江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期期中学业质量监测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期期中学业质量监测数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点坐标为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗点关于平面的对称点坐标为.故选：C.2.如图，在平行六面体中，设，，，则下列与向量相等的表达式是（）．A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗对选项A：，错误；对选项B：，错误；对选项C：，错误；对选项D：，正确．故选：D3.从5名学生中选出正，副班长各一名，不同选法种数是（）A.9 B.10 C.20 D.25〖答案〗C〖解析〗从5名学生中选出正，副班长各一名，不同的选法种数是.故选：C4.将4名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰，短道速滑，冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，志愿者小明不去花样滑冰项目，则不同的分配方案共有（）A.12种 B.18种 C.24种 D.48种〖答案〗B〖解析〗志愿者小明不去花样滑冰项目，则小明有3种分配方法，将另外3名志愿者分配剩下的3个项目，有种分配方法，根据分步乘法计数原理可得不同的分配方案共有种．故选：B．5.用0，1，2，3，4可以组成没有重复数字的四位偶数的个数为（）A.36 B.48 C.60 D.72〖答案〗C〖解析〗当个位数为0时，有个，当个位数为2或4时，有个，所以无重复数字的四位偶数有24+36=60个，故选：C.6.小明准备将新买的中国古典长篇小说四大名著《红楼梦》､《三国演义》､《水浒传》､《西游记》和《论语》五本书立起来放在书架上，若要求《三国演义》､《水浒传》两本书相邻，且《论语》放在两端，则不同的摆放方法有（）A.18种 B.24种 C.36种 D.48种〖答案〗B〖解析〗第一步：《论语》放在两端，有种不同的摆放方法；第二步：将《三国演义》､《水浒传》两本书捆绑，再与剩余的两本书一起排列，有种不同的摆放方法；所以共有种不同的摆放方法.故选：B.7.在下列条件中，一定能使空间中的四点共面的是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗根据向量共面定理，，若A，B，C不共线，且A，B，C，M共面，则其充要条件是，由此可得A，B，D不正确，选项C：，所以四点共面，故选：C.8.如图，在直三棱柱中，是的中点，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．若，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得，设，则有，由得，，异面直线与所成角的余弦值为.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.空间中三点是坐标原点，则（）A. B.C.点关于平面对称的点为 D.与夹角的余弦值是〖答案〗AB〖解析〗由题意可得：，，所以，故A正确；，即，故B正确；点关于平面对称的点为，故C错误；，故D错误.故选：AB10.下列关于空间向量的命题中，正确的有（）A.直线的方向向量，平面的法向量是，则；B.若非零向量满足，则有；C.若是空间的一组基底，且，则四点共面；D.若是空间的一组基底，则向量也是空间一组基底；〖答案〗CD〖解析〗对于A：因为，所以，又因为为直线的方向向量，为平面的法向量，所以，故A错误；对于B：若非零向量满足，则和的关系不确定，故B错误；对于C：若，，是空间的一组基底，且，则，即,可得A，B，C，D四点共面，故C正确；对于D：因为，，是空间的一组基底，所以对于空间中的任意一个向量，存在唯一的实数组，使所以向量，，也是空间一组基底，故D正确，故选：CD．11.下列选项正确的是（）A.有6个不同的球，取5个放入5个不同的盒子中，每个盒子恰好放1个，则不同的存放方式有720种B.有7个不同的球，全部放入5个相同的盒子中，每个盒子至少放1个，则不同的存放方式有140种C.有7个相同的球，取5个放入3个不同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有18种D.有7个相同的球，全部放入3个相同的盒子中，允许有盒子空，则不同的存放方式有8种〖答案〗ABD〖解析〗选项A，6个球选5个的排列，方法数为，A正确；选项B，按球的个数分类讨论得方法数为：，B正确；选项C，用插隔板法，相当于8个相同的球放入3个不同的盒子，每个盒子里至少一个球，方法数为，C错误；选项D，存放方法在于球的个数，相当于把7分成3个数的和（可以是0），，共8种方法，D正确．故选：ABD．12.已知正方体的棱长为，为侧面的中心，为棱的中点，为线段上的动点（不含端点），为上底面内的动点，则下列结论正确的是（）A.三棱锥的体积为定值B.若平面，则C.若，则线段的最大值为D.