2017-2018学年人教B版高中数学选修1-1全册学案

2017-2018学年高中数学人教B版

选修1”全册同步学案

目录

1.1.1命题

1.1.2量词

1.2.1"且”与“或”

1.2.2“非”（否定）

1.3.1推出与充分条件、必要条件

1.3.2命题的四种形式

2.1.1椭圆及其标准方程

2.1.2椭圆的几何性质（一）

2.1.2椭圆的几何性质（二）

2.2.1双曲线及其标准方程

2.2.2双曲线的几何性质

2.3.1抛物线及其标准方程

2.3.2抛物线的几何性质

第二章末复习提升

3.1.1函数的平均变化率

3.1.2瞬时速度与导数

3.1.3导数的几何意义

3.2.1常数与基函数的导数-322导数公式表

3.2.3导数的四则运算法则

3.3.1利用导数判断函数的单调性

3.3.2第1课时利用导数研究函数的极值

332第2课时利用导数研究函数的最值

3.3.3导数的实际应用

第三章末复习提升

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THEFIRSTCHAPTER

第一章常用逻辑用语

1.1命题与量词

1.1.1命题

［学习目标］1.了解命题的概念2会判断命题的真假.

声预习导学工I挑战自我，点点落实__________________________________________________________

［知识链接］

在初中，我们已学过许多数学命题，当时是如何定义命题的，你能举出一些例子吗？

答判断一件事情的句子叫命题.

如：有两边相等的三角形是等腰三角形.

［预习导引］

1.命题的概念

在数学中，我们常常碰到许多用语言、符号或式子表达的语句，其中能判断真假的陈述句叫

做命题.

2.命题的真假

判断为真的语句叫做真命题,

判断为假的语句叫做假命题.

芝课堂讲义=重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一命题的判断

例1下列语句是命题的是（）

A.x-l=0B.2+3=8

C.你会说英语吗？D.这是一棵大树

答案B

解析A中x不确定，X—1=0的真假无法判断；B中2+3=8是命题，且是假命题；C不

1

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是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.

规律方法并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题，命题首先是

“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，

不能判断真假的陈述句不是命题，如“x》2”、“小明的个子很高”等都不能判断真假，故

都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断

真假.

跟踪演练1判断下列语句是否是命题.

(1)求证于是无理数.

(2)x2+2r+1^0.

(3)你是高二的学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果.

(5)一个正整数不是质数就是合数.

(6)若xGR,则X2+4X+7＞0.

(7)x+3＞0.

解⑴⑶⑺不是命题,(2)(4)(5)(6)是命题.

要点二命题真假的判断

例2判断下列命题的真假：

(1)已知a,h,c,JGR,若“Wc,b^d,则“+bWc+d；

⑵如果xWN,则成立;

(3)如果加＞1,则方程幺一级+加=0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆.

解⑴假命题.反例：1W4,5W2,但l+5=4+2.

(2)假命题.反例：当x=0时，/＞小不成立.

(3)真命题＞10/=4-4加＜0,二方程x2-2x+m=0无实数根.

(4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆.

规律方法要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在证明时，要有理有

据，有时应综合各种情况作出正确的判断，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即

可.

跟踪演练2下列命题：

①如果盯=1,则x、y互为倒数；

2

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②四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④如果ac2>6c2,贝！Ja>b.

其中真命题的序号是.

答案①④

解析①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，不一定是正方形，③平行四边形不是

梯形.

芝当堂检测餐当堂训练，体验成功__________________________________________________________

1.下列语句不是命题的有（）

①2<1；②x<l；③如果x<2,则x<l；④函数加:）=/是R上的偶函数.

A.0个B.14-C.2个D.3个

答案B

解析①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题.

2.下列命题中的真命题是（）

A.互余的两个角不相等

B.相等的两个角是同位角

C.如果/=则同=回

D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

答案C

解析由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的.

3.命题“函数尸2x+l是增函数"的条件是，结论是.

答案函数为y=2x+l该函数是增函数

4.下列命题：

①面积相等的三角形是全等三角形；②若孙=0,则|x|+[y|=0；③若心6,则四2>庆2；④矩

形的对角线互相垂直.

其中假命题的个数是.

