江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省无锡市江阴市两校联考2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1.已知，为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗B〖解析〗根据向量数量积的定义式可知，若，则与夹角为锐角或零角，若与夹角为锐角，则一定有，所以“”是“与夹角为锐角”的必要不充分条件.故选：B.2.已知一个圆锥的母线长为2，其侧面积为，则该圆锥的体积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为，由

，则，则圆锥的体积为

.故选：A.3.△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则的值为（）A.19 B.14 C.-18 D.-19〖答案〗D〖解析〗由于，，，则，则．故选：D．4.在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（）A.45° B.135°C90° D.45°或135°〖答案〗D〖解析〗因∠A的两边分别平行于x轴、y轴，故∠A＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.故选：D.5.已知均为单位向量．若，则在上的投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，可得，所以，则在上的投影向量为.故选：D.6.已知点O是内部一点，并且满足，的面积为，的面积为，则（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗A〖解析〗因，所以，所以，取的中点，则，，即为中线的中点，如图所示，则的面积为，的面积为，，所以.故选：A.7.在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包.假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（）A.越小越费力，越大越省力 B.的范围为C.当时， D.当时，〖答案〗D〖解析〗对A，为定值，，解得；由题意知：时，单调递减，单调递增，即越大越费力，越小越省力，故A错误；对B，当时，不满足题意，故B错误；对C，当时，，，故C错误；对D，当时，，，故D正确.故选：D.8.如图，水平放置的正四棱台玻璃容器的高为，两底面对角线、的长分别为、，水深为.则玻璃容器里面水的体积是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设水面（上底面）的所在正方形的边长为，由题意可知，正方形的边长为，正方形的边长为，将正四棱台的各侧棱延长交于点，设正四棱锥的为，则，解得，因为，解得，因此，水的体积为.故选：A.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.下列命题中是真命题的是（）A.在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD是菱形B.若点G为的外心，则C.向量，能作为平面内的一组基底D.若O为△所在平面内任一点，且满足，则△为等腰三角形〖答案〗AD〖解析〗A：四边形ABCD中，由知：线段、平行且相等，由知：对角线相互垂直，即ABCD是菱形，真命题；B：以钝角△的外心为例，显然若点G为外心时，，假命题；C：由已知有，显然共线，所以不能作为平面内的一组基底，假命题；D：，，若为中点，则，由有，所以垂直平分，即，故△为等腰三角形.故选：AD.10.中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，S为的面积，且，，下列选项正确的是（）A.B.若，则只有一解C.若为锐角三角形，则b取值范围是D.若D为边上的中点，则的最大值为〖答案〗CD〖解析〗根据平面向量数量积公式及三角形面积公式由，因为，所以，故A错误；由上可知：，故有两解，故B错误；若为锐角三角形，则，且，即，由正弦定理可知：，故C正确；若D为边上的中点，则，由余弦定理知，根据基本不等式有，当且仅当时取得等号，所以，即，故D正确.故选：CD.11.如图，矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折至的位置．若为线段的中点，在翻折过程中（平面），下列结论正确的是（）A.三棱锥体积最大值为 B.直线平面C.直线与所成角为定值 D.