江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省淮安市淮安区2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.四名师范生从A，B，C三所学校中任选一所进行教学实习，其中A学校必有师范生去，则不同的选法方案有（）A.37种 B.65种 C.96种 D.108种〖答案〗B〖解析〗若不考虑限制条件，每人都有3种选择，则共有种方法，若没有人去A学校，每人都有2种选择，则共有种方法，故不同的选法方案有种.故选:B.2.已知，，如果与为共线向量，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为与为共线向量，所以，故选：D3.展开式中的第三项为（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题设，展开式通项为，第三项有，则.故选：D4.将4个6和2个8随机排成一行，则2个8不相邻的情况有（）A.480种 B.240种 C.15种 D.10种〖答案〗D〖解析〗将2个8插空放入不相邻的5个空位（4个6之间有5个空位）中有方法，故2个8不相邻的情况有种.故选：D5.如图，正方体中，P是的中点，给出下列结论：①；②平面③；④平面其中正确的结论个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗建立如图所示空间直角坐标系，设正方体的边长为，则,，不存在实数使得，所以①错误.，设平面的法向量为，则，令，得,故可设，，所以，由于平面，所以平面，②正确.，所以，③正确.，，所以与不垂直，平面，所以与平面不垂直，所以④错误.故正确的个数为个.故选：B6.从3，5，7，11这四个质数中，每次取出两个不同的数，分别记为a，b，则共可得到的不同值的个数为（）A.6 B.8 C.12 D.16〖答案〗C〖解析〗值的个数为从3，5，7，11这四个数中任选2个数的排列数.故选：C7.如图，在平行六面体中，E，F分别在棱和上，且.记，若，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设，因为，所以，，.因为，所以.故选:B.8.在边长为1的正方体中．平面与平面之间的距离为（）A. B.1 C. D.〖答案〗A〖解析〗建立如图所示的直角坐标系，则，，，，所以，，，设平面的一个法向量，则，令得，故，显然平面平面，所以平面与平面之间的距离．故选：A二、选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.（多选题）下列命题中不正确的是（）A.若与共线，与共线，则与共线B.向量，，共面，即它们所在的直线共面C.若两个非零空间向量，，满足，则∥D.若∥，则存在唯一的实数λ，使=λ〖答案〗ABD〖解析〗对于A，若，则与共线，与共线，但与不一定共线，所以A错误，对于B，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，所以B错误，对于C，因为，所以，所以与共线，所以∥，所以C正确，对于D，若，，则不存在，使=λ，所以D错误，故选：ABD10.已知，则的可能取值是（）A.0 B.1 C.2 D.3〖答案〗CD〖解析〗因为，所以，所以，其中，而，所以的值可能是2或3．故选：CD．11.已知为直线l的方向向量，，分别为平面，的法向量（，不重合），那么下列说法中，正确的有（）．A.∥∥ B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗对于选项A，，分别为平面，的法向量，若，则，若则，选项A正确；对于选项B，因为，选项B正确；对于选项C，因为，则，选项C错误；对于选项D，因为，则∥或，选项D错误；故选：AB.12.在棱长为3的正方体中，点在棱上运动（不与顶点重合），则点到平面的距离可以是（）A. B. C.2 D.〖答案〗CD〖解析〗以D为原点，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则，设，所以，，设为平面的法向量，则有：，令，可得，则点到平面的距离为，因为，所以距离的范围是.故选：CD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13.A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法有______种．〖答案〗24〖解析〗根据题意，A、B必须相邻且B在A的右边，视A、B为一个元素，且只有一种排法；将A、B与其他3个元素，共4个元素全排列，有种排法，则符合条件的排法有1×24=24种；故〖答案〗为：24．14.三棱锥中，平面与平面的法向量分别为，若，则二面角的大小为______．〖答案〗或〖解析〗因为二面角的大小与法向量夹角相等或互补且，所以二面角的大小为或.故〖答案〗：或.15.若的展开式中常数项为70，则______．〖答案〗〖解析〗展开式的通项公式为，当时，，；当时，，，所以常数项为，解得．故〖答案〗为：16.将6个不同小球装入编号为1，2，3，4，5的5个盒子，不允许有空盒子出现，共________种放法；若将6个相同小球放入这5个盒子，允许有空盒子出现，共________种放法.（结果用数字作答）〖答案〗①1800②210〖解析〗由题意得：由6个不同小球分成5组，每组个数分别为1，1，1，1，2，不同的分组情况有种方法，再将5组球分别放入5个盒子共有种；6个相同的小球放入5个盒子，若允许有空盒子，可先借5个球，然后再将11个球的10个空间中插入4块板，共有种.故〖答案〗为：1800；210四、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．）17.如图，在长方体中，，分别是的中点，，以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）写出四点的坐标；（2）求．解：（1），，则，，，，，为中点，.（2）由（1）得：，，.18.用0、1、2，3、4、5组成无重复数字的四位数，求分别满足下列条件的四位数的个数．（1）能被25整除的数；（2）十位数字比个位数字大的数．解：（1）能被25整除的四位数的末两位数字只能为25或50两种，末尾为50的四位数有个，末尾为25的有个，所以一共有（个）．（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的四位数，一共有（个）．因为在这300个数中，十位数字与个位数字的大小关系是“等可能的”，所以十位数字比个位数字大的数有（个）．19.已知，该展开式二项式系数和为．（1）求的值；（2）求的值．解：（1）由题意，结合二项式系数的性质可得，，解得.（2）由（1）可得，令可得，令可得，所以，即.20.如图，四棱柱的底面是菱形，⊥底面ABCD，AB=BD=2，，E，F分别是棱BB1，DD1上的动点（不含端点），且.（1）求四棱锥的体积；（2）当BE=1时，求平面AEF与平面夹角的余弦值.解：（1）如图，连接AC交BD于点O，因为底面ABCD是菱形，所以，因为点E，F分别在，上，所以BEDF，又⊥底面ABCD，AO底面ABCD，BD底面ABCD，所以BE⊥BD，BE⊥AO，所以四边形BEFD是直角梯形，且因为，，所以，又因为，平面BEFD，所以AO⊥平面BEFD，即AO是四棱锥的高，因为AB=BD=2，底面ABCD是菱形，所以是等边三角形，故，，所以，所以四棱锥的体积为（2）以O为原点，分别以OA，OB所在直线为x轴，y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，.设是平面AEF的法向量，则，取，则，.所以，是平面AEF的一个法向量，由（1）可知，OA⊥平面BEFD，即OA⊥平面，所以是平面的一个法向量，而，所以平面AEF与平面夹角的余弦值为.21.在①PA⊥平面ABC，②BC⊥AC，③PB⊥BC三个条件中选两个条件补充在下面的线处，使得BC⊥平面PAC成立，请说明理由，并在此条件下进一步解答该题.如图，在三棱锥P-ABC中，若＿＿＿＿＿，且PA＝2AC＝BC＝2，求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.解：若选③，由知，为直角三角形，所以不垂直又平面，所以不可能垂直于平面，所以③必不选，故选①②证明如下：因为平面，平面，所以因为，，所以平面作平面，易知两两相互垂直，以为坐标原点，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如图空间直角坐标系因为，所以所以设平面的一个法向量为，则，所以令，得，所以所以直线与平面所成角的正弦值为22.如图，在四棱锥中，，，，，，，平面PAD，点M满足．（1）若，求证：平面平面；（2）设平面MPC与平面PCD的夹角为，若