江苏省扬州市宝应县2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省扬州市宝应县2022-2023学年高二下学期期中数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将本人的学校、班级、姓名、考试号填在答题卡上．2．将每题的〖答案〗或解答写在答题卡上，在试卷上答题无效．3．考试结束，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知在四面体中，为的中点，，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗如图所示，因为为的中点，，且，则.故选：D.2.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则实数等于（

）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以，所以，即，解得.故选：C3.若，且与的夹角的余弦值为，则()A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由可得，因为与的夹角的余弦值为，所以==，解得，∴=，故选：C．4.已知随机变量服从正态分布，则（）A.4 B.6 C.11 D.8〖答案〗D〖解析〗∵随机变量服从正态分布，∴，则．故选：D．5.用，，，四个数字组成没有重复数字的三位偶数，共有（）A.个 B.个 C.个 D.个〖答案〗D〖解析〗先排个位数，有2种选择，再排十位和百位，由种选择，根据分步乘法计数原理可得共有个不重复的三位偶数，故选：D6.某个班级名学生中，有男生名，女生名，男生中有名团员，女生中有名团员．在该班随机选取名学生，在选到的是团员的条件下，选到的是男生的概率为（

）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗记事件A为“选到团员”，事件B为“选到男生”，

则，，

所以.故选：D．7.设某工厂有甲､乙､丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲､乙､丙三个车间的产量比为5：7：8，已知取出甲､乙､丙三个车间的产品，次品率依次为0.05､0.04､0.02，现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为（）A.0.11 B.0.69 C.0.0345 D.0.04〖答案〗C〖解析〗因为甲､乙､丙三个车间的产量比为5：7：8，所以在这批产品中甲占，乙占，丙占，所以从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为故选：C.8.元宵节是中国传统佳节，放烟花、吃汤圆、观花灯是常见的元宵活动．某社区计划举办元宵节找花灯活动，准备在个不同的地方悬挂盏不同的花灯，其中盏是人物灯．现要求这个地方都有灯（同一地方的花灯不考虑位置的差别），且人物灯不能挂在同一个地方，则不同的悬挂方法种数有（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据题意，分步分析：①将盏不同的灯分为组，要求两盏人物灯不在同一组，若分为、、的三组，有种分组方法，若分为、、的三组，有种分组方法，则有种分组方法，②将分好的三组全排列，安排到个不同的地方，有种情况，则有种安排方法，故选：A．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知向量，则下列结论中正确的是（）A.若，则B.若，则C.不存在实数，使得D.若，则〖答案〗AC〖解析〗对于A中，由，可得，解得，故A选项正确；对于B中，由，可得，解得，故B选项错误；对于C中，若存在实数，使得，则，显然无解，即不存在实数，使得，故C选项正确；对于D中，若，则，解得，于是，故D选项错误.故选：AC10.对于，，下列排列组合数结论正确的是（

