解：设z=x?+y2的分布函数为BQ)

当ZW0时，