答案4

解析①等底等高的三角形都是面积相等的三角形，但不一定全等；②当中一个为零，

另一个不为零时，\x\+\y\^0;③当c=O时不成立；④菱形的对角线互相垂直.矩形的对角

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线不一定垂直.

「课堂小结-----------------------------------1

1.根据命题的意义，能判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真

命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可.

2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“如果°,则，'的形式.含有大前提的命

题写成“如果p,则的形式，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

1.1.2量词

［学习目标］1.通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词与存在量词的意义2能正确的

对含有一个量词的命题进行否定3知道全称命题的否定是存在性命题，存在性命题的否定是

全称命题.

声预习导学餐挑战自我，点点落实__________________________________________________________

［知识链接］

下列语句是命题吗？(1)与(3),(2)与(4)之间有什么关系？

(2)2x+l是整数；

⑶对所有的xGR,x>3；

(4)至少有一个xGZ,使2x+l是整数.

答：语句(1)、(2)含有变量x,由于不知道变量x代表什么数，无法判断它们的真假，因而不

是命题.语句(3)在(1)的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；语句(4)在(2)的基

础上，用短语“至少有一个”对变量x进行限定，从而使(3)(4)成为可以判断真假的语句，

因此语句(3)、(4)是命题.

［预习导引］

1.全称量词和全称命题

(1)全称量词：短语“所有”在陈述中表示事物的全体，逻辑中通常叫做全称量词,并用符

号“V”表示.

(2)全称命题：含有全称量词的命题叫做全称命题.即是陈述某集合所有元素都具有某种性

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质的命题.其形式为“对例中的所有x,p(x)”的命题，用符号简记为Vx旺Hx).

2.存在量词和存在性命题

(1)存在量词

短语“有一个”或“有些”或“至少有一个”在陈述中表示所述事物的个体或部分,逻辑中

通常叫做存在量词,并用符号“m”表示.

(2)存在性命题

含有存在量词的命题,叫做存在性命题.即是陈述某集合"的有些元素X具有某种性质的

命题，那么存在性命题就是形如“存在集合"中的元素x,q(x)”的命题，用符号简记为

三。€四，g(x).

声课堂讲义=重点难，京，个个击破__________________________________________________________

要点一全称量词与全称命题

例1试判断下列全称命题的真假：

(l)VxCR,X2+2>0；

(2)VxGN,

(3)对任意角a,都有si/a+cos2a=1.

解(1)由于VxWR,都有x220,因而有f+2>2>0,即f+2>0,所以命题“VXGR,?

+2>0”是真命题.

(2)由于0GN,当x=0时，不成立，

所以命题“WxCN,是假命题.

(3)由于VaCR,sin2a+cos2a=l成立.

所以命题“对任意角a,都有si/a+cos2a=1”是真命题.

规律方法判断全称命题为真时，要看命题是否对给定集合中的所有元素都成立.判断全称

命题为假时，可以用反例进行否定.

跟踪演练1判断下列全称命题的真假：

(1)所有的素数是奇数；

(2)VxGR,f+i2］；

(3)对每一个无理数x,W也是无理数.

解(1)2是素数，但2不是奇数.

所以，全称命题“所有的素数是奇数”是假命题.

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(2)VxGR,总有¥20,因而¥+121.

所以，全称命题“VxCR,x2+l>lw是真命题.

(3附是无理数，但(血产=2是有理数.

所以，全称命题”对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题.

要点二存在量词与存在性命题

例2判断下列命题的真假：

(l)3xSZ,x3<l；

(2)存在一个四边形不是平行四边形；

(3)有一个实数a,tana无意义.

兀

(4)3x^R,cosx=/.

解⑴•.•一iez,且—

a3xez,x3<1"是真命题.

(2)真命题，如梯形.

,JT

(3)真命题，当a=g时，tana无意义.

TT

(4)；当xGR时，cosxG[-l,l],而]>1,

TI

不存在xGR,使co&r=/,

.,.原命题是假命题.

规律方法存在性命题是含有存在量词的命题，判定一个存在性命题为真，只需在指定集合

中找到一个元素满足命题结论即可.

跟踪演练2判断下列存在性命题的真假：

(1)有一个实数x,使X2+2X+3=0；

(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；

(3)有些整数只有两个正因数.

