四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（二）全国卷数学试题（理）（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省百师联盟2024届高三冲刺卷（二）全国卷数学试题（理）一､选择题1.已知集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗或，．故选：．2.已知复数（为虚数单位），则的虚部为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，所以，由，，其虚部为.故选：A.3.在中，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，所以为线段上靠近的三等分点，如下图所示：故．故选：C．4.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因为．故选:D．5.“”的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗等价于，即，因为可以推出，而不能推出，所以是的必要不充分条件，其它选项均不满足；所以“”的一个必要不充分条件是．故选：B．6.某市教育主管部门为了解高三年级学生学业达成的情况，对高三年级学生进行抽样调查，随机抽取了1000名学生，他们的学业达成情况按照从高到低都分布在五个层次内，分男､女生统计得到以下样本分布统计图，则下列叙述正确的是（）A.样本中层次女生比相应层次的男生人数多B.估计样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小C.层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等D.样本中层次的学生数和层次的学生数一样多〖答案〗B〖解析〗对于AC，设女生学业达成频率分布直方图中的组距为，由，得，所以女生学业达成频率分布直方图中层次频率为，层次频率为，层次频率为，层次频率为，层次频率为，因为男､女生样本数未知，所以层次中男､女生人数不能比较，即A选项错误；同理，层次女生在女生样本数中频率与层次男生在男生样本数中频率相等，都是，但因男､女生人数未知，所以在整个样本中频率不一定相等，即C选项错误；对于D，设女生人数为，男生人数为，但因男､女生人数可能不相等，则层次的学生数为，层次的学生数为，因为不确定，所以与可能不相等，即D选项错误；对于B，女生两个层次的频率之和为，所以女生的样本学业达成的中位数为B，C层次的分界点，男生两个层次的频率之和为，显然中位数落在C层次内，所以样本中男生学业达成的中位数比女生学业达成的中位数小，B选项正确．故选：B．7.某几何体的三视图如图所示，其中每个网格是由边长为1的小正方形组成，则该几何体的侧面积为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由三视图知，该几何体为四棱锥，其直观图如图所示，其底面是边长为的正方形，侧棱底面，因为底面，所以，因为平面平面，所以平面，因为平面，所以，同理可得，且，则该几何体的侧面积为，故选：C．8.若两条直线与圆的四个交点能构成矩形，则（）A. B.1 C.2 D.〖答案〗D〖解析〗由题意，直线平行，且与圆的四个交点构成矩形，则可知圆心到两直线的距离相等且，由圆的圆心为，圆心到的距离为，圆心到：的距离为，所以，整理得到，由，所以．故选：D．9.已知是双曲线的右焦点，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，过作一条渐近线的垂线，垂足为，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗设，则，过作与轴垂直的直线与双曲线交于两点，不妨设在第一象限，由解得，所以．由双曲线可得渐近线为，由对称性可知，到任一渐近线的距离均相等，不妨求到渐近线的距离，所以．因为，所以，解得．由，则，得，所以离心率为．故选：．10.已知函数的最小正周期为，下列结论中正确的是（）A.函数图象关于对称B.函数的对称中心是C.函数在区间上单调递增D.函数的图象可以由的图象向右平移个单位长度得到〖答案〗D〖解析〗A选项，，因为函数的最小正周期为，解得，所以，当时，，故A错误；B选项，令，即，函数的对称中心是，故B错误；C选项，时，，显然在其上不单调，故C错误；D选项，的图象向右平移个单位长度，得到，故D正确．故选：D．11.2023年6月22日，由中国帮助印尼修建的雅万高铁测试成功，高铁实现时速自动驾驶，不仅速度比普通列车快，而且车内噪声更小．如果用声强（单位：）表示声音在传播途径中每平方米上的声能流密度，声强级（单位：）与声强的函数关系式为，其中为基准声强级，为常数，当声强时，声强级．下表为不同列车声源在距离处的声强级：声源与声源的距离（单位：）声强级范围内燃列车20电力列车20高速列车20设在离内燃列车､电力列车､高速列车处测得的实际声强分别为，则下列结论正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗对于：因为声强时，声强级，所以，解得，故错误；对于B：因为，所以，即，故B正确；对于C：，所以，即，故C不正确；对于D，，所以，即，故D不正确．故选：B．12.若，则（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令，则，令恒成立，即在定义域单调递增，且因此在区间上必然存在唯一使得，所以当时单调递减，当时单调递增，故A，B均错误；令，，当时，，∴在区间上为减函数，∵，∴，即，∴选项C正确，D不正确.