2024年中考数学一轮复习全国版知识点55 涉及内心外心的试题含答案

2024年中考数学一轮复习全国版知识点55涉及内心外心的试题一、选择题湖北省7．【2023·仙桃】如图，在3×3的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中的圆弧为格点△ABC外接圆的一部分，小正方形边长为1，图中阴影部分的面积为（）A．52π−74 B．52π−72 C．54【分析】作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，先根据勾股定理的逆定理证明△AOC是直角三角形，从而可得∠AOC＝90°，然后根据图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC的面积，进行计算即可解答．【答案】D【解析】如图：作AB的垂直平分线MN，作BC的垂直平分线PQ，设MN与PQ相交于点O，连接OA，OB，OC，则点O是△ABC外接圆的圆心，由题意得：OA2＝12+22＝5，OC2＝12+22＝5，AC2＝12+32＝10，∴OA2+OC2＝AC2，∴△AOC是直角三角形，∴∠AOC＝90°，∵AO＝OC=5，∴图中阴影部分的面积＝扇形AOC的面积﹣△AOC的面积﹣△ABC=90π×(5)2360−12OA•OC−【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，扇形面积的计算，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．黑龙江7．【2023·绥化】下列命题中叙述正确的是（）A．若方差s甲2＞s乙2，则甲组数据的波动较小 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C．三角形三条中线的交点叫做三角形的内心 D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上【分析】直接利用方差的意义以及点到直线的距离、重心、角平分线的性质分别分析得出答案．【答案】D【解析】A．若方差s甲2＞s乙2，则乙组数据的波动较小，故此选项不合题意；B．直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离，故此选项不合题意；C．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，故此选项不合题意；D．角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上，故此选项符合题意．故选：D．【点评】此题主要考查了方差的意义以及点到直线的距离、重心、角平分线的性质，正确掌握相关性质是解题关键．山东省6．【2023·聊城】如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为（）A．15° B．17.5° C．20° D．25°【分析】连接IC，IB，OC，根据点I是△ABC的内心，得到AI平分∠BAC，根据角平分线的定义得到∠BAC＝2∠CAI＝70°，根据圆周角定理得到∠BOC＝2∠BAC＝140°，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【答案】C【解析】连接IC，IB，OC，∵点I是△ABC的内心，∴AI平分∠BAC，∵∠CAI＝35°，∴∠BAC＝2∠CAI＝70°，∵点O是△ABC外接圆的圆心，∴∠BOC＝2∠BAC＝140°，∵OB＝OC，∴∠OBC=∠OCB=12×(180°−∠BOC)=【点评】本题考查了三角形的内切圆与内心，三角形的外接圆与外心，角平分线的定义，等腰三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．10.【2023·威海】在中，，下列说法错误的是（）A. B.C.内切圆的半径 D.当时，是直角三角形【分析】根据三角形三边关系、三角形面积、内切圆半径的计算以及勾股定理逆定理逐一求解即可．【答案】C【解析】∵，∴即，故A说法正确；当时，，若以底，高，∴，故B说法正确；设内切圆的半径为r，则，∵，∴，，∵，∴，∴，故C说法错误；当时，，∴是直角三角形，故D说法正确；故选：C．【点评】本题考查了三角形三边关系，三角形面积，三角形内切圆半径以及勾股定理的逆定理，掌握内切圆半径与圆的面积周长之间的关系是解题的关键．二、填空题三、解答题山东省22．【2023·滨州】如图，点E是△ABC的内心，AE的延长线与边BC相交于点F，与△ABC的外接圆交于点D．（1）求证：S△ABF：S△ACF＝AB：AC；（2）求证：AB：AC＝BF：CF；（3）求证：AF2＝AB•AC﹣BF•CF；（4）猜想：线段DF，DE，DA三者之间存在的等量关系．（直接写出，不需证明．）【分析】（1）过点D作DH⊥AC，DG⊥AB，垂足分别为H、G，则DG＝DH，进而表示出两个三角形的面积即可求解．（2）过点A作AM⊥BC于点M，表示出两个三角形的面积即可，（3）连接DB、DC，证明△BFD∽△AFC得出BF•CF＝AF•DF，证明△ABF∽△ADC，得出AB•AC＝AD•AF，即AB•AC＝（AF+DF）•AF，恒等变形即可求解．