重庆育仁中学高三数学文下学期期末试卷含解析

重庆育仁中学高三数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知是单位向量，且夹角为60°，则等于（

）A．1

B．

C．3

D．参考答案：2.若实数x，y满足约束条件，则x﹣y的最大值是（）A．﹣7 B．C．﹣1 D．7参考答案：C【考点】简单线性规划．【分析】根据二元一次不等式组表示平面区域，画出不等式组表示的平面区域，由z=x﹣y得y=x﹣z，利用平移求出z最大值即可．【解答】解：约束条件对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x﹣y得y=x﹣z，平移直线y=x﹣z，由平移可知当直线y=x﹣z，经过点A时，直线y=x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，由，解得A（﹣3，4）代入z=x﹣y得z=﹣3﹣4=﹣1，即z=x﹣y的最大值是﹣1，故选：C．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．3.设命题p：?x＜0，x2≥1，则?p为（）A．?x≥0，x2＜1 B．?x＜0，x2＜1 C．?x≥0，x2＜1 D．?x＜0，x2＜1参考答案：B【考点】命题的否定．【分析】根据含有量词的命题的否定进行判断即可．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，∴?p：?x∈R，都有x2＜1．故选：B．4.已知双曲线，则一条渐近线与实轴所成角的取值范围是

(

)A．

B．

C．

D．参考答案：C略5.在正方体中，、分别是棱、的中点，则异面直线与所成的角的大小是A．

B．

C．

D．参考答案：B6.如图2，正三棱柱的主视图（又称正视图）是边长为４的正方形，则此正三棱柱的侧视图（又称左视图）的面积为(

)A．

B．

C．

D．16参考答案：A由主视图可知，三棱柱的高为4，底面边长为4，所以底面正三角形的高为，所以侧视图的面积为，选A.7.函数的零点所在区间是

A．（，0）

B．（0，1）

C．（1，2）

D．（2，3）

参考答案：C略8.在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=1，M为AB中点，将△ACM沿CM折起，使A、B间的距离为，则M到面ABC的距离为（

）

A．

B．

C．1

D．

参考答案：9.如果，则下列不等式成立的是（

） A． B．C． D．参考答案：D10.是等差数列，与的等差中项为1，与的等差中项为2，则公差（）A．

B．

C．

D．参考答案：C试题分析：由已知，，则，.选C.考点：等差数列的性质与定义.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知，则_______.参考答案：因为，所以。【答案】【解析】12.已知样本7，8，9，x，y的平均数是9，且xy＝110，则此样本的方差是

．参考答案：2依题可得x＋y＝21，不妨设x＜y，解得x＝10，y＝11，所以方差为＝2．13.给出下列命题：⑴是幂函数；⑵“”是“”的充分不必要条件；⑶的解集是；⑷函数的图象关于点成中心对称；⑸命题“若，则”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号是

（写出所有正确命题的序号）

参考答案：②③⑤略14.设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围是．参考答案：（﹣∞，]【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．【解答】解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤，k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤，故答案为：（﹣∞，]．15.已知的二项展开式中,前三项系数成等差数列,则

参考答案：16.如图，A，B两点都在以PC为直径的球O的表面上，，，，若球O的表面积为24π，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为_____．参考答案：【分析】推导出，，，，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，由向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．【详解】两点都在以为直径的球的表面上，解得：且又

，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，

平面

又

平面则，，，，设异面直线与所成角为则：异面直线与所成角的余弦值为本题正确结果：

17.如图，直角中，，以为圆心、为半径作圆弧交于点．若圆弧等分的面积，且弧度，则=

.

参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分15分）已知，若，（1）确定k的值；（2）求的最小值及对应的值．参考答案：(1)

(2)根据(1)可知

当时,即时,取到最小值6.

19.已知各项都不相等的等差数列{an}，a4=10，又a1，a2，a6成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=2+2n，求数列{bn}的前n项和Sn．参考答案：【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．【专题】等差数列与等比数列．【分析】（1）设等差数列{an}首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，①，（a1+d）2=a1（a1+5d），②，由①②可解得：a1，d，即可得解．（2）由（1）可知：bn=23n﹣2+2n，利用等比（等差）数列的求和公式即可得解．【解答】解：（1）∵a4=10，设等差数列{an}首项为a1，公差为d，可得：a1+3d=10，①∵a1，a2，a6成等比数列，可得：（a1+d）2=a1（a1+5d），②∴由①②可解得：a1=1，d=3，∴an=3n﹣2…6分（2）由（1）可知：bn=23n﹣2+2n，所以，求数列{bn}的前n项和Sn=b1+b2+…+bn=（2+24+27+…+23n﹣2）+2（1+2+…+n）=+2=（8n﹣1）+n（n+1）…12分【点评】本题主要考查了等比数列，等差数列的通项公式，求和公式的应用，属于基本知识的考查．20.（13分）如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧．设|PH|=t，△APH的面积为f（t）．（Ⅰ）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（Ⅱ）求函数f（t）的最大值．参考答案：【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【专题】计算题；导数的概念及应用．【分析】（I）S△APH=PH×AH．其中AH=OA﹣OH，OH等于P的横坐标，P的纵坐标即为|PH|=t，利用函数解析式可求OH．得出面积的表达式．（II）由（I），面积为．利用导数工具研究单调性，求出最值．【解答】解：（I）由已知可得，所以点P的横坐标为t2﹣1，因为点H在点A的左侧，所以t2﹣1＜11，即．由已知t＞0，所以，所以AH=11﹣（t2﹣1）=12﹣t2，所以△APH的面积为．（II），由f'（t）=0，得t=﹣2（舍），或t=2．函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况如右图：所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8．【点评】本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题．21.已知函数（1）若，且函数在其定义域内为增函数，求实数p的取值范围；（2）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数p的取值范围.参考答案：（1）（2）【分析】（1）＝，求其导函数，利用F（x）在定义域（0，+∞）内为增函数，得≥0在（0，+∞）上恒成立，得，设，利用导数求最大值可得正实数p的取值范围；（2）设函数＝f（x）﹣g（x）＝px﹣，x∈[1，e]，转化为在[1，e]上至少存在一点x0，使得求函数的导函数，然后对p分类求的最大值即可.【详解】（1），.由定义域内为增函数，所以在上恒成立，所以即，对任意恒成立，设，=0的根为x=1得在上单调递增，在上单调递减，则，所以，即.（2）设函数，，因为在上至少存在一点，使得成立，则，①当时，，则在上单调递增，，舍；②当时，，∵，∴，，，则，舍；③当时，，则在上单调递增，，得，综上，.22.（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB，M、N

分别是PA、BC的中点．(I)求证：MN∥平面PCD；(II)在棱PC上是否存在点E，使得AE⊥平面PBD?若存在，求出AE与平面PBC所成角的正弦值，若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）证明：取PD中点为F，连结FC，MF．∵,.∴四边形为平行四边形，……………3分∴，又平面,…………5分∴MN∥平