安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1安徽省安庆市2024届高三模拟考试(二模)数学试题一、选择题1设集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，可得，故，由，可得，即或，故或，则.故选：A.2.已知复数，是z的共轭复数，则（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗，而，可得.故选：B.3.设F是椭圆的一个焦点，过椭圆C中心的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长的最小值为（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗C〖解析〗由椭圆的对称性可知P，Q两点关于原点对称，设椭圆的另一个焦点为，则四边形为平行四边形，由椭圆定义可知：，又，，所以，又过原点，所以，所以的周长的最小值为：.故选：C4.在一次学科核心素养能力测试活动中，随机抽取了100名同学的成绩（评分满分为100分），将所有数据按，，，，，进行分组，整理得到频率分布直方图如图所示，则估计这次调查数据的第64百分位数为（）A.80 B.78 C.76 D.74〖答案〗B〖解析〗由，，故这次调查数据的第64百分位数位于之间，设这次调查数据的第64百分位数为，则有，解得故选：B.5.设是公比不为1的无穷正项等比数列，则“为递减数列”是“存在正整数，对任意的正整数，”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗C〖解析〗是公比不为1的无穷正项等比数列，所以，一方面：“为递减数列”，等价于，要使得，只需，即，从而，所以取，其中是指不超过的最大整数，则当时，有，另一方面：我们假设，且“存在正整数，对任意的正整数，”，则当越来越大时，同理可得，但这与“存在正整数，对任意的正整数，”矛盾，综上所述，“为递减数列”是“存在正整数，对任意的正整数，”的充要条件.故选：C.6.已知点，，O是坐标原点，点B满足，则与夹角的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设点，可得，因为，可得，即点的轨迹是以为圆心，半径的圆，如图所示，设过点与圆相切的直线的方程为，即，则圆心到直线的距离等于圆的半径，可得，解得，设切线的倾斜角为，则，可得，即与夹角的最大值为.故选：A.7.已知函数的图象关于点对称，且在上没有最小值，则的值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，因为的图象关于点对称，所以，故，即，当，即时，函数取得最小值，因为在上没有最小值，所以，即，由解得，故，得故选：B.8.如图，在长方体中，，点E是棱上任意一点（端点除外），则（）A.不存在点E，使得B.空间中与三条直线，，都相交的直线有且只有1条C.过点E与平面和平面所成角都等于的直线有且只有1条D.过点E与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有4条〖答案〗D〖解析〗在长方体中，，对于A，当为的中点时，连接，则，即有，而平面，平面，则，又平面，因此平面，而平面，则，A错误；对于B，连接，设，，则平面与直线交于，点在线段上，不含端点，则直线与直线相交，同理直线与直线相交,因此直线、分别与三条直线，，都相交，B错误；对于C，平面，而平面，则，又，于是是二面角的平面角，且，显然的平分线与平面和平面所成角都等于，过点与此直线平行的直线符合要求，这样的直线只有1条；半平面与半平面的反向延长面所成二面角的角平分面与平面和平面所成角都等于，在此角平分面内过点与平面和平面所成角都等于的直线有2条，因此过点与平面和平面所成角都等于的直线有3条，C错误；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，直线的方向向量分别为，设过点的直线方向向量为，由直线分别与直线所成角都相等，得，于是，不妨令，有或或或，显然使得成立的向量有8个，其余4个分别与上述4个向量共线，所以过点E与三条棱，，所成的角都相等的直线有且只有4条，D正确.故选：D二、多项选择题9.已知定义在R上的函数，满足对任意的实数x，y，均有，且当时，，则（）A. B.C.函数为减函数 D.函数的图象关于点对称〖答案〗ACD〖解析〗对A：令，则有，故，故A正确；对B：令，，则有，故，故B错误；对C：令，则有，其中，，令，，即有对、，当时，恒成立，即函数为减函数，故C正确；对D：令，则有，又，故，故函数的图象关于点对称，故D正确.故选：ACD.10.抛物线的焦点为，经过点F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过点A、点B作抛物线C的切线，两切线相交于点E，则（）A.当时，B.面积的最大值为2C.点E在一条定直线上D.设直线倾斜角为，为定值〖答案〗CD〖解析〗由抛物线的焦点为，故，即，由题意可知，直线斜率存在，设，，，联立，有，，，，对A：，当时，即有，故，即，即或，故A错误；对B：，故，故B错误；对C：由，，即，有，故，又，故，同理可得，设点，则有，有，，由，，故，，故点E在一条定直线上且该直线为，故C正确；对D：由，，则，故有，即，故为定值且该定值为，故D正确.故选：CD.11.满足，，的数列称为卢卡斯数列，则（）A.存在非零实数t，使得为等差数列B.存在非零实数t，使得为等比数列C.D.〖答案〗BCD〖解析〗对A：若数列为等差数列，则有，即，由，故有恒成立，即有，无解，故不存在这样的实数，故A错误；对B：若数列为等比数列，则有，即，由，故有恒成立，即有，即，解得，此时，故存在非零实数t，使得为等比数列，故B正确；对C：由，则，即有，故C正确；对D：由，故，故，故D正确.