吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林省长春市2024届高三下学期三模数学试题一、选择题1.经过，，三个点的圆的方程为（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗设经过，，三个点的圆的方程为，由题意可得，解得，且满足，所以经过，，三个点的圆的方程为，即为.故选：C2.已知向量，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗当时，，即，故，解得.故“”是“”的充分不必要条件.故选：A.3.已知函数，则（）A.1 B.2 C.4 D.8〖答案〗B〖解析〗由函数可得，.故选：B.4.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全,根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车,及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了．如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗D〖解析〗设经过个小时才能驾驶，则即.由于在定义域上单调递减，.他至少经过4小时才能驾驶.故选：D.5.已知复数满足，，则（）A.3 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，，且，由已知得，，得，又，故，，同时平方得，，相加并化简得，而，.故选：D6.为了迎接2025年第九届亚冬会的召开，某班组织全班学生开展有关亚冬会知识的竞赛活动．已知该班男生35人，女生25人．根据统计分析，男生组成绩和女生组成绩的方差分别为，该班成绩的方差为，则下列结论中一定正确的是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗设该班男生组成绩和女生组成绩的平均分分别为，，两个班的总的平均分为，则，故选：D.7.已知随机事件，满足，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由已知可得，.因为，所以，.又,所以，.又，所以，.故选：A.8.在同一平面直角坐标系内，函数及其导函数的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为，则（）A.函数的最大值为1B.函数的最小值为1C.函数的最大值为1D.函数的最小值为1〖答案〗C〖解析〗AB选项，由题意可知，两个函数图像都在x轴上方，任何一个为导函数，则另外一个函数应该单调递增，判断可知，虚线部分为，实线部分为，故恒成立，故在R上单调递增，则A，B显然错误，对于C，D，，由图像可知，恒成立，故单调递增，当，，单调递减，所以函数在处取得极大值，也为最大值，，C正确，D错误.故选：C二、选择题9.已知的部分图象如图所示，则（）A.的最小正周期为πB.满足C.在区间的值域为D.在区间上有3个极值点〖答案〗AD〖解析〗由图象可知，，所以，故A正确；又因为，所以，而且，所以，所以函数〖解析〗式为.所以，故B错误；对于C，当时，，所以，所以的值域为，故C错误；对于D，当时，，当取得时，取得极值，所以在上有3个极值点，故D正确.故选：AD.10.设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并且满足条件a1>1，a7a8>1，<0.则下列结论正确的是（）A.0<q<1 B.a7a9<1C.Tn的最大值为T7 D.Sn的最大值为S7〖答案〗ABC〖解析〗∵a1>1，a7·a8>1，<0，∴a7>1，0<a8<1，∴0<q<1，故A正确；，故B正确；因为a7>1，0<a8<1，所以T7是Tn中的最大项，故C正确；因为a1>1，0<q<1，所以Sn无最大值，故D错误.故选：ABC.11.某圆锥的侧面展开图是圆心角为，面积为3π的扇形，则（）A.该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为B.若该圆锥内部有一个圆柱，且其一个底面落在圆锥的底面内，则当圆柱的体积最大时，圆柱的高为C.若该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为D.若该圆锥内部有一个正方体，且底面ABCD在圆锥底面内，当正方体的棱长最大时，以A为球心，半径为的球与正方体表面交线的长度为〖答案〗ACD〖解析〗对于A，由圆锥侧面积公式和扇形弧长公式得，，所以圆锥的高，设圆锥的母线与底面所成角，则，故A对；对于B，设圆锥内切圆柱底面半径为，高为，则有，所以圆柱体积为，设，则，所以当时，单调递增；当时，单调递减，所以时y取得最大值，即时圆柱体积取得最大，此时圆柱的高，故B错.