江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期期中数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江苏省镇江市2022-2023学年高二下学期期中数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足z（1＋i）＝2（i为虚数单位），则在复平面内复数z对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴在复平面内复数z对应的点位于第四象限．故选：D．2.函数的导函数为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗依题知，，即，由求导公式：，复合函数的求导法则：设，则得：，故选：D.3.已知，，，则是（）A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形〖答案〗A〖解析〗，，，，，，，是直角三角形．故选：A．4.已知等差数列的前项和为，且，则（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗D〖解析〗因为，又，所以.故选：D.5.青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗建立平面直角坐标系，如图所示，设抛物线的方程为，其焦点为，碗口直径为，碗深，所以抛物线过点，所以，解得，所以抛物线的方程为，设，过中点作轴，由抛物线的定义可得，解得，所以，所以筷子的中点离桌面的距离为.故选：B.6.从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，则至少有一名女生当选的不同选举结果为（）A.12 B.14 C.16 D.18〖答案〗B〖解析〗从3名男同学和2名女同学候选人中，选一名班长和一名团支部书记，共有：种，没有一名女生当选，共有种，故至少有一名女生当选的不同选举结果为种.故选：B.7.已知为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，若等于的最小值的3倍，则C的离心率为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗为椭圆C：的右焦点，P为C上的动点，由椭圆的性质，可得.过F且垂直于x轴的直线与C交于M，N两点，.等于的最小值的3倍，.椭圆中，，即，则.，，解得或（舍）.故选：B.8.求和：（）A.512 B.1024 C.5120 D.10240〖答案〗C〖解析〗令，①则，即，②①②可得，，故．故选：C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知虚数，，则（）A. B.C. D.是方程的一个根〖答案〗BCD〖解析〗对于A选项，因为，所以，故A错；对于B选项，，所以，故B对；对于C选项，，故C对；对于D选项，由，可得，解得或，故D对.故选：BCD.10.已知，则（）A.B.C.数列，，，…，，的最大项为D.〖答案〗BD〖解析〗对于A，的通项为：，令，则，故A错误；对于B，令可得：，故B正确；对于C，由的通项知，，故数列，，，…，，的最大项不为，故C错误；对于D，对函数两边同时取导，可得：，令可得：，故D正确.故选：BD.11.已知函数，则（）A.函数有两个极值点 B.函数的所有极值的和为2C.函数只有1个零点 D.是函数图像的一条切线〖答案〗ABC〖解析〗由函数，可得，令，解得，当时，，单调递减；当时，，单调递增；当时，，单调递减，所以函数当时，取得极小值，极小值为，当时，取得极大值，极大值为，所以，又由当时，，所以函数只有一个零点，所以A、B、C正确.假设是曲线的切线，设切点为，则，解得或，显然点和均不在曲线上，所以D错误.故选：ABC.12.已知点，，动点在：上，则（）A.直线与相交B.线段的中点轨迹是一个圆C.的面积最大值为D.在运动过程中，能且只能得到4个不同的〖答案〗BD〖解析〗对于A，因为，，所以，所以直线的方程，即，由，得，所以圆心，半径为3，所以圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，所以A错误，对于B，设线段的中点为，则，因为点在圆上，所以，即表示一个圆，所以线段的中点轨迹是一个圆，所以B正确，对于C，的面积最大值为，所以C错误，对于D，①设与直线垂直且过点的直线为，则，得，即直线为，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆有两个交点，所以以为直角顶点的直角三角形有2个，②设与直线垂直且过点的直线为，则，得，即直线为，因为圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，无公共点，所以以为直角顶点的直角三角形不存在，③以为直径的圆为，设圆心为，则，半径为，所以，因为，所以以为直径的圆与圆相交，所以以为直角顶点的直角三角形有2个，综上，在运动过程中，能且只能得到4个不同的，所以D正确，故选：BD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在展开式中，项的系数为______.