解(1)由于VxdR,』+2X+3=(X+1)2+2》2,因此使？+2x+3=0的实数x不存在.所

以，存在性命题”有一个实数x,使f+2x+3=0”是假命题.

(2)由于垂直于同一条直线的两个平面是互相平行的，因此不存在两个相交的平面垂直于同

一条直线.所以，存在性命题“存在两个相交平面垂直于同一条直线”是假命题.

(3)由于存在整数3只有两个正因数1和3,所以存在性命题“有些整数只有两个正因数”是

真命题.

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要点三全称命题、存在性命题的应用

例3(1)对于任意实数x,不等式sinx+cosx>m恒成立.求实数机的取值范围；

(2)存在实数x,不等式sinx+cosx>/77有解，求实数m的取值范围.

解(口☆yusinx+cosx,x^R,

•.•y=sinx+cosx=V^sin(x+分，一啦，

又丁Vx^R,siar+cosx>w恒成立，

・・・只要〃K—6即可.

，所求机的取值范围是(一8,一啦).

(2)令歹=sinv+cosx,x^R,

・・，=sinx+cosx=啦sin(x+/e[—$，y[2].

又丁3x^R,sinr+cosx>w有解，

・♦.只要〃「即可，

・・・所求〃?的取值范围是(一8,啦).

规律方法有解和恒成立问题是存在性命题和全称命题的应用，注意二者的区别.

跟踪演练3(1)已知关于x的不等式f+(2a+l)x+a2+2W0的解集非空，求实数。的取值

范围；

(2)若命题p：回一sin2x=sinx—cosx是真命题,求实数x的取值范围.

解(1)关于x的不等式』+(2a+l)x+a2+2W0的解集非空，・"=(2。+1)2—4(/+2)20,

即4〃—720,

77

解得心4・・・实数a的取值范围为g+8).

(2)由41-sin2x=sinx-cosx,

得y]sin2r+cos2x-2sirtvcosx=sinx-cosx,

y/(siar-cosx)2=sinx-cosx,

即|sinx-cosx|=sinx-cosx,

.*.sinx^co&r.

TT5IT

结合三角函数图象，得2E+gxW2E+詈(MZ),

此即为所求x的取值范围.

即p：Vx£[2E+j,2E+亨]/WZ),有[1—sin2x=sinx—coax是真命题.

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寻当堂检测》当堂训练，体验成功__________________________________________________________

1.给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数

x,x>0；④对于任意实数x,2x+l是奇数.下列说法正确的是()

A.四个命题都是真命题

B.①②是全称命题

C.②③是存在性命题

D.四个命题中有两个假命题

答案C

解析①④为全称命题；②③为存在性命题；①②③为真命题；④为假命题.

2.下列命题中，不是全称命题的是()

A.任何一个实数乘以0都等于0

B.自然数都是正整数

C.每一个向量都有大小

D.一定存在没有最大值的二次函数

答案D

解析D选项是存在性命题.

3.下列存在性命题是假命题的是()

A.存在xCQ,使2^一?？=0

B.存在x6R,使x2+x+l=0

C.有的素数是偶数

D.有的有理数没有倒数

答案B

解析对于任意的xCR,f+x+l=(x+2)2+j>0恒成立.

4.用量词符号“V”“三”表述下列命题：

(1)凸〃边形的外角和等于2兀

(2)有一个有理数x满足X2=3.

(3)对任意角a,都有sin%+cos%=1.

解(l)Txe{x|x是凸"边形},x的外角和是2兀.

(2)X2=3.

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(3)Va£R,sin2a+cos%=1.

|-课堂小结-----------------------------------1

1.判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是根据命题涉及的意义去判断，命题中有的含

有全称量词和存在量词，有的不含全称量词和存在量词，一定要抓实质，不能看表面.

2.要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；要确定一个全称命

题是假命题，举出'一个反例即可.

3.要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻样推理

得到命题对所有的元素都不成立，则该存在性命题是假命题.

1.2基本逻辑联结词

1.2.1“且”与“或”

［学习目标］1.理解逻辑联结词“且”、“或”的含义2会用逻辑联结词联结两个命题或改

写某些数学命题，并能判断命题的真假.