对于C，当球的半径最大时，球为圆锥的内切球，设球的半径设为R，此时圆锥与球的轴截面如图，因为,又，所以，正四面体可由正方体面的对角线切割得到，如图，正四面体外接球与相对应正方体外接球为同一个球，当正四面体的棱长为时，其相对应的正方体棱长为，所以外接球直径为，所以外接球半径为，所以该圆锥内部有一个球，则当球的半径最大时，球的内接正四面体的棱长为，故C对；对于D，设圆锥内接最大正方体棱长为a，则沿着正方体体对角面作圆锥轴截面得到截面图如下，则有，所以正方体面的对角线长为，所以以正方体顶点A为球心，半径为的球与正方体表面交线情况如下图所示，所以交线有两组各有三条长度相等的曲线，第一组曲线如图（1），第二组曲线如图（2），由上，，所以，所以，，所以交线的总长度为.，故D对.故选：ACD.三、填空题12.已知，且，则______．〖答案〗〖解析〗因为，所以.故〖答案〗为：13.直线与抛物线交于两点，若，则中点到轴距离的最小值是______．〖答案〗2〖解析〗如图，由抛物线得焦点，准线方程为，过分别作的垂线，交于，连接，则，当且仅当过点时取等，显然是梯形的中位线，又由中位线定理知，则，故到轴距离的最小值为.故〖答案〗为：2.14.有序实数组称为维向量，为该向量的范数，范数在度量向量的长度和大小方面有着重要的作用．已知维向量，其中．记范数为奇数的的个数为，则______；______．（用含的式子表示）〖答案〗40〖解析〗根据乘法原理和加法原理得到．奇数维向量，范数为奇数，则的个数为奇数，即1的个数为1，3，5，…，，根据乘法原理和加法原理得到，两式相减得到.故〖答案〗为：2；.四、解答题15.在中，角所对边分别为，已知，角的平分线交边于点，且.（1）求角的大小；（2）若，求的面积.解：（1）因为，由正弦定理可得，所以，故，.（2）由题意可知，即，化简可得，在中，由余弦定理得，从而，解得或（舍），所以.16.已知函数．（1）当时，求在处的切线方程；（2）当时，求的单调区间和极值；（3）若对任意，有恒成立，求的取值范围．解：（1）当时，，则，，，所以切线方程为．（2）当时，，．令，，故在R上单调递减，而，因此0是在R上的唯一零点即：0是在R上的唯一零点当x变化时，，的变化情况如下表：x00极大值的单调递增区间为：；递减区间为：的极大值为，无极小值（3）由题意知，即，即，设，则，令，解得，当，，单调递增，当，，单调递减，所以，所以17.已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12．（1）求双曲线C的标准方程；（2）当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．解：（1）双曲线可化为，即双曲线C的标准方程为．（2）设直线l的方程为，，，联立双曲线C与直线l：消去x可得：，，则恒成立，又直线与双曲线交于右支两点，故，，即，进而可得，即AB中点M为，线段AB的中垂线为，则，即．．即为定值1．18.正四棱台的下底面边长为，，为中点，已知点满足，其中．（1）求证；（2）已知平面与平面所成角的余弦值为，当时，求直线与平面所成角的正弦值．（1）证明：方法一：∵，∴．∵∴∴．∴，即．方法二：以底面ABCD的中心O为原点，以OM方向为y轴，过O点平行于AD向前方向为x轴，以过点O垂直平面ABCD向上方向为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正四棱台的高度为h，则有，，，，，，，，，．故，所以．（2）解：设平面ABCD的法向量为，设平面的法向量为，，，则有，即，令，则．又题意可得，可得．因为，经过计算可得，，．将代入，可得平面的法向量．设直线DP与平面所成角的为θ．19.入冬以来，东北成为全国旅游话题的“顶流”．南方游客纷纷北上，体验东北最美的冬天．某景区为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，并在购票平台上推出了优惠券活动，顾客可自由选择A和B两个套餐之一，下表是该景区在购票平台10天销售优惠券情况．日期t12345678910销售量y（千张）1.91.982.22.362.432.592.682.762.70.4经计算可得：，，．（1）由于同时在线人数过多，购票平台在第10天出现网络拥堵，导致当天顾客购买的优惠券数量大幅减少，现剔除第10天数据，求y关于t的回归方程（精确到0.01），并估计第10天的正常销量；（2）假设每位顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，其中A套餐包含一张优惠券，B套餐包含两张优惠券，截止某一时刻，该平台恰好销售了n张优惠券，设其概率为，求；（3）记（2）中所得概率的值构成数列．①求数列的最值；②数列收敛的定义：已知数列，若对于任意给定的正数ε，总存在正整数，使得当时，，（a是一个确定的实数），则称数列收敛于a．根据数列收敛的定