（4）连接BE，证明△ABD∽△BFD，得出DB2＝DA•DF，证明∠BED＝∠DBE，得出DB＝DE即可．（1）解：过点D作DH⊥AC，DG⊥AB，垂足分别为H、G，如图：∵点E是△ABC的内心，∴AD是∠BAC的平分线，∵DH⊥AC，DG⊥AB，∴DG＝DH，∵S△ABF=12AB⋅DG，S△∴S△ABF：S△ACF＝AB：AC．（2）证明：过点A作AM⊥BC于点M，如图，∵S△ABF=12BF×AM，S△∴S△ABF：S△ACF＝BF：FC，由（1）可得S△ABF：S△ACF＝AB：AC．∴AB：AC＝BF：FC，（3）证明：连接DB、DC，如图，∵AB=AB，∴∠ACF＝∠BDF，∠FAC＝∠FBD，∴△BFD∽△AFC，∴BF•CF＝AF•DF，∵AC=AC，∴∠FBA＝∠又∠BAD＝∠DAC，∴△ABF∽△ADC，∴ABAD=AFAC，∴AB•AC＝∴AB•AC＝（AF+DF）•AF＝AF2+AF•DF，∴AF2＝AB•AC﹣BF•CF．（4）连接BE，如图，∵点E是△ABC的内心，∴BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE＝∠FBE，∵∠CAB＝∠CAD＝∠BAD，∠ADB＝∠BDF，∴△ABD∽△BFD，∴DBDF=DADB，∴DB2＝∵∠BED＝∠BAE+∠ABE=1∠DBE＝∠DBC+∠FBE＝∠DAC+∠FBE=1∴∠BED＝∠DBE，∴DB＝DE，∴DE2＝DA•DF，【点评】本题考查三角形内心的定义，圆周角定理，角平分线的定义与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，熟练掌握性质是解题关键．一、选择题浙江省10．【2023·温州】【素材1】某景区游览路线及方向如图1所示，①④⑥各路段路程相等，⑤⑦⑧各路段路程相等，②③两路段路程相等．【素材2】设游玩行走速度恒定，经过每个景点都停留20分钟，小温游路线①④⑤⑥⑦⑧用时3小时25分钟；小州游路线①②⑧，他离入口的路程s与时间t的关系（部分数据）如图2所示，在2100米处，他到出口还要走10分钟．【问题】路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为（）A．4200米 B．4800米 C．5200米 D．5400米【答案】B【解析】方法1：由图象可知，小州游玩的速度为210075−2×20=60（米/分）.设①④⑥各路段路程所用时间为x分钟，⑤⑦⑧各路段路程所用时间为y分钟，②③各路段路程所用时间为z分钟，则3x+3y＝3×60+25−5×20=105，x+y+z=75+10−2×2=45，两式相减得z=10.①③⑥⑦⑧各路段所用时间∵游玩行走速度恒定，小州的游玩速度为60（米/分），∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为80×60=4800（米）.方法2：由图象可知：小州游玩行走的时间为75+10﹣2×20＝45（分钟），小温游玩行走的时间大3×60+25﹣100＝105（分钟）.设①④⑥各路段路程为x米，⑤⑦⑧各路段路程为y米，②③各路段路程为z米,小州的速度为x+y+z45=x+y+z−210010，解得x+y+z＝2700，∴游玩行走的速度为（2700﹣2100）÷10＝60（米/分）.由于游玩行走速度恒定，则小温游路线①④⑤⑥⑦⑧的路程为3x+3y＝105×60＝6300，∴x+y＝2100.∴路线①③⑥⑦⑧各路段路程之和为：2x+2y+z＝x+y+z+【点评】本题主要考查三元一次方程组的应用及函数图象，解题的关键是理解题中所给信息，找到它们之间的等量关系．10．【2023·宁波】如图，以钝角三角形ABC的最长边BC为边向外作矩形BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD的面积分别为S，S1，S2，若要求出S﹣S1﹣S2的值，只需知道（）A．△ABE的面积B．△ACD的面积 C．△ABC的面积 D．矩形BCDE的面积【答案】C【解析】作AG⊥ED于点G，交BC于点F，则S=ED•AG=BC•AG.S1+S2＝BE•EG+CD•DG＝CD•BC..∴S﹣S1﹣S2＝BC•AG﹣CD•BCG＝BC•AF＝S△ABC.∴只需知道S△ABC，就可求出S﹣S1﹣S2的值，故选C．二、填空题浙江省16．【2023·温州】图1是4×4方格绘成的七巧板图案，每个小方格的边长为2，现将它剪拼成一个“房子”造型（如图2），过左侧的三个端点作圆，并在圆内右侧部分留出矩形CDEF作为题字区域（点A，E，D，B在圆上，点C，F在AB上），形成一幅装饰画，则圆的半径为．若点A，N，M在同一直线上，AB∥PN，DE=6EF，则题字区域的面积为【分析】根据不共线三点确定一个圆，根据对称性得出圆心的位置，进而垂径定理、勾股定理求得r，连接OE，取ED的中点T，连接OT，在Rt△OET中，根据勾股定理即可求解．564256【解析】如图所示，依题意，图1中正方形的边长为42，GH∵过左侧的三个端点Q，K，L作圆，QH＝HL＝4.