尹预习导学J挑战自我，点点落实__________________________________________________________

［知识链接］

1.观察三个命题：①5是10的约数；②5是15的约数；③5是10的约数且是15的约数，

它们之间有什么关系？

答：命题③是将命题①，②用“且”联结得到的新命题.“且”与集合运算中交集的定义

A^B^{x\x^A,且xe团中“且”的意义相同，叫逻辑联结词，表示“并且”，“同时”

的意思.

2.观察三个命题：①3>2；②3=2；③322它们之间有什么关系？

答：命题③是命题①，②用逻辑联结词“或”联结得到的新命题.“或”与集合运算中并集

A^B={x\x^A,或xd团中的“或”的意义相同，有“可兼”的含义.

［预习导引］

1.用逻辑联结词构成新命题

(1)一般地，用逻辑联结词“且”把命题p和命题q联结起

来，就得到一个新命题，记作包细，读作“p且.

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由“且”的含义，可以用“且”来定义集合4和集合8的交集八(xG8)}.

(2)一般地，用逻辑联结词“或”把命题p,g联结起来，就得到一个新命题，记作必，读

作“p或g”.

由“或”的含义，可以用“或”来定义集合/和集合8的并集/U8="|(xG/)\/ae8)}.

2.含有逻辑联结词的命题的真假判断

PqP八4

真真*真

真：假真假

假真假

假假微假

,课堂讲义金重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一含逻辑联结词的命题的构成

例1指出下列命题的形式及构成它的简单命题：

(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；

(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形.

解(1)这个命题是"pAq”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数.

(2)这个命题是“p'q”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，/菱形是圆的外切四边

形.

规律方法(1)正确理解逻辑联结词“且”“或”是解题的关键.

(2)有些命题并不一定包含“或”“且”这些逻辑联结词，要结合命题的具体含义正确的判

定命题构成.

跟踪演练1分别写出由下列命题构成的“pVq”“pAq”形式的命题：

(l)p：梯形有一组对边平行，伙梯形有一组对边相等；

Q)p：一1是方程f+4x+3=0的解，q：一3是方程f+4x+3=0的解.

解(Dp八q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等.

pVg：梯形有一组对边平行或有一组对边相等.

(2)/?Aq：-1与-3是方程/+4》+3=0的解.

p\/q：-1或一3是方程X2+4X+3=0的解.

要点二判断含逻辑联结词命题的真假

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例2指出下列命题的构成形式并判断命题的真假：

(I)等腰三角形底边上的中线既垂直于底边，又平分顶角；

(2)1是素数或是方程f+3x-4=0的根.

解(1)是p八q形式,其中p：等腰三角形底边上的中线垂直于底边；外等腰三角形底边上

的中线平分顶角.因为p真，夕真，所以pAq真.所以该命题是真命题.

(2)这是pVq形式命题，其中p：1是素数；/1是方程x?+3x-4=0的根，因为p假，q

真，所以pVq真，故该命题是真命题.

规律方法判断含逻辑联结词的命题的真假的步躲：

(1)逐一判断命题p,q的真假.

(2)根据“且”“或”的含义判断“pNq”，“pVg”的真假.

p/\q为真Op和q同时为真，pf\q为假Op和q中至少一个为假；

pVg为真Op和q中至少一个为真，p\/q为假0P和q同时为假.

跟踪演练2分别指出下列各组命题构成的“pAg”和“p7q”形式的命题的真假：

(l)p：6<6,q：6=6；

(2)p：梯形的对角线相等，/梯形的对角线互相平分；

(3)p：函数y=x?+x+2的图象与x轴没有公共点；

q：不等式x2+x+2<0无解；

(4>:函数^=8&¥是周期函数.

q：函数y=cosx是奇函数.

解(l)：p为假命题，g为真命题.

；.pA夕为假命题，pVq为真命题.

(2)：p为假命题，q为假命题，

为假命题，pVq为假命题.

(3)：p为真命题，q为真命题，

.'.pA夕为真命题，pVg为真命题.

(4)；p为真命题，q为假命题，

.'.pA夕为假命题，pVg为真命题.