当与的所成角为时，点的轨迹为抛物线的一部分〖答案〗ACD〖解析〗因为为侧面的中心，所以为的中点，又为棱的中点，所以，所以点到直线距离等于点到直线的距离，所以点到直线的距离等于点到直线的距离的一半，设，所以点到直线的距离为，所以点到直线的距离为，所以的面积，又，，且，平面，所以平面，所以三棱锥的体积，A正确；如图以点为原点，为的正方向，建立空间直角坐标系，则，所以，所以，所以向量为平面的一个法向量，设，，所以，因为平面，所以，所以，所以，所以，B错误；设，则，又，因为，所以，所以，所以，又，所以，所以当时，线段取最大值，最大值为；C正确；因为，，又与的所成角为，所以，化简可得，且，所以点的轨迹为抛物线的一部分，D正确；故选：ACD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______．〖答案〗715〖解析〗∵，∴=……=.故〖答案〗为：.14.在空间直角坐标系中，已知，点满足，则点的坐标为__________．〖答案〗〖解析〗设，则，，故，得，故〖答案〗为：.15.10名同学进行队列训练，站成前排4人后排6人，现体育教师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法有__________种．（数字作答）〖答案〗450〖解析〗先从后排6人中抽2人，有种选法，再将抽2人调整到前排，共有6人，且其他人的相对顺序不变，有种选法，故不同调整方法有种.故〖答案〗为：450.16.在直四棱柱中，底面是边长为2的正方形，．点是侧面内的动点（不含边界），，则与平面所成角的正切值的取值范围为__________．〖答案〗〖解析〗如图所示建立空间直角坐标系，则，，设，得，，由题意得，故，得，故点轨迹是以为圆心，1为半径的圆在正方形内的部分，由题可知为的中点，如图，当共线时，取得最小值为，而，所以，因为平面，所以与平面所成角即为，所以，故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤．17.已知，，，，，求：（1），，；（2）与所成角的余弦值．解：（1）因为，故，解得，故，.由可得，解得，故.（2），，故与所成角的余弦值.18.3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数.（1）选5名同学排成一排：（2）全体站成一排，甲、乙不在两端：（3）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起；（4）全体站成一排，男生彼此不相邻；解：（1）无条件的排列问题,排法有种.（2）先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列，所以有种.（3）相邻问题，利用捆绑法，共有种.（4）即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法，所以共有种.19.按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方式？（1）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；（2）甲､乙､丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；（3）平均分成三份，每份2本：解：（1）依题意，先选1本有种选法；再从余下的5本中选2本有种选法；最后余下3本全选有种方法，故共有种．（2）由（1）知，分组后共有60种方法，分别分给甲､乙､丙的方法共有种．（3）分三步，先从6本书选2本，再从4本书选2本，剩余的就是最后一份2本书，共有种方法，该过程出现了重复．不妨记6本书为､､､､､，若第一步取了，第二步取了，第三步取了，记该种分法为，，，则种分法中还有，，､，，､，，､，，､，，，共种情况，而这种情况仅是､､的顺序不同，因此只能作为一种分法，故分配方式有种．20.已知：在四棱锥中，底面为正方形，侧棱平面，点为中点，．（1）求证：平面平面；（2）求直线与平面所成角大小；解：（1）因为平面，平面，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因为点M为中点，，所以，又平面，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，由已知可得，因为平面，所以即为平面PCD的一个法向量，，设直线与平面所成角为，则，又，所以，即直线与平面所成角的大小为．21.如图，在棱长为1的正方体中，点分别是棱上的动点，且（1）求证：；（2）当三棱锥的体积取得最大值时，求二面角的正弦值．解：（1）设，以为原点建立空间直角坐标系，，，，，，，，，，，则，，因为，故．（2）设，以为原点建立空间直角坐标系，因为，所以当取得最大值时，三棱锥B1﹣BEF的体积取得最大值．因为，所以当时，即，分别是棱，的中点时，体积取得最大值，此时，坐标分别为，，，，设平面的法向量为，则，令，则，得．底面的一个法向量为．设二面角的平面角为，由题意知为锐角．因为，所以，于是．即二面角的正弦值为．22.如图，在三棱锥中，分别为的中点，为正三角形，平面平面．（1）求点到平面的距离；（2）在线段上是否存在异于端点的点，使得平面和平面夹角的余弦值为若存在，确定