山东省部分学校2024届高三下学期4月金科大联考（二模）数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省部分学校2024届高三下学期4月金科大联考（二模）数学试题一、选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由可得，所以.故选：B.2.若，则（）A.2 B.1 C. D.5〖答案〗D〖解析〗因为，所以，所以，所以.故选：D.3.某校高三共有200人参加体育测试，根据规则，82分以上的考生成绩等级为，则估计获得的考生人数约为（）A.100 B.75 C.50 D.25〖答案〗C〖解析〗由频率分布直方图可得82分以上的考生的频率约为，所以获得的考生人数约为人，故选：C.4.已知直线与双曲线的一条渐近线平行，则的右焦点到直线的距离为（）A.2 B. C. D.4〖答案〗C〖解析〗双曲线的渐近线方程为，因为直线与双曲线的一条渐近线平行，所以，解得，所以双曲线的右焦点坐标为，所以的右焦点到直线的距离为.故选：C5.设等差数列的前项和为，若，则（）A.156 B.252 C.192 D.200〖答案〗B〖解析〗等差数列中，，得，则，设数列公差为，而，因此，解得，则，所以.故选：B6.在中，设内角的对边分别为，设甲：，设乙：是直角三角形，则（）A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件〖答案〗D〖解析〗在中，由正弦定理及，得，即，整理得，由正弦定理得，则或，即或，因此甲：或，显然甲不能推乙；乙：是直角三角形，当角或是直角时，乙不能推甲，所以甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件.故选：D.7.已知函数，若将的图象向左平移个单位后所得的函数图象与曲线关于对称，则的最小值为（）A. B. C.1 D.〖答案〗A〖解析〗函数，的图象向左平移个单位后所得函数，函数的图象与的图象关于直线对称，则，于是对任意实数恒成立，即对任意实数恒成立，因此，解得，而，则，所以当时，取得最小值.故选：A8.已知为定义在上的奇函数，设为的导函数，若，则（）A.1 B. C.2 D.2023〖答案〗C〖解析〗因为，所以两边求导，得，即①因为为定义在上的奇函数，则，所以两边求导，得，所以是定义在上的偶函数，所以，结合①式可得，，所以，两式相减得，，所以是周期为4的偶函数，所以.由①式，令，得，所以.故选：C.二、选择题9.已知直线，圆，则下列说法正确的是（）A.直线恒过定点 B.直线与圆相交C.当直线平分圆时， D.当点到直线距离最大值时，〖答案〗ACD〖解析〗对于A，即，令，有，所以直线恒过定点，故A正确；对于B，圆的圆心、半径为，点到直线的距离为，从而，取，则此时有，故B错误；对于C，当直线平分圆时，有点在直线上，也就是说有成立，解得，故C正确；对于D，点到直线距离满足，等号成立当且仅当，而的斜率为，所以当等号成立时有，解得，故D正确.故选：ACD.10.将正四棱锥和正四棱锥的底面重合组成八面体，则（）A.平面 B.C.的体积为 D.二面角的余弦值为〖答案〗AC〖解析〗令正方形的中心为，连接，对于A，由正四棱锥，得平面，同理平面，则共线，因此平面，A正确；对于B，连接，显然是的中点，，，，不是的中点，因此四边形不是平行四边形，不平行，B错误；对于C，的体积，C正确；对于D，取中点，连接，则，是二面角的平面角，而，则，D错误.故选：AC.11.已知抛物线焦点为，过点（不与点重合）的直线交于两点，为坐标原点，直线分别交于两点，，则（）A. B.直线过定点C.的最小值为 D.的最小值为〖答案〗ACD〖解析〗设直线与抛物线联立可得：，设，则，因为，所以，解，故A正确；由A可知，，设直线，与抛物线联立可得，，设，所以，同理可得，所以,直线，即，所以直线过定点，故B错误；，故C正确；，所以，故D正确.故选：ACD.三、填空题12.在平面直角坐标系中，角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则_______．〖答案〗〖解析〗因为角的始边与轴非负半轴重合，终边经过点，所以，；.故〖答案〗为：13.在数轴上，一个质点从坐标原点出发向轴正半轴移动，每次移动1或者2个单位长度，若质点移动7次后与坐标原点的距离为11，则质点移动的方法总数有_______种．〖答案〗35〖解析〗因质点移动7次后与坐标原点的距离为11，每次移动1或者2个单位长度，故可以判断共进行了4次“移动2个单位长度”和3次“移动1个单位长度”，即只需要在7个位置上选出4个位置进行“移动2个单位长度”即可，故方法总数为种.故〖答案〗为：35.14.三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，分别在棱上，且平面平面，若，则平面与三棱锥的交线围成的面积最大值为_______．〖答案〗〖解析〗如图所示，因为平面，设面，所以，同理：，设，所以，即，所以四边形为平行四边形，即，面，面，所以面，又因为面，面面，所以，即，且，取中点，连接，易得，，，所以面，所以，所以，所以四边形为正方形，所以面与三棱锥的交线围成的面积，当，即为中点时，面积最大，最大值为，故〖答案〗为：.四、解答题15.如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，．（1）证明：；（2）若，设为的中点，求与平面所成角的正弦值．（1）证明：在四棱锥中，其的中点为，连接，在等腰中，，所以，在直角梯形中，，夹角余弦所以四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，又平面，所以；（2）解：因为，若，则，又平面，所以平面，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设平面的法向量为，所以，令，则，设与平面所成角为，则，所以与平面所成角的正弦值.16.甲同学参加学校的答题闯关游戏，游戏共分为两轮，第一轮为初试，共有5道题，已知这5道题中甲同学只能答对其中3道，从这5道题目中随机抽取3道题供参赛者作答，答对其中两题及以上即视为通过初试；第二轮为复试，共有2道题目，甲同学答对其中每道题的概率均为，两轮中每道题目答对得6分，答错得0分，两轮总分不低于24分即可晋级决赛．（1）求甲通过初试的概率；（2）求甲晋级决赛的概率，并在甲晋级决赛的情况下，记随机变量为甲的得分成绩，求的数学期望．解：（1）甲要通过初试，则需要答对道或道题目，所以甲通过初试的概率为；（2）①若甲初试答对道题目，则甲晋级决赛，复试需要答对题，此时甲晋级决赛的概率为，若甲初试答对两道题目，②若甲初试答对道题目，则甲晋级决赛，复试需要答对题或题，当复试答对题时，甲晋级决赛的概率为，当复试答对题时，甲晋级决赛的概率为，综上所述，甲晋级决赛的概率为，在甲晋级决赛的情况下，随机变量可取，，所以.17.已知函数．（1）当时，求的单调区间；（2）当时，，求的取值范围．解：（1）当时，，则，设，则恒成立，又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以减区间为，增区间为；（2），设，则，所以在上单调递增，又，，所以存在，使得，即，当时，，单调递减，当时，，单调递增，当时，取得极小值，也是最小值，所以，所以，即，设，易知单调递增，且，所以，解得，综上，18.记为数列的前项和，．（1）求和的通项公式；（2）设数列的前项和为，证明：．（1）解：因为，所以当时，，所以；当时，，所以，所以.又因为，所以.当为奇数时，，所以，，作差，，所以.当为偶数时，，所以，，作差，，所以.所以，.（2）证明：由第1小问得，，所以令，所以.所以.下面证明：因为，所以.下面证明：因为，所以，所以.所以.19.已知椭圆的离心率为，设的右焦点为，左顶点为，过的直线与于两点，当直线垂直于轴时，的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）连接和分别交圆于两点．（ⅰ）当直线斜率存