又NK⊥QL，∴O在KN上，连接OQ，则OQ为半径.∵OH＝r﹣KH＝r﹣2.在Rt△OHQ中，OH2+QH2＝QO2，∴（r﹣2）2+42＝r2，解得r＝5.连接OE，取ED的中点T，连接OT，交AB于点S，连接PB，AM，∵AB∥PN，∴AB⊥OT.∴AS＝SB.∵点A，N，M在同一直线上，∴ANMM=ASSB.∴MN＝AN.∵∠ABM＝90°，∴MN＝AN＝NB.∵NP⊥MP，∴MP＝PB＝2.∴NS=12MB＝2.∵KH+HN＝2+4＝6，∴ON＝6﹣5＝1.∴OS＝3.设EF＝ST＝a，∵DE=6EF，则ET=12DE=62a.在Rt△OET中，OE2＝OT2+TE2，即52=(3+a)2+(【点评】本题考查了垂径定理，平行线分线段成比例，勾股定理，七巧板，熟练掌握以上知识是解题的关键．三、解答题浙江省23．【2023·温州】根据背景素材，探索解决问题．测算发射塔的高度背景素材某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射塔的高度MN（如图1），他们通过自制的测倾仪（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的示数如图3所示．经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度问题解决任务1分析规划选择两个观测位置：点A和点B（答案不唯一）．获取数据写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点之间的图上距离．任务2推理计算计算发射塔的图上高度MN．任务3换算高度楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发射塔的实际高度．注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．解:由以下两种规划，任选一种作答即可.规划一：【任务1】选择点A和点B，tan∠1=18，tan∠2=14，tan∠3=1【任务2】如图1，过点A作AF⊥MN于点F，过点B作BG⊥MN于点G，则FG＝AB＝4mm.设MF＝xmm，则MG＝（x+4）mm.∵tan∠MAF=xAF=1∴AF＝4x，BG＝3x+12.∵AF＝BG，即4x＝3x+12，解得x＝12，∴AF＝BG＝4x＝48（mm）.∵tan∠FAN=FN48=18，∴FN＝6mm.∴MN＝MF+【任务3】测得图上DE＝5mm，设发射塔的实际高度为hm.由题意，得512=18ℎ，解得h＝43.2（23．【2023·金华】问题：如何设计“倍力桥”的结构？图1是搭成的“倍力桥”，纵梁a，c夹住横梁b，使得横梁不能移动，结构稳固．图2是长为l（cm），宽为3cm的横梁侧面示意图，三个凹槽都是半径为1cm的半圆，圆心分别为O1，O2，O3，O1M＝O1N，O2Q＝O3P＝2cm，纵梁是底面半径为1cm的圆柱体，用相同规格的横梁、纵梁搭“桥”，间隙忽略不计．探究1：图3是“桥”侧面示意图，A，B为横梁与地面的交点，C，E为圆心，D，H1，H2是横梁侧面两边的交点，测得AB＝32cm，点C到AB的距离为12cm，试判断四边形CDEH1的形状，并求l的值．探究2：若搭成的“桥”刚好能绕成环，其侧面示意图的内部形成一个多边形．①若有12根横梁绕成环，图4是其侧面示意图，内部形成十二边形H1H2H3…H12，求l的值；②若有n根横梁绕成的环（n为偶数，且n≥6），试用关于n的代数式表示内部形成的多边形H1H2H3…Hn的周长．解：探究1：①四边形CDEH1是菱形，理由如下：由图1可知，CD∥EH1，ED∥CH1，∴CDEH1为平行四边形，∵横梁的规格是相同的，∴横梁的宽度相同，即四边形CDEH1每条边上的高相等，∵平行四边形CDEH1的面积等于边长乘这条边上的高，∴CDEH1每条边相等.∴CDEH1为菱形．②如图1，过点C作CM⊥AB于点M．由题意，得CA＝CB，CM＝12cm，AB＝32cm，∴AM=12AB＝16在Rt△CAM中，CA2＝AM2+CM2，∴CA=162+122=400=20（探究2：①如图2，过点C作CN⊥H1H2于点N，由题意，得∠H1CH2＝120°，CH1＝CH2，CN＝3cm，∴∠CH1N＝30°.∴CH1＝2CN＝6cm，H1N=CNtan30°又∵四边形CDEH1是菱形，∴EH1＝CH1＝6cm.∴l＝2（2+6+33）＝（16+63）cm.②如图3，过点C作CN⊥H1H2于点N．由题意，形成的多边形为正n边形，∴外角∠CH1H2=360°在Rt△CNH1中，H1N=CNtan∠CH1又∵CH1＝CH2，CN⊥H1H2，∴H1H2＝2H1N=6tan360°ncm.∴形成的多边形的周长为（【点评】实际应用题，考查的是菱形的性质和判定、锐角三角函数、勾股定理，解题的关键在于将生活实际和有关数学知识有效结合以及熟练掌握相关性质．24．