-数学（理）｜天一大联考2024届陕西高三上学期10月阶段性测试（一）数学（理）试卷及答案

第1页/共5页2023-2024学年高中毕业班阶段性测试（一）理科数学2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.i3A.+iB.-i22(A不B)C.A（BD.A不B3.已知函数f(x)=x2sinx-1，若f(x0)=10，则f(-x0)=()A-12B.-11C.-10D.10.4.若实数x,y满足约束条件〈(|y39，则z=4x+y的最大值为()A.3〉是公差为-1的等差数列，则Sn的最大值为A.12B.22C.37D.55第2页/共5页55是“x>y”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为()ππ3π8πA.B.C.D.8.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为()A96B.144C.240D.360.9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在棱C1D1上，且BP=3，则点A,C到平面BB1P的距离之和为()A.B.D.25210.把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为()第3页/共5页 ---1---11.在ΔABC中，BD=3BC,E是线段AD上的动点（与端点不重合设CE=xCA+yCB(x，yeR)，则的最小值是()3xyA.6B.7C.8D.9的右支的一个交点为A，若cos经AOF=，则C的离心率为()A.B.2C.D.14.某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为万辆.16.已知定义在R上的函数f(x)及其导函数f,(x)满足f,(x)>一f(x)，若f(ln3)=，则满足不等式 xf(x xe的x的取值范围是.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题第4页/共5页（2）若AB=，求BC.（1）证明：平面ABD∥平面FEC1；（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.，且C的右焦点为F(2,0).（1）求C的离心率；（2）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线x=8上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为kPM，kPN，kPF，证明：kPM+kPN=2kPF.20.小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（0<p<1且每个科目每次考试的结果互不影响.（1）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.（2）以（1）中确定的p0作为p的值.(ⅰ)求小李这项资格考试过关的概率；(ⅱ)若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求E(X).（1）若当xe(0,π)时，f(x)之1恒成立，求m的取值范围；第5页/共5页2，使得f(x1)=f(x2)，求证：x1+x22（二）选考题：共10分.请考生在第222.在平面直角坐标系xOy中，22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为〈（c为参数以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为psin(|(θ-=1.（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，与x轴交于点P，求|PA|2+|PB|2的值.（1）求不等式f(x)+2<g(x)的解集；（2）若关于x的不等式f(x)+g(x)>2a2-13a的解集为R，求实数a的取值范围.第1页/共22页2023-2024学年高中毕业班阶段性测试（一）理科数学2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.i3A.+iB.-i【答案】B【解析】【分析】根据复数的四则运算法则计算得出结果.故选：B.(A不B)C.A（BD.A不B【答案】D【解析】【分析】先结合一元二次不等式解法分别计算集合，再应用交并补定义计算即可.第2页/共22页}，.故选：D.3.已知函数f(x)=x2sinx-1，若f(x0)=10，则f(-x0)=()A.-12B.-11C.-10D.10【答案】A【解析】【分析】根据f(x)=x2sinx-1得到f(-x)，再由f(x0)=10求解.【详解】解：因为函数f(x)=x2sinx-1，所以f(-x)=(-x)2sin(-x)-1=-x2sinx-1，所以f(x)+f(-x)=-2，所以f(-x0)=-12，故选：AA.3【答案】C【解析】【分析】首先画出不等式组表示的平面区域，再利用z的几何意义求目标函数的最大值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图，目标函数化为y=-4x+z，表示斜率为-4的一组平行线，当直线过点A时，直线截距最大，即z取得最大值，l2x-3y=9ly=-1l2x-3y=9ly=-1第3页/共22页故选：C〉是公差为-1的等差数列，则Sn的最大值为A.12B.22C.37D.55【答案】B【解析】【分析】根据〈〉是公差为-1的等差数列，求出{an}的通项公式，判断其为等差数列，确定该数列为递减数列，确定其正项，即可求得答案.