要点三逻辑联结词的应用

例3设有两个命题.命题p：不等式x2-(a+l)x+lW0的解集是。；命题夕：函数

+1『在定义域内是增函数.如果0人夕为假命题，pV夕为真命题，求a的取值范围.

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解对于p:因为不等式

x2-（a+l）x+lW0的解集是0,

所以/=[一（。+1）]2—4<0.

解这个不等式得：-3<a<l.

对于q：兀0=（。+1）、在定义域内是增函数,

则有所以a>0.

又pAq为假命题，pVq为真命题，

所以p、q必是一真一假.

当P真q假时有一3QW0,当P假4真时有生1.

综上所述，。的取值范围是（一3,0]U[l,+oo）.

规律方法正确理解"且''”或”的含义是解此类题的关键，由pAq为假知p,g中至少一假，由

pVg为真知p,q至少一真.

跟踪演练3已知命题曲方程f+2ax+l=0有两个大于一1的实数根，命题.关于x的

不等式ax2-ax+1>0的解集为R,若夕为假命题，“pVg”为真命题，求实数a的取值范

围.

解命题p：方程/+2依+1=0有两个大于一1的实数根，等价于

J=4tz2—420,a2—1>0,

*x\+^2>—2,6—2a>—2,

Xxi+l)(x2+l)>0〔2—2a>0,

解得Q<一1.

命题4：关于x的不等式必2—公+1>0的解集为R,

ft7>0,

等价于a=0或J

I/O.

(7>0,。>0,

由于？解得0VQV4,・・・0W〃V4.

J<0a—4a<0,

因为9为假命题，“pV/'为真命题，即p真且q假,

—1,

所以解得a<一1.

。<0或

故实数。的取值范围是（-8,-1].

芝当堂检测¥当堂训练，体验成功__________________________________________________________

I.命题：“方程W—1=0的解是x=±l"，其使用逻辑联结词的情况是（）.

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A.使用了逻辑联结词“且”

B.使用了逻辑联结词“或”

C.没有使用逻辑联结词

D.以上选项均不正确

答案B

解析”x=±l"可以写成“x=l或X=-1"，故选B.

2.已知p-.0a{0},q：{1}€{1,2}.在命题“p”,“q”,upNqn,和“pVq”中，真

命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.0个

答案B

解析容易判断命题p：00{0}是真命题，命题g：{1}G{1,2}是假命题，所以pAg是假命

题，pVq真命题，

故选B.

3.给出下列命题：

@2>1或1>3；

②方程》2—爱一4=0的判别式大于或等于0；

③25是6或5的倍数；

④集合/C8是1的子集，且是NU3的子集.

其中真命题的个数为（）

A.IB.2C.3D.4

答案D

解析①由于2>1是真命题，所以“2>1或1>3”是真命题；

②由于方程》2—2x—4=0的/=4+16>0,所以“方程f—2x—4=0的判别式大于或等于0”

是真命题；

③由于25是5的倍数，所以命题”25是6或5的倍数”是真命题；

④由于108三%,所以命题“集合/A8是/的子集，且是ZU8的子集”

是真命题.

4.命题p-.方向相同的两个向量共线，q：方向相反的两个向量共线，则命题“pV«”为

答案方向相同或相反的两个向量共线

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解析方向相同的两个向量共线或方向相反的两个向量共线，即“方向相同或相反的两个向

量共线”.

(-课堂小结-----------------------------------1

1.正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选,

而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个.

2.判断含逻辑联结词命题的真假时，先逐一判断命题p,q的真假；再根据“且”“或”的

含义判断“p/\q”“pVq”的真假.

1.2.2“非”(否定)

［学习目标］1.理解逻辑联结词“非”的含义2掌握存在性命题和全称命题否定的格式，会

对命题、存在性命题、全称命题进行否定.

产预习导学/挑战自我，点点落实__________________________________________________________

［知识链接］

你能尝试写出下面含有一个量词的命题的否定吗？

(1)所有矩形都是平行四边形；

(2)每一个素数都是奇数；

(3)VA-£R,X2~2X+1^0.

答：(1)存在一个矩形不是平行四边形；

(2)存在一个素数不是奇数；

(3)3xGR,x2—2x+1<0.