存在，使〖答案〗ABC〖解析〗对于A，取线段的中点，连接，连接交于点，过点在平面内作，垂足为点，在矩形中，且，因为、分别为、的中点，则且，因为，所以，故四边形为正方形，同理可知四边形也为正方形，因为，则为的中点，且，将沿直线翻折至的位置，则，且，所以，且，因为，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，因为，，平面，平面，所以平面，且，因为，所以，当且仅当为直角时，等号成立，故A正确；对于B，连接交于点，连接、，因为四边形为正方形，，则为的中点，又因为为的中点，所以，，因为平面，平面，所以平面，同理可证平面，因为，平面，平面，所以平面平面，因为平面，所以平面，故B正确；对于C，因为，所以直线与所成角为直线与所成角，因为，，，所以，因为，所以，为等腰直角三角形，且，所以，，中，，，由余弦定理可得，所以，，所以，直线与所成角为为定值，故C正确；对于D，假设存在使得，易知，因为，所以，所以，因为，，平面，平面，所以平面，因为平面，所以，事实上，为等腰直角三角形，且，这与矛盾，故假设不成立，故D错误.故选：ABC.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知点与点，点在直线上，且，则点的坐标为_________.〖答案〗或〖解析〗设，则由，得或，若，则，所以解得故，若，同理可解得故，综上，点的坐标为或.故〖答案〗为或.13.点是边长为2正三角形的三条边上任意一点，则的最小值为___________.〖答案〗〖解析〗不妨假设在上且，如下图示，所以，在且，设，则，，，所以，故，当时，的最小值为.故〖答案〗为：.14.若正三棱台中上底的边长为1，下底的边长为2，侧棱长为1，则它的表面积为_________，与所成角的余弦值为_______________．〖答案〗〖解析〗根据题意正三棱台的上下底面为等边三角形，上底面为边长为1的等边三级形，下底为边长为2的等边三角形，侧面为等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以高，所以面积，延长交于点，由上底的边长为1，下底的边长为2，所以分别为中点，作中点，中点，连接，，则与所成角即为和所成角，连接，在底面的投影为，为底面的中心且在上，作于，显然由，，所以，所以，，所以，，在等腰梯形上底边长为1，下底边长为2，腰长为1，所以，，在中，，根据线线所成角的范围，则与所成角的余弦值为.故〖答案〗为：.四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.将形如的符号称为二阶行列式，现规定二阶行列式的运算如下：．已知两个不共线的向量，的夹角为，，（其中），且．（1）若为钝角，试探究与能否垂直？若能，求出的值；若不能，请说明理由；（2）若，当时，求的最小值并求出此时与的夹角．解：（1）由题意，因为，可得，解得，即，则，所以，因为为钝角，所以，故，所以与不可能垂直．（2）因为，所以，所以，当时，，所以，此时，因为，所以，又因为，所以．16.如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．（1）判断多面体是否为棱柱并说明理由；（2）求多面体的体积；（3）求证：平面平面AB1D．解：（1）多面体不是棱柱．理由如下：因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.（2）易知三棱柱的体积，三棱锥的体积，易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，故多面体的体积．（3）因为D，E分别是，AC的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面，易知，得四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面，而，BE，平面，所以平面平面．17.已知梯形中，，，，E为的中点，连接AE.（1）若，求证：B，F，D三点共线；（2）求与所成角的余弦值；（3）若P为以B为圆心、BA为半径的圆弧（包含A，C）上的任意一点，当点在圆弧（包含A，C）上运动时，求的最小值．解：（1）如图1，∵，，∴，∴B，F，D三点共线.（2）如图1，∵，∴，∵，∴，∴，，.（3）如图2，∵，，∴，设，则，，∵，，∴当，即时，取最小值.18.在①；②；③设的面积为，且．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上．并加以解答．在中，角，，的对边分别为，，，且_____，．（1）若，求的面积；（2）求周长的范围（3）若为锐角三角形，求的取值范围．解：（1）选①，由正弦定理得，整理得，即，因为，所以，又，故.选②，因为，所以，又，故．又，故.选③，因为，即，所以，根据余弦定理可得，所以，又，故.由余弦定理得，即，解得，所以的面积.（2）由余弦定理得，即所以，因为，所以，所以，所以周长的范围为.（3）由（1）知，，由正弦定理得：，在锐角中，，，即，所以，即，又，所以，所以的取值范围是.19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，分别为和的中点，为棱上的动点（包括端点）．，若平面与棱交于点．（1）请补全平面与棱柱的截面，并指出点的位置；（2）求证：平面；（3）当点运动时，试判断三棱锥