）A. B. C. D.〖答案〗AB〖解析〗，故A正确；由组合数的性质，可得，B正确；，，故C不对；，，故D不对.故选：AB11.一个口袋中有大小形状完全相同的个红球和个白球，从中取出个球.下列命题正确的是（）A.如果是不放回地抽取，那么取出个红球和取出个白球是对立事件B.如果是不放回地抽取，那么第次取到红球的概率等于第次取到红球的概率C.如果是有放回地抽取，那么取出个红球个白球的概率是D.如果是有放回地抽取，那么在至少取出一个红球的条件下，第次取出红球的概率是〖答案〗BCD〖解析〗对于A：如果是不放回地抽取，那么得到的取球结果有（红红）（白白）（白红）（红白），取出两个红球和取出两个白球不是对立事件，故A错误；对于B：如果是不放回地抽取，那么第2次取到红球的概率为，第1次取到红球的概率为，故B正确；对于C：如果是有放回地抽取，那么取出1个红球1个白球的概率是，故C正确；对于D：至少取出一个红球的概率为，至少取出一个红球且第二次取出红球的概率（两红）（第一次白第二次红），故，故D正确．故选：BCD12.的展开式中第项和第项的二项式系数相等，则以下判断正确的是（）A.第项的二项式系数最大 B.所有奇数项二项式系数的和为C. D.〖答案〗AC〖解析〗由题意，可得，所以，对于A中，根据二项式定理的性质，可得中间项第项的二项式系数最大，所以A正确；对于B中，根据二项式系数的性质，可得所有奇数项二项式系数的和为，所以B错误；对于C中，对于C中，令，可得，令，可得，所以，所以C正确；对于D中，由，可得，即，令，可得，所以D错误.故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知点，平面经过原点，且垂直于向量，则点到平面的距离为__________．〖答案〗〖解析〗由题意，，，故，所以点到平面的距离为．故〖答案〗为：14.如图，已知平行六面体中，，，.为的中点，则长度为________.〖答案〗〖解析〗，，，，，，，，即.故〖答案〗为：15.为了监控某种食品的生产包装过程，检验员每天从生产线上随机抽取包食品，并测量其质量（单位：g）.根据长期的生产经验，这条生产线正常状态下每包食品质量服从正态分布.假设生产状态正常，记表示每天抽取的k包食品中其质量在之外的包数，若的数学期望，则k的最小值为________.附：若随机变量X服从正态分布，则.〖答案〗19〖解析〗依题意，所以在之外的概率，则，则，因为，所以，解得，因为，所以的最小值为.故〖答案〗：19.16.“回文”是古今中外都有的一种修辞手法，如“我为人人，人人为我”等.数学上具有这样特征的一类数称为“回文数”.“回文数”是指从左到右与从右到左读都一样的正整数，如121，241142等，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有________个．（用数字作答）〖答案〗〖解析〗依题意，五位正整数中的“回文数”具有：万位与个位数字相同，且不能为0；千位与十位数字相同，求有且仅有两位数字是奇数的“回文数”的个数有两类办法：最多1个0，取奇数字有种，取能重复的偶数字有种，它们排入数位有种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，最少2个0，取奇数字有种，占万位和个位，两个0占位有1种，取偶数字占百位有种，不同“回文数”的个数是个，由分类加法计算原理知，在所有五位正整数中，有且仅有两位数字是奇数的“回文数”共有个.故〖答案〗为：四、解答题（本题共计7小题，每题10分，共计70分）17.已知展开式中的第3项与倒数第2项的二项式系数之和为55.（1）求n的值；（2）求展开式中所有的有理项.解：（1）由已知第3项与倒数第2项的二项式系数之和为55，得，即，解得或(舍去).故n的值为.（2）展开式的通项是，要为有理项，则必须为6的倍数，于是或，所以有理项是，，故而展开式中的有理项为和13440.18.某个学习小组有4个男生，6个女生．（1）从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少的选法有多少种？（用数字作答）（2）现安排4个男生参加运动会志愿者服务活动，有翻译､导游､礼仪三项工作可以安排，（i）若每人都安排一项工作，则不同的选法有多少种？（用数字作答）（ii）若每项工作至少有1人参加，则不同的选法有多少种？（用数字作答）解：（1）从中任选出4个学生，要求男生的个数不比女生少有三种情况，①2个男生2个女生，有种；②3个男生1个女生，有种；③4个男生0个女生，有种；故男生的个数不比女生少的选法有种；（2）（i）每人从三项工作可以选其中一项，4个男生共有选法；（ii）若每项工作至少有1人参加，4个男生必须有两个人一组，其余两个人一人一组，共有种分法，然后再把这三组分配到翻译､导游､礼仪三项工作，共有种选法.19.直三棱柱中，，为的中点，为的中点，为的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面所成二面角的余弦值．解：（1）在直三棱柱中，平面，且，则，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则、、、、、、、、，则，易知平面的一个法向量为，则，故，平面，故平面.（2）由（1）可知，，，，设平面的法向量为，则，取，可得，.令直线与平面所成角为，则，因此，直线与平面所成角的正弦值为.（3）由（1）可得，，，设平面的法向量为，则，取，可得，则，令平面与平面所成二面角为，由图可知，所以，即平面与平面所成二面角的余弦值为.20.企业为了监控某种零件的一条流水生产线的产品质量，检验员从该生产线上随机抽取100个零件，测量其尺寸（单位：）并经过统计分析，得到这100个零件的平均尺寸为10，标准差为0.5.企业规定：若，该零件为一等品，企业获利20元；若且，该零件为二等品，企业获利10元；否则，该零件为不合格品，企业损失40元.（1）在某一时刻内，依次下线10个零件，如果其中出现了不合格品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查若这10个零件的尺寸分别为9.6，10.5，9.8，10.1，10.7，9.4，10.9，9.5，10，10.9，则从这一天抽检的结果看，是否需要对当天的生产过程进行检查？（2）将样本的估计近似地看作总体的估计通过检验发现，该零件的尺寸服从正态分布.其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i）从下线的零件中随机抽取20件，设其中为合格品的个数为，求的数学期望（结果保留整数）（ii）试估计生产10000个零件所获得的利润.附：若随机变量服从正态分布,则，，.解：（1）由于这10个零件的尺寸都在内．所以不需要对当天的生产过程进行检查．（2）（i）因为合格品的尺寸范围为．所以抽取1个零件为合格品的概率为．由题意．得．所以．（ii）10000个零件中，一等品约为（个），二等品约为（个），不合格品约为（个）.生产10000个零件，估计所获得的利润为（元）．21.如图，已知三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点，点在直线上，且；（1）证明：无论取何值，总有；（2）当取何值时，直线与平面所成的角最大？并求该角取最大值时的正切值；（3）是否存在点，使得平面与平面所成的二面角为，若存在，试确定点的位置，若不存在，请说明理由．解：（1）如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，∵,，∴，所以无论取何值，.（2）∵是平面ABC的一个法向量.∴∴当时，取得最大值，此时，，.（3）假设存在，则，设是平面的一个法向量.则得，令，得，，∴，∴，化简得(*)，∵，∴方程（*）无解∴不存在点使得平面与平面所成的二面角为.22.为了拓展学生的知识面，提高学生对航空航天科技的兴趣，培养学生良好的科学素养，某校组织学生参加航空航天科普知识答题竞赛，每位参赛学生答题若干次，答题赋分方法如下：第1次答题，答对得20分，答错得10分：从第2次答题开始，答对则获得上一次答题得分的两倍，答错得10分.学生甲参加答题竞赛，每次答对的概率为，各次答题结果互不影响.（1）求甲前3次答题得分之和为40分的概率；（2）记甲第i次答题所得分数的数学期望为.①写出与满足的等量关系式（直接写出结果，不必证明）：②若，求i的最小值.解：（1）甲前