故选:C.二､填空题13.已知，直线与曲线相切，则__________．〖答案〗2〖解析〗设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率，得，所以，且，则，即．故〖答案〗为：2.14.二项式的展开式中，含项的系数为，则__________．〖答案〗1〖解析〗二项式的展开式的通项公式，令得，故的系数为，故，解得．故〖答案〗为：115.已知的内角所对的边分别为，且，则的外接圆的周长为__________．〖答案〗〖解析〗由可得，即，展开得，即．又因为，由正弦定理（其中为的外接圆的半径）可得，解得，则的外接圆的周长为．故〖答案〗：.16.已知抛物线上的点到焦点的距离为4，过点作直线交抛物线于两点，延长交准线于点两点在准线上的射影分别为，若，则的面积为__________．〖答案〗〖解析〗由抛物线过点，且，得，准线方程为，如图．因为，所以，所以，连接，又，所以为等边三角形，因为，所以，得，得，所以，由，解得，所以．故〖答案〗为：.三､解答题（一）必考题17.已知正项数列满足，等差数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和．解：（1）由，得．由，可得，又，所以，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，得到，所以，设等差数列的首项为，公差为，则，解得，所以．（2）由（1）可得，所以．18.如图，在底面为正方形的四棱台中，平面平面，已知．（1）求证：；（2）若，求直线与平面所成角的正切值．（1）证明：平面平面，且平面平面平面，则平面，而平面，所以．（2）解：由（1）知，而，平面，则平面，以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，过作于点，则四边形是矩形，则，，由，得，又四棱台的底面为正方形，，则，则，，，设是平面的一个法向量，则，取，得，设直线与平面所成角为，有，则，，所以直线与平面所成角的正切值为2．19.新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门．（1）若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数；（2）某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布．①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）；②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信．附：．解：（1）甲､乙两名学生必选语文､数学､外语．若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种，在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门，则有种，共种；若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种．所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为．（2）①设此次网络测试的成绩记为，则．由题知，则，所以．所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人．②不可信．，则，4000名学生中成绩大于410分的约有人，这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信．20.已知函数．（1）若函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的值；（2）若函数的最小值为，求的值．解：（1）因为，所以，则，又，所以函数在处的切线方程为．由题意，显然，令得，令得，所以函数在处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，所以，解得或．（2）由（1）知，令，所以，当时，在上单调递减，当时，，在上单调递增．因为，所以当时，，又所以在上必存在唯一零点，使得．当时，，即在上单调递减，当时，，即在上单调递增．所以在处取得最小值，即，且，即，所以．设，所以，当时，单调递增，，当时，，单调递减，，又，所以函数在上存在唯一的，使得成立，所以，所以，即．21.已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点．（1）求椭圆的标准方程；（2）点是椭圆上不在轴上的任意一点，射线分别与椭圆交于点．设的面积分别为．求证：为定值．（1）解：由题意可得，又，所以，将点代入椭圆方程，得，解得，椭圆方程为．（2）证明：设，则，即．由（1）得．可设直线的方程为，其中，联立方程整理得，则，同理可得．则，所以是定值．（二）选考题[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系中，直线的方程为：，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）①若直线上的动点与定点满足，求以为参数的直线的参数方程；②求曲线的直角坐标方程；（2）设直线与曲线的交点为，求弦长的值．解：（1）①直线过点，倾斜角为，则其以为参数的参数方程为（为参数）．