【2023·台州】【问题背景】“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm（观察值）302928.12725.8任务1：分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t＝0，h＝30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2：利用t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式；【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差，小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3：（1）计算任务2得到的函数解析式的w值；（2）请确定经过（0，30）的一次函数解析式，使得w的值最小；【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4：请你简要写出时间刻度的设计方案．解：任务1：变化量分别为：29﹣30＝﹣1（cm）；28.1﹣29＝﹣0.9（cm）；27﹣28.1＝﹣1.1（cm）；25.8﹣27＝﹣1.2（cm），∴每隔10min水面高度观察值的变化量分别为：﹣1，﹣0.9，﹣1.1，﹣1.2．任务2：设h＝kt+b，∵t＝0时，h＝30；t＝10时，h＝29；∴b=3010k+b=29，解得k=−0.1∴水面高度h与流水时间t的函数解析式为h＝﹣0.1t+30.任务3：（1）w＝（30﹣30）²+（29﹣29）2+（28﹣28.1）2+（27﹣27）2+（26﹣25.8）2＝0.05．（2）设h＝kt+30，则w＝（30﹣30）2+（10k+30﹣29）2+（10k+30﹣28.1）2+（10k+30﹣27）2+（40k+30﹣25.8）2＝3000k2﹣+612k+12+12+1.92+32+4.22..当k＝﹣6122×3000=-0.102时，w最小，∴优化后的函数解析式任务4：时间刻度方案要点：①时间刻度的0刻度在水位最高处；②刻度从上向下均匀变大；③每0.102cm表示1min(1cm变式时间约为908min).22．【2023·嘉兴、舟山】图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头A的仰角、俯角均为15°，摄像头高度OA＝160cm，识别的最远水平距离OB＝150cm．（1）身高208cm的小杜，头部高度为26cm，他站在离摄像头水平距离130cm的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别？（2）身高120cm的小若，头部高度为15cm，踮起脚尖可以增高3cm，但仍无法被识别，社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为20°（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到0.1cm，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）解：（1）如图2，过C作OB的垂线分别交仰角、俯角线于点E，D，交水平线于点F，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝，∴EF＝AF•tan15°≈130×0.27＝35.1（cm）.∵AF＝AF，∠EAF＝∠DAF，∠AFE＝∠AFD＝90°，∴△ADF≌△AEF（SAS），∴EF＝DE＝35.1（cm）.∴CE＝160+35.1＝195.1（cm），ED=35.1×2=70.2（cm）>26（cm），∴小杜需要下蹲的最小距离为208﹣195.1＝12.9（cm）.（2）如图3，过B作OB的垂线分别交仰角、俯角线于M．N．交水平线于P.在Rt△APM中，tan∠MAP＝，∴MP＝AP•tan20°≈150×0.36＝54.0（cm）.∵AP＝AP，∠MAP＝∠NAP，∠APM＝∠APN＝90°，∴△AMP≌△ANP（ASA）.∴PN＝MP＝54.0（cm）.∴BN＝160﹣54.0＝106.0（cm）.小若踮起脚尖后头顶的高度为120+3＝123（cm），∴小若头顶超出点N的高度为123﹣106.0＝17.0（cm）＞15（cm）.∴小若踮起脚尖后能被识别．21．【2023·宁波】某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．（1）如图2，在P点观察所测物体最高点C，当量角器零刻度线上A，B两点均在视线PC上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为α，设仰角为β，请直接用含α的代数式示β．（2）如图3，为了测量广场上空气球A离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点B，C分别测得气球A的仰角∠ABD为37°，∠ACD为45°，地面上点B，C，D在同一水平直线上，BC＝20m，求气球A离地面的高度AD．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）解：（1）β＝90°﹣α（2）在Rt△ABD中，BD=ADtan370≈43AD，在Rt△ACD中，CD=∴BC=BD-CD=43AD-AD=20，解得AD＝60答：气球A离地面的高度AD是60米．