故选：BCD.三、填空题12.在二项式的展开式中，常数项为__________．〖答案〗〖解析〗对，有，令，则，则有.故〖答案〗为：.13.已知圆锥的顶点为P，底面圆心为M，底面直径．圆锥的内切球和外接球的球心重合于一点O，则该圆锥的全面积为__________．〖答案〗〖解析〗画出圆锥的轴截面如图所示，由O为圆锥的内切球球心，则有为的角平分线，由O为圆锥的外接球球心，则，故，故，又，故为等边三角形，故，，则.故〖答案〗为：.14.剪纸是一种用剪刀或刻刀在纸上剪刻花纹，用于装点生活或配合其他民俗活动的中国民间艺术．其传承赓续的视觉形象和造型格式，蕴涵了丰富的文化历史信息，表达了广大民众的社会认知、道德观念、实践经验、生活理想和审美情趣，具有认知、教化、表意、抒情、娱乐、交往等多重社会价值．现有如图所示剪纸图案，其花纹中就隐含方程为的曲线C（称为星形线），则曲线C的内切圆半径为__________；以曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于__________．〖答案〗〖解析〗设点在曲线上，则、、亦在曲线上，故曲线关于轴、轴、原点对称，故只需研究第一象限内部分，当，时，由曲线上，故有，即有，则可设，，，即，，则，由，则，则，即曲线C的内切圆半径为；当，时，可化为，，则曲线上的点的切线方程为：，令，则有，令，则有，则.即曲线C上点为切点的直线被坐标轴截得的线段长等于.故〖答案〗为：；.四、解答题15.如图，在平面凸四边形中，.（1）求；（2）若，，求.解：（1）由已知得：，故，所以．因为，故，由三角形内角范围知；（2）由，，故为边长为4的等边三角形，在中，，由正弦定理得，故，由于，所以，故，在中，由余弦定理得，即，得.16.已知函数．（1）当时，求函数的单调区间；（2）若不等式对任意的恒成立，求实数m的取值范围．解：（1）当时，，其定义域为，，令，得（舍去），当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减．所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为；（2）方法1：由条件可知，于是，解得．当时，，构造函数，，，所以函数在上单调递减，于是，因此实数m的取值范围是．方法2：由条件可知对任意的恒成立，令，，只需即可．，令，则，所以函数在上单调递增，于是，所以函数在上单调递增，所以，于是，因此实数m的取值范围是．17.如图，将边长为2的菱形沿其对角线对折，使得点A、D分别位于边长为2的等边所在平面的两侧，且，．设E是的中点．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的正弦值．（1）证明：取的中点O，连接、，如图所示．因为四边形是边长为2的菱形，是边长为2的等边三角形，所以也是边长为2的等边三角形，在等边中，O是的中点，可得且，又因为，可得，所以，因为，且平面，所以平面；又因为平面，故平面平面．（2）解：由（1）知，，．因为O是等边的边中点，可得．所以，以为原点，分别以所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则，可得，因为是边长为2的等边三角形，故，所以，且，又因为，，故平面，则D在平面内，可得，所以，，设平面的法向量为，显然可令；设平面的法向量为，则，令，则，，即，所以，设平面与平面的夹角为，则，故平面与平面的夹角的正弦值为．18.树人高中拟组织学生到某航天基地开展天宫模拟飞行器体验活动，该项活动对学生身体体能指标和航天知识素养有明确要求．学校所有3000名学生参加了遴选活动，遴选活动分以下两个环节，当两个环节均测试合格可以参加体验活动．第一环节：对学生身体体能指标进行测试，当测试值时体能指标合格；第二环节：对身体体能指标符合要求的学生进行航天知识素养测试，测试方案为对A，B两类试题依次作答，均测试合格才能符合遴选要求．每类试题均在题库中随机产生，有两次测试机会，在任一类试题测试中，若第一次测试合格，不再进行第二次测试．若第一次测试不合格，则进行第二次测试，若第二次测试合格，则该类试题测试合格，若第二次测试不合格，则该类试题测试不合格，测试结束．经过统计，该校学生身体体能指标服从正态分布．参考数值：，，．（1）请估计树人高中遴选学生符合身体体能指标的人数（结果取整数）；（2）学生小华通过身体体能指标遴选，进入航天知识素养测试，作答A类试题，每次测试合格的概率为，作答B类试题，每次测试合格的概率为，且每次测试相互独立．①在解答A类试题第一次测试合格的条件下，求测试共进行3次的概率．②若解答A、B两类试题测试合格的类数为X，求X的分布列和数学期望．解：（1）．所以符合该项指标的学生人数为：人．（2）①记表示解答A类试题第一次测试合格，，分别表示解答B类试题第一次和第二次测试合格，测试共进行3次记为事件M，则，．②设X的取值为0，1，2，，，，所以X的分布列为X012P数学期望．19.取整函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域，其定义如下：设，不超过x的最大整数称为x的整数部分，记作，函数称为取整函数．另外也称是x的整数部分，称为x的小数部分．（1）直接写出和的值；（2）设a，，证明：，且，并求在b的倍数中不大于a的正整数的个数；（3）对于任意一个大于1的整数a，a能唯一写为，其中为质数，为整数，且对任意的，，i，，称该式为a的标准分解式，例如100的标准分解式为．证明：在的标准分解式中，质因数（，，）的指数．（1）解：由，故，故，；（2）解：因为，等式两边同时乘b，得，因为a，b