［预习导引］

1.概念

一般地，对命题〃加以否定，就得到一个新的命题，记作鳏，读作“非p”或“p的否定”.

由“非”的含义，可以用“非”来定义集合/在全集U中的补集］〃={xeu|^(xd/)}=

{x£U\x^-A}.

2.p与^p真值表

p

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3.存在性命题的否定

存在性命题p：3x^A,p(x),

它的否定是㈱P：X/xL,(x).

存在性命题的否定是全称命题.

4.全称命题的否定

全称命题/VxGJ,g(x),

它的否定是^(7：mxd/,睇。(x).

全称命题的否定是存在性命题.

5.开句

含有变量的语句，通常称为开句或条件命题.

菱课堂讲义=重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一全称命题的否定

例1写出下列全称命题的否定：

(1)任何一个平行四边形的对边都平行；

(2)数列：1,2,3,4,5,中的每一项都是偶数；

(3)Va,b《R,方程都有唯一解；

(4)可以被5整除的整数，末位是0.

解(1)其否定为：存在一个平行四边形的对边不都平行.

(2)其否定：数列：1,2,3,4,5,中至少有一项不是偶数.

(3)其否定：3a,h&R,使方程办=6的解不唯一或不存在.

(4)其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.

规律方法全称命题的否定是存在性命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否

定.

跟踪演练1写出下列全称命题的否定：

(l)p：所有能被3整除的整数都是奇数；

(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；

(3＞：对任意xGZ,/的个位数字不等于3.

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解(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数.

(2)㈱p：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.

(3)^p：3xez,x?的个位数字等于3.

要点二存在性命题的否定

例2写出下列存在性命题的否定：

(1)p：3xGR,f+x+3W0；

(2均：有的三角形是等边三角形；

(3>：有一个质数含有三个正因数.

解⑴㈱p：VxGR,X2+X+3>0.

(2)㈱/所有的三角形都不是等边三角形.

(3)^r：每一个质数都不含三个正因数.

规律方法存在性命题的否定是全称命题，即“mxe/,p(x)”的否定为“VxG/,^p(x)”.由

以上结论，可知写一个命题的否定时，首先判断该命题是“全称命题”还是“存在性命题”，

要确定相应的量词，给出命题否定后，要判断与原命题是否相对应(全称命题—存在性命题),

进一步判断它们的真假是否对应.

跟踪演练2写出下列存在性命题的否定：

⑴P：有些实数的绝对值是正数：

(2)p：某些平行四边形是菱形；

(3冰BxGR,x3+l<0.

解(1)㈱p：所有实数的绝对值都不是正数.

(2)㈱p：每一个平行四边形都不是菱形.

(3避p：Vx£R,d+120.

要点三存在性命题、全称命题的综合应用

例3已知函数")=4》2-2仍一2比一202—/?+1在区间［-1,1］上至少存在一个实数一使得

/(c)>0.求实数p的取值范围.

解在区间［-L1］中至少存在一个实数C,使得｛。)>0的否定是在［—1,1］上的所有实数X,

都有_Ax)wo恒成立.又由二次函数的图象特征可知，

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即j4+2（p-2）—2p2—p+l<0,

V（l）W0,U-2（p-2）-2p2-/?+l<0,

〃力或睁一右

3.

{或pW—3.

3

.•.p2］或pW—3.

故在区间［—1,1］上至少存在一个实数C且使人c）>0的实数p的取值范围是（一3,1）.

规律方法通常对于“至多”“至少”的命题，应采用逆向思维的方法处理，先考虑命题的

否定，求出相应的集合，再求集合的补集，可避免繁杂的运算.

跟踪演练3若VxeR,&）=（“2—1『是减函数，则a的取值范围是.

答案（一&,-1）U（1,姬）

［a1—1>0,

2

解析依题意有：0<tz-l<lo2

［才一1<1

p/v—1或。>1,

cj厂广^—yJ2<a<—1或l<a<,\/2.

尹当堂检测兰当堂训练，体验成功__________________________________________________________

1.命题P："存在实数小使方程/+,内+1=0有实数根”，则形式的命题是（）

A.存在实数加，使方程x2+〃优+1=0无实根

B.不存在实数机，使方程*2+加工+1=0无实根

C.对任意的实数加，方程x?+机》+1=0无实根

D.至多有一个实数加，使方程》2+”式+1=0有实根

答案C

解析命题p是存在性命题，其否定形式为全称命题，即^p：对任意的实数机，方程f

+/nx+1=0无实根.

