四川省棠湖中学高三周练数学（理）试题（5.21）

2018年四川省棠湖中学高三年级周练数学（理科）考试时间：120分钟满分：150分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题60分）一、单选题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分）1．已知集合，，则A.B.C.D.2．若复数则“”是“是纯虚数”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．若满足约束条件，则的最小值是A.B.C.D.4．执行如图所示的程序框图，则输出的值为A.4B.5C.5．已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则6．将函数的图象向右平移个单位，得到的图像关于原点对称，则的最小正值为A.B.C.D.7．在中，内角，，的对边分别为，，，若的面积为，且，则（）A.B.C.D.8．若点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为A.1B.C.D.9．某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（）A.B.C.D.10．已知椭圆的方程为，，是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，且，，则椭圆的离心率A.B.C.D.11．若（）展开式的二项式系数和为32，则其展开式的常数项为A.B.C.D.12．设函数，若不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.第II卷（非选择题90分）试题答案用0.5毫米黑色签字笔答在答题卡上，答在试卷上概不给分.二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．分配名水暖工去个不同的民居家里检查暖气管道，要求名水暖工部分配出去，并每名水暖工只能去一个居民家，且每个居民家都要有人去检查，那么分配的方案共有__________种（用数字作答）.14．已知直线与平行，则实数________.15．设抛物线的焦点为F，准线为l.已知点C在l上，以C为圆心的圆与y轴的正半轴相切于点A.若，则圆的方程为____________.16．在平面四边形中，，，，，则的最大值为__________．三、解答题（解答题必须有必要的推理和计算过程）17．已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且满足．（I）求的大小；（II）若为锐角三角形，且，求的取值范围．18．某企业有，两个分厂生产某种产品，规定该产品的某项质量指标值不低于130的为优质品．分别从，两厂中各随机抽取100件产品统计其质量指标值，得到如图频率分布直方图：（1）根据频率分布直方图，分别求出分厂的质量指标值的众数和中位数的估计值；（2）填写列联表，并根据列联表判断是否有的把握认为这两个分厂的产品质量有差异？优质品非优质品合计合计（3）（i）从分厂所抽取的100件产品中，利用分层抽样的方法抽取10件产品，再从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品的条件下，求抽取的两件产品都是优质品的概率；（ii）将频率视为概率，从分厂中随机抽取10件该产品，记抽到优质品的件数为，求的数学期望．附：0.1000.0500.0250.0100.0012.7063.8415.0246.63510.82819．如图1,在正方形中，是的中点，点在线段上,且.若将,分别沿折起，使两点重合于点,如图2.(1)求证:平面;(2)求直线与平面所成角的正弦值20．设抛物线的焦点为，过点的动直线交抛物线于不同两点，线段中点为，射线与抛物线交于点.（1）求点的轨迹方程；（2）求面积的最小值.21．已知函数.（1）求函数的单调增区间；（2）若函数有两个极值点，且，证明：.22．选修44：坐标系与参数方程在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：，曲线：（）．（1）求与交点的极坐标；（2）设点在上，，求动点的极坐标方程．23．选修45：不等式选讲:已知函数，其中．（1）当时，求不等式的解集；（2）已知关于的不等式的解集为，求的值．

2018年四川省棠湖中学高三年级周练数学（理科）参考答案1．A2．C3．B4．C5．D6．A7．B8．B9．C10．B11．B12．C13．3614．.15．16．17解：（I）因为，由正弦定理得：，即，,因为，所以，，即，因为，所以，解得（Ⅱ）由（I）知，又，所以，因为为锐角三角形，所以,且，即且由此得，；所以，所以18.解：（1）分厂的质量指标值的众数的估计值为，设分厂的质量指标值的中位数的估计值为，则，解得．（2）列联表：优质品非优质品合计5951002080100合计25175200由列联表可知的观测值为：，所以有的把握认为两个分厂的产品质量有差异．（3）（i）依题意，厂的100个样本产品利用分层抽样的方法抽出10件产品中，优质品有2件，非优质品有8件，设“从这10件产品中随机抽取2件，已知抽到一件产品是优质品”为事件，“从这10件产品中随机抽取2件，抽取的两件产品都是优质品”为事件，则，所以已知抽到一件产品是优质品的条件下，抽取的两件产品都是优质品的概率是．（ii）用频率估计概率，从分厂所有产品中任取一件产品是优质品的概率为0.20，所以随机变量服从二项分布，即，则．19．解：（1）证明：设正方形的边长为4，由图1知,,,,,,即由题意知，在图2中，,,平面,平面,且,平面,平面,.又平面,平面,且,平面（2）解：由（1）知平面，则建立如图所示空间直角坐标系，过点作，垂足为，在中，,,从而,,,,,.设平面的一个法向量为，则，令，则，，.设直线与平面所成角为,则,.直线与平面所成角的正弦值为20．解：（1）设直线方程为，代入得设，则，，.∴.设，由消去得中点的轨迹方程为（2）设.∵，∴由点在抛物线上，得.又∵∴，点到直线的距离又.所以，面积设，有，故在上是减函数，在上是增函数，因此，当时取到最小值.所以，面积的最小值是.21．解：（Ⅰ）由，得：设函数当时，即时，，，所以函数在上单调递增.当时，即时，令得，，当时，即时，在上，，;在上，，.所以函数在，上单调递增，在上单调递减.当时，即时，在上，，;在上，，.所以函数在上单调递减，在上单调递增.综上，当时，函数在上单调递增；当时，函数在，上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增.（Ⅱ）证明：∵函数有两个极值点，且，∴有两个不同的正根，∴∴.欲证明，即证明，∵，∴证明成立，等价于证明成立.∵，∴.设函数，求导可得.