〖答案〗〖解析〗由题意，多项式，根据组合数的运算，展开式中的系数为，又由.故〖答案〗为：.14.双曲线：（，）的焦点到渐近线的距离等于，则双曲线的渐近线方程为______.〖答案〗〖解析〗由已知可得双曲线的焦点坐标为，渐进线方程为，则点到渐近线，即的距离.又因为，所以，所以，双曲线的渐近线方程为.故〖答案〗为：.15.今天是第一天星期一，则第天是星期______.〖答案〗一〖解析〗因，所以，除以7的余数为1，所以，第天是星期一.故〖答案〗为：一.16.某公司第1年年初向银行贷款1000万元投资项目，贷款按复利计算，年利率为10%，约定一次性还款.贷款一年后每年年初该项目产生利润300万元，利润随即存入银行，存款利息按复利计算，年利率也为10%，则到第年年初该项目总收益为______万元，到第______年的年初，可以一次性还清贷款.〖答案〗①②〖解析〗由题知，到第年年初，借贷总额为，总收益为，当时，，当时，，故第年年初该项目总收益为，到第年的年初，可以一次性还清贷款.故〖答案〗为：；四、解答题：共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知，二项式.（1）若该二项展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，求展开式中的系数；（2）若展开式的前三项的系数成等差数列，求展开式中系数最大的项.解：（1）因为展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，则展开式的通项公式为，令，解得，代入通项公式有：，所以的系数为；（2）二项式通项公式为：，所以第一项的系数为：，第二项的系数为：，第三项的系数为：，由于前三项的系数成等差数列，所以，解得，或，因为至少有前三项，所以（舍），故，二项式通项公式为：，设第项的系数最大，故，即，即，解得，因为，所以或，故系数最大的项为或.18.喝酒不开车，开车不喝酒.若某人饮酒后，欲从相距的某地聘请代驾司机帮助其返程.假设当地道路限速.油价为每升8元，当汽车以的速度行驶时，油耗率为.已知代驾司机按每小时56元收取代驾费，试确定最经济的车速，使得本次行程的总费用最少，并求最小费用.解：设汽车以行驶时，开车时间为小时，则代驾费用为，油耗为，则总费用，由对勾函数的性质知，函数在单调递减，在上单调递增，因为，所以当时，取到最小值，最小值为.最经济的车速为时，使得本次行程的总费用最少为元.19.古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆面积等于圆周率与椭圆的长半轴长、短半轴长的乘积.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点，均在轴上，面积为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）经过点的直线与曲线交于，两点，与椭圆的面积比为，求直线的方程.解：（1）设椭圆的方程为：，因为椭圆的面积为，点在椭圆上.所以解得：，所以椭圆的标准方程为：.（2）因为经过点的直线与曲线交于，两点，当直线的斜率不存在时，，此时，因为与椭圆的面积比为，但，即直线斜率存在；不妨设直线的方程为，联立，消去并整理可得：，不妨设，则，因为，，所以，因为与椭圆的面积比为，所以，化简为，即，即，解得：，所以直线的方程为或，所以直线的方程为或.20.已知数列中，，点在直线上，数列中，，且对任意，满足：.（1）分别求数列和的通项公式；（2）请比较与的大小，并证明你的结论.解：（1）因为点在直线上,所以有,即数列是首项为,公差为4的等差数列.则.所以数列的通项公式为.因为,则,又因为，所以.所以数列是首项为1,公比为2的等比数列，则,即.所以数列的通项公式为.（2）,,.构造函数,递增.当时,,函数递减,则时,;当时,,即时,.当时，,函数递增.当时;当时,.综上,当时，;当或时，.21.已知双曲线：的左、右顶点分别为，.（1）若过点的直线交双曲线于，两点，求直线的斜率范围；（2）过原点的直线与双曲线相交于，两点（在轴的上方），直线，与圆分别交于，，直线与直线的斜率分别为，，求.解：（1）过点的直线的方程设为：，联立得：.因直线交双曲线于，两点，所以，解得且.故直线的斜率范围为且.（2）如图：设：，，则令所以的方程为，联立得.所以，，由于，两点关于原点对称，所以，所以的斜率为，所以，又，所以，即.所以，，所以