2.对下列命题的否定说法错误的是（）

A.p-.能被2整除的数是偶数；㈱p：存在一个能被2整除的数不是偶数

B.p-.有些矩形是正方形；糠p：所有的矩形都不是正方形

C.p-.有的三角形为正三角形；㈱p：所有的三角形不都是正三角形

D.p：m〃eN,2"W100；㈱p：V〃WN2">100.

答案C

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解析“有的三角形为正三角形”为存在性命题，其否定为全称命题：“所有的三角形都不

是正三角形”，故选项C错误.

3.下列命题中的假命题是()

A.VXGR,2*T>0

B.VxGN*,(x-l)2>0

C.R,lgx<l

D.3xGR,tanx=2

答案B

解析A中命题是全称命题，易知2*-、0恒成立，故是真命题；B中命题是全称命题，当x

=1时，(X—1)2=0,故是假命题；C中命题是存在性命题，当x=l时，lgx=0,故是真命

题；D中命题是存在性命题，侬据正切函数定义，可知是真命题.

4.命题“零向量与任意向量共线”的否定为.

答案有的向量与零向量不共线

解析命题“零向量与任意向量共线”即“任意向量与零向量共线”，是全称命题，其否定

为存在性命题：“有的向量与零向量不共线”.

|-课堂小结-----------------------------------1

1.对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题：

(1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题，无量词的全称命题要先补回量词再否定.

(2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.

2.同一个全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法，在实际应

用中可以灵活地选择.

全称命题特称命题

命题

p(x)”

①对所有的p(x)成立①存在使p(x)成立

②对一切p(x)成立②至少有一个工£力，使p(x)成立

表述方法③对每一个p(x)成立③对有些使p(x)成立

④任选一个工£力，使p(x)成立④对某个工仁力，使p(r)成立

⑤凡都有p(x)成立⑤有一个工仁力，使p(r)成立

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1.3充分条件、必要条件与命题的四种形式

1.3.1推出与充分条件、必要条件

［学习目标］1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义2会求（判定）某些简单命题的条件

关系.

预习导学一挑战自我，点点落实__________________________________________________________

［知识链接］

判断下列两个命题的真假，并思考命题中条件和结论之间的关系：

（1）如果X>J+62,则X>2"；

（2）如果则x=l.

答（1）为真命题，（2）为假命题.

命题⑴中,有XAJ+ZA必有x>2a6,BPx>a2b2=>x>2ab；但由x>206推不出%>/+征.命

题（2）中，由|x|=l,可得x=l或-1.即由博=1推不出x=l；但由元=1能推出W=l.

结论：一般地，“如果p,则夕”为真命题，是指由p通过推理可以得出《.这时，我们就说，

由p可推出4,记作p台分并且说p是4的充分条件，q是p的必要条件.

［预习导引］

1.命题的结构

在数学中，我们经常遇到“如果P，则（那么切”的形式的命题，其中。称为命题的条件,q

称为命题的结论.

2.充分条件与必要条件的定义

当命题“如果p,则经过推理证明断定是真命题时，我们就说由p成立可以推出《成立，

记作〃=>〃,读作"p推出.

如果p可推出g,则称〃是〃的充分条件;4是〃的必要条件.

3.p今g的等价命题在逻辑推理中，能表达成以下5种说法：

①“如果p,则q”为真命题;②p是q的充公条件；③q是p的必要条件:④q的充分条件

是p；的必要条件是久

4.充要条件的定义

-一般地，如果且〃一小则称p是夕的充分且必要条件，简称。是。的充要条件,记

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作pOq.

p是q的充要条件，又常说成。当且仅当〃,或“与。等价.

,课堂讲义餐重点难点，个个击破__________________________________________________________

要点一充分条件、必要条件、充要条件的判断

例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，

“充要条件”，“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)：

(1)在△/8C中，p：N4>NB,q：BOAC；

(2)在△/8C中，p：sitvl>sin5,q：tan?l>tanS；

(3)已知x,yGR,p：(x-l)2+(y—2)2=0,

q：(x—l)(y—2)=0.

