福建省宁德市2022-2023学年高二下学期期中数学数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1福建省宁德市2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知函数，则时，的值趋近于（）A.2a B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意可得.故选：C.2.已知向量，，若，则实数（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗若，则，因为已知向量，，所以，解得，所以.故选：.3.已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则平面和平面的位置关系是（）A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.重合〖答案〗B〖解析〗记平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所以，故，所以.所以平面和平面的位置关系是垂直.故选：B.4.函数的导函数的图象如图所示，则（）A.为函数的零点B.函数在上单调递减C.为函数的极大值点D.是函数的最小值〖答案〗B〖解析〗根据函数零点的概念可判断A；根据导数与函数单调性的关系判断B；根据函数极值点以及最值与导数的关系可判断C，D.由的图象可知，当时，，当时，，故为函数的极大值点，A错误；当时，，故函数在上单调递减，B正确；当时，，当时，，故为函数的极小值点，C错误；当时，，当时，，故为函数的极小值点，而也为函数的极小值点，与的大小不定，故不一定是函数的最小值，D错误,故选：B5.如图，在平行六面体中，，，，，E为中点，则AE的长为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由，两边平方得：.所以.故选：A.6.若函数在上是增函数，则实数a的取值范围为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗函数，，若在递增，则在恒成立，可得,解得，故选：D7.已知的三个顶点分别为，，，则BC边上的高等于（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由题意，，，可得，，，即角B为锐角，所以，所以边上的高.故选：B8.已知函数有两个零点，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗方法1：，有两个零点，即有两根，则，，设，则，令，则，，令，得，则在且；令，得，则在且；，图象如图所示，实数时函数有两个零点.方法2：有两个都零点，即有两根，设，则，令，则，，令，得，则在单调递增且；令，得，则在单调递减且；，图象如图所示，设与相切于则，解得，所以实数时函数有两个零点.故选：C二、多选题（本大题共4小题，共20.0分.在每小题有多项符合题目要求）9.下列求导运算正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，，故A不正确；对于B，，故B正确；对于C，，故C不正确；对于D，，故D正确.故选：BD.10.已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（）A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是C.在方向上的投影向量是 D.平面ABC的一个法向量是〖答案〗BCD〖解析〗A：若与共线，存在使，则无解，故不共线，错误；B：与同向的单位向量是，正确；C：由，则在方向上的投影向量是，正确；D：若是面ABC的一个法向量，则，令，则，正确.故选：BCD11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.在单调递减 B.在单调递增C.有一个极大值是 D.有一个极大值是〖答案〗ACD〖解析〗由得，对于A,当时，，故,因此在单调递减，A正确，对于B,当时，，故在并非一直,因此在并非单调递增，B错误，令，此时单调递减，则当或时，此时单调递增，故当和时，分别取极大值和极小值，对于C,当时，，故C正确，对于D，当时，，故D正确，故选：ACD12.如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（）A.存在点，使得B.过三点、、的正方体的截面面积为C.四面体的内切球的表面积为D.点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆〖答案〗BC〖解析〗对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则，，，；若，则，即，与题意矛盾，所以A错误；对于B，取中点，连接，因为，所以可得、、、四点共面，所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，，过点作，所以，所以梯形的高为，所以，，故B正确；对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，可知四面体是棱长为的正四面体，取的外心，连接，则平面，则，则，所以，所以四面体的高，设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，，即，，所以C正确；对于D，，，∵，∴，即，可得轨迹为圆：，所以，圆心，，又，所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧，所以D错误；故选：BC.三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.曲线在点处的切线的倾斜角是________.〖答案〗〖解析〗，时，，切线斜率为1，又倾斜角范围是，所以切线倾斜角为．故〖答案〗为：．14.向量与共线且满足，则______.〖答案〗〖解析〗设向量，因为，所以，解得，所以.故〖答案〗为：.15.如图，在棱长为1的正方体中，E，F，G分别为，BD，的中点，则与FG所成的角的余弦值为______.〖答案〗〖解析〗建立如图所示空间直角坐标系：则，，，所以，即与FG所成的角的余弦值为.故〖答案〗为：16.设定义在上的函数满足，，若，则的取值范围为_________.〖答案〗〖解析〗设函数，∴，∴在上单调递减，又∵，∴则，即，∴，即.故〖答案〗为：四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知向量，，且.（1）求m的值；（2）若与互相垂直，求实数k的值.解：（1），所以，解得：；（2）当时，，，因为与互相垂直，所以，解得：.18.已知函数.（1）求函数在处的切线方程；（2）求函数在的最大值与最小值.解：（1）∵，函数在处的切线方程的斜率为，又，切点为，切线方程为：即.（2）因为令，得或；令，得，所以在区间上单调递增，在区间上单调递减.所以在处取得极大值，在处取得极小值.又，，，，由（1）知，在区间上的最大值为10，最小值为19.在正四棱柱中，，，E在线段上，且.（1）求证：平面DBE；（2）求直线与平面DBE所成角的正弦值.解：（1）在正四棱柱中，两两垂直，以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则，，，，，，，，，于是，，即且，而平面DBE，所以平面DBE.（2）由（1）得，为平面DBE的一个法向量，因此，所以直线与平面DBE所成角的正弦值为.20.为响应国家“乡村振兴”政策，某村在对口帮扶单位的支持下拟建一个生产农机产品的小型加工厂.经过市场调研，生产该农机产品当年需投入固定成本10万元，每年需另投入流动成本（万元）与成正比（其中x（台）表示产量），并知当生产20台该产品时，需要流动成本0.7万元，每件产品的售价与产量x（台）的函数关系为（万元）（其中）.记当年销售该产品x台获得的利润（利润＝销售收入－生产成本）为万元.（参考数据：，，）（1）求函数的〖解析〗式；（2）当产量x为何值时，该工厂的年利润最大？最大利润是多少？解：（1）依题设：当生产20台该农机产品时，需要流动成本0.7万元得：，可得：，∴；∴.（2）由（1）得，，∵∴时，，单调递增，时，，单调递减，∴时，取得极大值也是最大值，，∴当年产量为50台时，利润最大，最大利润是24.4万元.21.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，，，.（1）证明：平面平面；（2）若，且与平面所成角的正弦值为，点E在线段上满足，求二面角的余弦值.解：（1）由题知且，所以为等边三角形，则，又由四边形为梯形，，则，在中，，所以，即，因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.（2）若O为中点，，则，由（1）得平面平面，平面平面，平面，则平面，连接，则，且平面，所以，，所以，，两两垂直，以为原点，，，分别为轴、轴和轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，可得，，，，设且，则，由平面的一个法向量为，可得，解得，因为，所以，可得，所以，，，设是平面的一个法向量，则，取，可得，所以则，由图形可得的平面角为锐角，所以二面角的余弦值为.22已知函数，；（1）求函数的单调性；（2）设函数，对于任