湖南省24．【2023·湘潭】问题情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图①）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都按逆时针做匀速圆周运动，每旋转一周用时120秒．问题设置：把筒车抽象为一个半径为r的⊙O．如图②，OM始终垂直于水平面，设筒车半径为2米．当t＝0时，某盛水筒恰好位于水面A处，此时∠AOM＝30°，经过95秒后该盛水筒运动到点B处．问题解决：（1）求该盛水筒从A处逆时针旋转到B处时，∠BOM的度数；（2）求该盛水筒旋转至B处时，它到水面的距离．（结果精确到0.1米）（参考数据2≈1.414，3【分析】（1）求出筒车每秒转过的度数，再根据周角的定义进行计算即可；（2）根据直角三角形的边角关系分别求出OD、OC即可．解：（1）由于筒车每旋转一周用时120秒．所以每秒转过360°÷120＝3°，∴∠BOM＝360°﹣3°×95﹣30°＝45°；（2）如图，过点B、点A分别作OM的垂线，垂足分别为点C、D，在Rt△AOD中，∠AOD＝30°，OA＝2米，∴OD=32OA在Rt△BOC中，∠BOC＝45°，OB＝2米，∴OC=22OB∴CD＝OD﹣OC=3即该盛水筒旋转至B处时到水面的距离约为0.3米．【点评】本题考查圆周角定理、垂径定理的应用，熟练掌握圆的基本性质是正确解答的前提．一、选择题湖南省9．【2023·怀化】已知压力F（N）、压强p（Pa）与受力面积S（m2）之间有如下关系式：F＝pS．当F为定值时，如图中大致表示压强p与受力面积S之间函数关系的是（）A． B． C． D．【答案】D辽宁省7.【2023·大连】已知蓄电池两端电压为定值，电流与成反比例函数关系．当时，，则当时，的值为（）A. B. C. D.【分析】利用待定系数法求出的值，由此即可得．【答案】B【解析】由题意得：，∵当时，，，解得，，则当时，．【点睛】本题考查了反比例函数，熟练掌握待定系数法是解题关键．二、填空题广东省13.【2023·广东】某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为_______．【答案】4四川省14．【2023·南充】小伟用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1000N和0.6m，当动力臂由1.5m增加到2m时，撬动这块石头可以节省N的力．（杜杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动力臂）【分析】根据杠杆定律求得函数的解析式后代入l＝1.5和l＝2求得力的大小即可．【答案】100【解析】根据“杠杆定律”有FL＝1000×0.6，∴函数的解析式为F=600L，当L＝1.5时，F=6001.5=400，当L＝2时，【点评】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出反比例函数模型，体现了数学建模的数学思想，难度不大．13．【2023·遂宁】烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、…、癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷…）等，甲烷的化学式为CH4，乙烷的化学式为C2H6，丙烷的化学式为C3H8…，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为．【分析】根据图形，可以写出C和H的个数，然后即可发现C和H的变化特点，从而可以写出十二烷的化学式．【答案】C12H26【解析】由图可得，甲烷的化学式中的C有1个，H有2+2×1＝4（个），乙烷的化学式中的C有2个，H有2+2×2＝6（个），丙烷的化学式中的C有3个，H有2+2×3＝8（个），…，∴十二烷的化学式中的C有12个，H有2+2×12＝26（个），即十二烷的化学式为C12H26．【点评】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现C和H的变化特点．三、解答题湖南省24．【2023·郴州】在实验课上，小明做了一个试验．如图，在仪器左边托盘A（固定）中放置一个物体，在右边托盘B（可左右移动）中放置一个可以装水的容器，容器的质量为5g．在容器中加入一定质量的水，可以使仪器左右平衡．改变托盘B与点C的距离x（cm）（0＜x≤60），记录容器中加入的水的质量，得到下表：托盘B与点C的距离x/cm3025201510容器与水的总质量y1/g1012152030加入的水的质量y2/g57101525把上表中的x与y1各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出这些点，并用光滑的曲线连接起来，得到如图所示的y1关于x的函数图象．