解(1)在△/8C中，显然有所以p是4的充要条件.

(2)取Z=120。，8=30。，p>/q,又取4=30°,8=120°,q*/p,所以p是夕的既不充分也

不必要条件.

(3)因为p：4={(1,2)},

q:B—{(x,y)|x=l或y=2},

AB,所以p是g的充分不必要条件.

规律方法(1)判断p是17的什么条件，主要判断p=>q及q=p两命题的正确I性，若p今g真，

则p是4的充分条件，若q0p真，则p是q的必要条件.

(2)关于充要条件的判断问题，当不易判断。今q真假时，也可从集合角度入手判断真假，结

合集合关系理解，对解决与逻辑有关的问题是大有益处的.

跟踪演练1指出下列各组命题中，p是夕的什么条件(在“充分不必要条件，必要不充分条

件，充要条件，既不充分也不必要条件”中选一种作答)？

(l)p：△ABC中，b2>a2+c2,q：△Z8C为钝角三角形；

(2)夕A/BC有两个角相等，</：△NBC是正三角形；

a,p：ci~—0rq：a=b=Q.

解(1)在△/BC中，

22,2a2+c2-b2

\"b2>a2+c2,：.cosB=~­----<0,

lac

•••8为钝角，即△48C为钝角三角形，反之若△48C为钝角三角形，8可能为锐角，这时

b2<a2+c2.

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2017-2018学年高中数学人教B版选修1-1学案

:,p0q,q今p,故p是夕的充分不必要条件.

(2)有两个角相等不一定是等边三角形，反之一定成立，

:q，q=p，故P是夕的必要不充分条件.

(3)若J+/=o,则a=6=0,故p今q；

若4=6=0,则42+反=0,即夕今p,

所以P是9的充要条件.

要点二充要条件的证明

例2求证：关于X的方程f+s+i=o有两个负实根的充要条件是加，2.

证明(1)充分性：因为〃?22,所以/=〃?2—4》0,所以方程f+Mx+i=。有实根，设两根

为X1，孙

由根与系数的关系知，X1X2=1>O,所以修，X2同号.

又XI+M=—MW—2<0,所以修，M同为负数.

即仅22是x2+wx+1=0有两个负实根的充分条件.

(2)必要性：因为f+〃7x+l=0有两个负实根，设其为修，必，且工座2=1,

-420,

所以工

[X]十M=一“<A0,

加22或阳W—2,

即

7?7>0,

所以〃?22,即加22是1=0有两个负实根的必要条件.

综上可知，加22是/+加工+1=。有两个负实根的充要条件.

规律方法充要条件的证明，关键是确定哪是条件，哪是结论，并明确充分性是由条件推结论,

必要性是由结论推条件，也可以理解为证明充分性就是证原命题成立，证必要性就是证原命

题的逆命题成立.

跟踪演练2求证：方程f+(2左一1)/+必=0的两个根均大于1的充要条件是“V—2.

证明必要性:

若方程f+(2攵-l)x+F=0有两个大于1的根，不妨设两个根为修，X2,则

'/=(2%—1)2—4必20,

(

X1-l)+(x2-1)>0,(xi+.¥2)—2>0,

—

.(Xj—l)(x2l)>0.<XiX2~(X1+%2)+1>0.

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产,

即-(2/t-l)-2>0,

1+(2左-1)+1>0,

解得k<—2.

充分性：当ZV—2时，/=(2%—1)2—4必=1-4%>0.

设方程工2+（2攵一l）x+F=0的两个根为修，X2.

则(X]—1)(工2—1)=工]工2—8+》2)+1=0+2攵-1+1=%(%+2)>0.

又(修一1)+(工2—1)=(犷+工2)—2=—(2攵-1)—2

=一2左一1>0,

•*.%1—1>0,X2~1>0,

1,M>1.

综上可知，方程f+（2左一l）x+d=0有两个大于1的根的充要条件为左〈一2.

要点三充分条件和必要条件的应用

例3己知p：2?-3x-2》0,公X2一2（“一l）x+a（a-2）20,若p是q的充分不必要条件.求

实数。的取值范围.

解