故an=13-3n，则数列{an}为a1=10，公差为-3的等差数列，且为递减数列，3即等差数列{an}的前4项为正项，从第5项开始为负，故选：B第4页/共22页是“x>y”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】对任意的x=R，记{x}=x-[x]，则0<{x}<1，利用题中定义、不等式的基本性质、特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.若{x}>y-{y}+1，则x-y>{x}-{y}+1，{y}<0，由不等式的基本性质可得-1<{x}-{y}<1，{x}-{y}+1<2，所以，x-y>{x}-{y}+1>0，即x>y，[y]”是“x>y”的充分不必要条件.故选：A.f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度后所得的图象关于坐标原点对称，则m的最小值为()ππ3π8πA.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先平移得出函数解析式，再根据奇偶性结合范围求参即可.第5页/共22页所以3m因为y=g(x)所以3mπ 2π 2πkπ +3(kekπ +3eZ)，故选：B. π 8.位于成都市龙泉驿区的东安湖体育公园是第31届世界大学生夏季运动会的核心场馆，它包含一座综合运动场、一座多功能体育馆、一座游泳跳水馆和一座综合小球馆．现安排包含甲、乙在内的6名同学到这4个场馆做志愿者，每人去1个场馆，每个场馆至少安排1个人，则甲、乙两人安排在相同场馆的方法种数为()A.96B.144C.240D.360【答案】C【解析】【分析】根据分组方法，结合组合数、排列数等知识求得正确答案.【详解】先将6名同学分成4组：一种方式是甲、乙组成一组，再从另外4人任选2人组成一组，其余的一人一组，另一种方式是甲、乙与另外4人中的1人组成一组，其余的一人一组．再把4组人分到4个场馆，所以安排方法种数为(C+C)A=240.故选：C9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD一A1B1C1D1中，点P在棱C1D面BB1P的距离之和为()第6页/共22页A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根据条件确定点P的位置，利用线面平行把点A,C到平面BB1P的距离分别转化点A1,C1到平面BB1P的距离求解即可.于是点A到平面BB1P的距离等于点A1到平面BB1P的距离，同理点C到平面BB1P的距离等于点C1到平面BB1P的距离，连接A1P，过A1,C1分作B1P的垂线，垂足分别为O1,O，如图，所以点A,C到平面BB1P的距离之和为.故选：B10.把过棱锥的顶点且与底面垂直的直线称为棱锥的轴，过棱锥的轴的截面称为棱锥的轴截面．现有一个正三棱锥、一个正四棱锥、一个正六棱锥，它们的高相等，轴截面面积的最大值也相等，则此正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的体积之比为()第7页/共22页【答案】C【解析】【分析】根据正三棱锥、正四棱锥、正六棱锥的结构特征，结合空间直观想象找到底面边长与高h、最大轴截面S的等量关系，都用S,h表示边长，进而代入分别求解体积，得到体积之比.【详解】设3个正棱锥的高均为h，轴截面面积的最大值均为S.（1）正三棱锥当轴截面与底面的一条棱垂直时，轴截面面积最大，如图，设正三棱锥VABC的底面边长为a，取底边BC的中点D，则DABC,VABC，DAVAA,DA,VA平面VAD，故BC平面VAD，△VAD即为面积最大的轴截面图形. 所以S‘VADahahS，即a，可得正三棱锥的体积为VSBC可得正三棱锥的体积为VSBCSa.13‘VAD39h（2）正四棱锥当轴截面经过底面的一条对角线时，轴截面面积最大，如图，设正四棱锥VABCD的底面边长为b，连接AC，‘VAC即为面积最大的轴截面图形. 所以S‘VACbhS，即b，则底面ABCD的面积为b22，第8页/共22页可得正四棱锥的体积为V2=xh=.（3）正六棱锥当轴截面经过底面的两个相对的顶点时，轴截面面积最大，如图，设正六棱锥V一ABCDEF的底面边长为c，连接AD，△VAD即为面积最大的轴截面图形.可得正六棱锥的体积为V2h2h2.所以正三棱锥、正六棱锥的体积之比为::，即1::.故选：C.---1---11.在ΔABC中，BD=3BC,E是线段AD上的动点（与端点不重合设CE=xCA+yCB(x，yER)，则的最小值是()3xyA.6B.7C.8D.9【答案】D【解析】第9页/共22页3xy【详解】3xy【详解】=+3yx---1------3---因为BD=3BC，所以CB=2CD，--- ------3------因为A,D,E三点共线，所以x+y=18x+3y81(81)(38x+3y81(81)(33y2x 所以的最小值是9，3xy故选：D的右支的一个交点为A，若cos经AOF=，则C的离心率为()A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意求得sin经AOF的值，表示出A点坐标，代入双曲线方程，整理可得关于a,c的齐次式，第10页/共22页即可求得离心率.7【详解】由题意可知cos经AOF=7277 得-=1，结合b2=c2-a2整理得13c4-98a2c2+49a4=0，7=,27=,2由于双曲线离心率e>1，故舍去故选：D【答案】4【解析】【分析】求出点M的坐标，利用抛物线的焦半径公式可得关于p的方程，即可求得答案. 