不等关系与不等式（导学版）人教版数学必修一

人教版高中数学必修1

第二章一元二次函数、方程和不等式不等关系与不等式授课：张丹老师[慕联教育同步课程导学篇]课程编号：TS2005010302RB1020101ZD（A）学习目标了解不等式的意义1122会比较两个实数a,b的大小3理解不等式a²+b²≥2ab

在现实世界和日常生活中，大量存在着相等关系和不等关系，例如多与少、大与小、长与短、高与矮、远与近、快与慢、涨与跌、轻与重、不超过或不少于等．类似于这样的问题，反映在数量关系上，就是相等与不等．相等用等式表示，不等用不等式表示．导入导入（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f不少于

2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%；（1）某路段限速40km/h；（4）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短.（3）三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边；

对于（1），设在该路段行驶的汽车的速度为vkm/h，“限v的大小不能超过40，于是0＜v≤40；对于（3），设△ABC的三条边为a,b,c,则a+b>c,a-b<c；对于（2），由题意，得；对于（4），如图，设C是线段AB外的任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E是线段AB上不同于D的任意一点，则CD＜CE．问题1：你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？问题2：

某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能减少2000本．如何定价才能使提价后的销售总收入不低于20万元？.那么，如何解不等式①呢？为此，我们需要先研究不等式的性质．于是，不等关系“销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示为求出不等式①的解集，就能知道满足条件的杂志的定价范围．解：设提价后每本杂志的定价为元则销售总收入为万元．

≥20

①导入知识梳理这个基本事实可以表示为：由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的位置关系来规定实数的大小关系：如图，设是两个实数，它们在数轴上所对应的点分别是．那么，当点在点的左边时，；当点在点的右边时，．关于实数大小的比较，有以下基本事实：如果是正数，那么；如果等于0，那么；如果是负数，那么；反过来也成立.解：因为分析：通过考察这两个多项式的差与０的大小关系，可以得出它们的大小关系．所以例1

比较和的大小当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形中的小正方形缩为一个点，这时有于是就有≥.将图中的“风车”抽象成图在正方形中有4个全等的直角三角形．设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积和为，正方形的面积为．由于正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式探究右图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．你能在这个图中找出一些相等关系和不等关系吗？知识梳理事实上，利用完全平方公式，得

≥，当且仅当时，等号成立.因为≥0，当且仅当时，等号成立，所以≥0．因此，由两个实数大小关系的基本事实，得

≥，当且仅当时，等号成立．一般地，，有解：因为所以练习1

比较和的大小巩固练习已知，证明证明：已知，即又因为所以因为所以综上可知，得证.

练习2

课堂小结理解重要不等式a²+b²≥2