数学（选修44）练习1.3第2课时直线和圆的极坐标方程

第1章1.3第二课时一、选择题1．在极坐标系中，下列点在曲线ρ＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))上的是()①eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))；②eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,4)))；③eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))；④eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(π,3))).A．③④ B．①②C．①③ D．②④解析：把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))代入极坐标方程，得4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))＝2.则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))在曲线上．把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(π,3)))代入极坐标方程，得4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)－\f(π,6)))＝－4.则eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4，－\f(π,3)))在曲线上．答案：A2．过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))与极点的直线的极坐标方程为()A．ρcosθ＝2 B．ρcosθ＝－2eq\r(3)C．ρsinθ＝2eq\r(3) D．θ＝eq\f(2π,3)解析：过点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(2π,3)))与极点的直线上任一点的极角都是eq\f(2π,3).答案：D3．若过极点的圆的方程为ρ＝sinθ，则它的圆心的极坐标为()A．(1,0) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,2)))解析：如图所示，过极点，圆心作直线交圆于点A，M(ρ，θ)为圆上除点O，A外任意一点，则有ρ＝OAsinθ，∴|OA|＝1.∴半径r＝|OC|＝eq\f(1,2).又sin∠AOx＝1，∴∠AOx＝eq\f(π,2).∴圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(π,2))).答案：D4．圆ρ＝2asinθ关于极轴对称的圆的方程为()A．ρ＝2acosθ B．ρ＝－2acosθC．ρ＝－2asinθ D．ρ＝2asinθ解法一：根据对称规律，把eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(θ′＝－θ，,ρ′＝ρ))代入原方程，可得原方程表示的曲线关于极轴对称的曲线方程．∴ρ＝2asinθ关于极轴对称的曲线方程为ρ′＝2asin(－θ)．故ρ＝－2asinθ.解法二：∵圆ρ＝2asinθ的圆心是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(π,2)))，半径为a，∴该圆关于极轴对称的圆的圆心应为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a，\f(3π,2)))，半径仍为a.其方程应为ρ＝2acoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(3π,2)))，即ρ＝－2asinθ.答案：C二、填空题5．圆的极坐标方程为ρ＝4sinθ，则该圆的半径为________.解析：由圆的极坐标方程ρ＝4sinθ，知圆是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))为圆心，2为半径的圆，故该圆的半径为2.答案：26．点M的极坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(π,6)))，它关于直线θ＝eq\f(π,2)对称的点的坐标是________.解析：利用图形法．如图，在极坐标系中画出点M，它关于直线θ＝eq\f(π,2)的对称点为M′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(或写为\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(7π,6)))))三、解答题7．在极坐标系中，设极点O到直线l的距离为3，过点O作直线l的垂线，垂足为A，由极轴到OA的角为eq\f(π,3).求直线l的极坐标方程．解：在直线l上任取一点M(ρ，θ)，则|OM|＝ρ，∠AOM＝eq\f(π,3)－θ或θ－eq\f(π,3).故|OA|＝|OM|cos∠AOM，即ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－θ))＝3，这就是所求直线l的极坐标方程．8.如图所示，点A在直线ρcosθ＝4上移动，△OPA为等腰直角三角形，△OPA的顶角为∠OPA(O，P，A三点依次按顺时针方向排列)．求点P的轨迹方程．解：设A(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，∵点A在直线ρcosθ＝4上，∴ρ0cosθ0＝4.①∵△OPA为等腰直角三角形，且∠OPA＝eq\f(π,2)，OP＝ρ，OA＝ρ0，∠POA＝eq\f(π,4)，O，P，A三点依次按顺时针方向排列，∴ρ0＝eq\r(2)ρ，且θ0＝θ－eq\f(π,4).②把②代入①，得点P的轨迹的极坐标方程为eq\r(2)ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝4，即ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2).∴点P的轨迹的极坐标方程为ρcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝2eq\r(2).一、选择题1．在极坐标系中，以点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(3π,2)))为圆心，且过极点的圆的极坐标方程是()A．ρ＝sinθ B．ρ＝2sinθC．ρ＝cosθ D．ρ＝2cosθ解析：极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2)))的点与点P重合，如图所示．点Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,2)))是圆与过极点垂直于极轴的直线的交点，设M(ρ，θ)是圆上任意一点，则|OM|＝|OA|cos∠AOM，即ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－θ)).∴所求圆的极坐标方程为ρ＝2sinθ.答案：B2．在极坐标系中，已知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))是圆上一点，则圆心在极轴上且过极点的圆的极坐标方程为()A．ρ＝2cosθ B．ρ＝2eq\r(2)cosθC．ρ＝4cosθ D．ρ＝4sinθ解析：设圆的半径为r，则圆的方程为ρ＝2rcosθ，将点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(π,4)))代入该式，可求得r＝2，故所求圆的方程为ρ＝4cosθ.答案：C二、填空题3．极坐标方程ρ2－(2－sinθ)ρ－2sinθ＝0表示的曲线是________.解析：方程ρ2－(2－sinθ)ρ－2sinθ＝0可化为(ρ－2)·(p＋sinθ)＝0，表示圆ρ＝2和圆ρ＝－sinθ.答案：两个圆4．已知曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρcosθ＝1，ρ＝4cosθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ≥0，0≤θ≤\f(π,2)))，则曲线C1与C2交点的极坐标为________.解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρcosθ＝1，,ρ＝4cosθ\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ρ≥0，0≤θ≤\f(π,2)))，))得4cos2θ＝1，θ＝eq\f(π,3)，ρ＝2.故曲线C1，C2交点的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3))).答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,3)))三、解答题5．在极坐标系中，直线l的极坐标方程为2ρsinθ＝9，求点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到直线l的距离．解：如图所示，直线l表示与极轴平行且在极轴上方与极轴的距离为eq\f(9,2)的一条直线．而点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到极轴的距离为|PQ|＝4sineq\f(π,6)＝2，故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，\f(π,6)))到直线l的距离为eq\f(9,2)－2＝eq\f(5,2).6．已知O