8（p>0【详解】把（p>0pp +28 p(8)p +28 p(8)故答案为：4第11页/共22页14.某品牌新能源汽车2019-2022年这四年的销量逐年增长，2019年销量为5万辆，2022年销量为22万辆，且这四年销量的中位数与平均数相等，则这四年的总销量为万辆.【答案】53【解析】【分析】根据中位数和平均数公式，结合题意，即可求解.【详解】设2020年的销量为a，2021年的销量为b，5<a<b<22，由题意可知，中位数为，平均数为，故答案为：53【答案】5【解析】【分析】根据题意先求得a2=5，a3=17，的通项公式，进而根据{an}的单调性即可求解.n-1-1，易知{an}是递增数列，又a45故答案为：5.【点睛】本题考查递推数列.16.已知定义在R上的函数f(x)及其导函数f,(x)满足f,(x)>-f(x)，若f(ln3)=，则满足不等式第12页/共22页 xf(x xe的x的取值范围是.【解析】【分析】由条件f,(x)>一f(x)，构造函数g(x)=exf(x)，由g,(x)>0得g(x)在R上单调递增，再利用单调性解不等式即可.【详解】由题意，对任意xeR，都有f,(x)>一f(x)成立，构造函数g(x)=exf(x)，则g,(x)=f,(x)ex+f(x)ex=exf,(x)+f(x)>0，所以函数g(x)在R上单调递增.不等式f(x)>即exf(x)>1，即g(x)>1..三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第13页/共22页（2）若AB=，求BC.【解析】72【分析】（1）利用正弦定理及同角三角函数基本关系即可求解；（2）利用诱导公式求出cos经BAC然后利用余弦定理即可求出BC.【小问1详解】【小问2详解】88,在‘ABC中，由余弦定理得（1）证明：平面ABD∥平面FEC1；（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值.第14页/共22页【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）由平行四边形证明线线平行，再由两对直线的平行关系，证明线面平行，再利用面面平行的判定定理证明面面平行2）先证明垂直关系，由此建立空间直角坐标系，利用向量法求解线面角.【小问1详解】在ΔABC中，因为E，F分别是BC，AC的中点，则AB∥平面FEC1，因为AC∥A1C1，则AF∥DC1，所以四边形AFC1D为平行四边形，所以AD∥FC1，AD丈平面FEC1，FC1一平面FEC1，则AD∥平面FEC1，又因为AD（AB=A，且AD,AB一平面ABD，所以平面ABD∥平面FEC1.【小问2详解】由余弦定理可得所以AB2+BC2=AC2，从而AB」BC.以B为坐标原点B，B，BB1的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系B-xyz.第15页/共22页.设平面ABD的法向量为=(x,y,z)，(4,0,-1)为平面ABD的一个法向量，---n.AC---n.AC---所以 所以 .---ACn所以直线AC与平面ABD所成角的正弦值为.，且C的右焦点为F(2,0).（1）求C的离心率；（2）过点F且斜率为1的直线与C交于M，N两点，P直线x=8上的动点，记直线PM，PN，PF的斜率分别为kPM，kPN，kPF，证明：kPM+kPN=2kPF.（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据条件求出椭圆方程再求离心率；（2）设M(x1,y1)，N(x2,y2)，P(8,y0)，将直线MN的方程与椭圆方程联立得x1+x2，x1x2，代入斜+率公式验证kPM+kPN+【小问1详解】故C的离心率为【小问2详解】 =.设M(x1,y1)，N(x2,y2由题意可得直线MN的方程为y=x-2，x2y0-y118-x1y0-y228-x2)(8-x2)x2-8(x1033,第16页/共22页第17页/共22页因此kPMy0-0y0=,8-2620.小李参加某项专业资格考试，一共要考3个科目，若3个科目都合格，则考试直接过关；若都不合格，则考试不过关；若有1个或2相科目合格，则所有不合格的科目需要进行一次补考，补考都合格的考试过关，否则不过关．已知小李每个科目每次考试合格的概率均为p（0<p<1且每个科目每次考试的结果互不影响.（1）记“小李恰有1个科目需要补考”的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0.（2）以（1）中确定的p0作为p的值.(ⅰ)求小李这项资格考试过关的概率；(ⅱ)若每个科目每次考试要缴纳20元的费用，将小李需要缴纳的费用记为X元，求E(X).（2）(ⅰ)；(ⅱ)70【解析】【分析】（1）利用概率的乘法公式可得f(p)=3p2(1-p)，再根据导数讨论单调性和最值；（2i）分三类情况求解：第一次考试都合格；第一次考试2门合格，1门不合格；第一次考试1门合格，2门不合格ii）根据缴费与补考科目的关系求解.【小问1详解】则f,(p)=-9p2+6p=3p(2-3p)，所以当p=时，f(p)取最大值，即p0=.第18页/共22页【小问2详解】(ⅰ)小李第一次考试3个科目都合格的概率为P1=3=，(ⅱ)X的所有可能取值为60，80，100，22（1）若当xe(0,π)时，f(x)>1恒成立，求m的取值范围；22，使得f(x1)=f(x2)，求证：x2「-π