（1）请在该平面直角坐标系中作出y2关于x的函数图象；（2）观察函数图象，并结合表中的数据：①猜测y1与x之间的函数关系，并求y1关于x的函数表达式；②求y2关于x的函数表达式；③当0＜x≤60时，y1随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2随x的增大而（填“增大”或“减小”），y2的图象可以由y1的图象向（以“上”或“下”或“左”或“右”）平移得到．（3）若在容器中加入的水的质量y2（g）满足19≤y2≤45，求托盘B与点C的距离x（cm）的取值范围．解：（1）作出y2关于x的函数图象如下：（2）①观察表格可知，y1是x的反比例函数．设y1=kx，把（30，10）代入得10∴k＝300，．∴y1关于x的函数表达式是y1=300②∵y1＝y2+5，∴y2+5=300∴y2=300③减小减小下（3）∵y2=300x−5，19≤∴19≤300x−∴6≤x≤12.5．吉林省20.【2023·吉林】笑笑同学通过学习数学和物理知识，知道了电磁波的波长（单位：m）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知波长与频率f是反比例函数关系，下面是它们的部分对应值：频率f（）101550波长（m）30206（1）求波长关于频率f的函数解析式．（2）当时，求此电磁波的波长．【分析】（1）设解析式为，用待定系数法求解即可；（2）把值代入（1）所求得的解析式中，即可求得此电磁波的波长．解：（1）设波长关于频率f的函数解析式为，把点代入上式中得：，解得：，.（2）当时，.答：当时，此电磁波的波长为．【点睛】本题是反比例函数的应用问题，考查了求反比例函数的解析式及求反比例函数的函数值等知识，利用待定系数法求得反比例函数解析式是解题的关键．浙江省15．【2023·温州】在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p（kPa）与汽缸内气体的体积V（mL）成反比例，p关于V的函数图象如图所示．若压强由75kPa加压到100kPa，则气体体积压缩了mL．【答案】20【解析】设这个反比例函数的解析式为V=kP，∵V＝100时，p＝60，∴k＝PV＝6000.∴V=6000P.当P＝75时，V=600075=80，当P＝100时，20．【2023·台州】科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h（单位：cm）是液体的密度ρ（单位：g/cm3）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h＝20cm．（1）求h关于ρ的函数解析式；（2）当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25cm，求该液体的密度ρ．解：（1）设h关于ρ的函数解析式为ℎ=k把ρ＝1，h＝20代入解析式，得k＝1×20＝20，∴h关于ρ的函数解析式为ℎ=20（2）把h＝25代入ℎ=20ρ，得25=20ρ答：该液体的密度ρ为0.8g/cm3．一、选择题甘肃省10．【2023·甘肃省卷10题】如图1，正方形ABCD的边长为4，E为CD边的中点．动点P从点A出发沿AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，线段PE的长为y，y与x的函数图象如图2所示，则点M的坐标为（）A．（4，23） B．（4，4） C．（4，25） D．（4，5）【答案】C【解析】由题意可知，当点P在边AB上时，y的值先减小后增大，当点P在边BC上时，y的值逐渐减小，∴M点的横坐标为AB的长度，纵坐标为BE的长度.∵AB＝4，EC＝ED=12AB=2，∴BE=BC2+CE四川省9．【2023·遂宁】如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝6，AC＝8，点P为线段AB上的动点．以每秒1个单位长度的速度从点A向点B移动，到达点B时停止．过点P作PM⊥AC于点M．作PN⊥BC于点N，连结MN，线段MN的长度y与点P的运动时间t（秒）的函数关系如图所示，则函数图象最低点E的坐标为（）A．（5，5） B．（6，） C．（，） D．（，5）【分析】根据矩形的性质和直角三角形的性质，可以得到CP⊥AB时，CP取得最小值，此时MN取得最小值，然后即可求得点E的坐标．【答案】C【解析】连接CP，∵AB＝10，BC＝6，AC＝8，∴AC2+BC2＝82+62＝102＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，∵PM⊥AC，PN⊥BC，∴∠PMC＝∠PNC＝90°，∴∠PMC＝∠PNC＝∠ACB＝90°，∴四边形CMPN是矩形，∴MN＝CP，当CP⊥AB时，CO取得最小值，此时CP＝＝＝，AP＝＝＝，∴函数图象最低点E的坐标为（，），故选：C．【点评】本题考查动点问题的函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．辽宁省【2023·本溪】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝3cm．动点P从