基本不等式（第2课时）讲义-高一上学期数学人教A版

基本不等式（第2课时）教学目标能利用基本不等式求最值【知识点框架】一、利用基本不等式求最值(1)已知都是正数,则:①如果积是定值,那么当时,和x+y有最小值；②如果和是定值,那么当时，积xy有最大值.(可简记为：积定和最小，和定积最大).(2)利用此公式求最值，必须同时满足以下三个条件：①各项均为正数；②其和或积为常数；③等号必须成立.即“一正，二定，三相等”.思考：两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗?【例题练习】题型一：含一个变量的代数式的最值例1.(1)对于代数式；①当时，求其最小值；②当时，求其最大值.(2)已知,求的最小值.(3)已知,求的最大值.(4)已知,求的最大值.(5)已知,求的最小值.总结：利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子，运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不正，用其相反数，改变不等号方向；二不定，应凑出定和或定积；三不等，一般需用其他方法，如尝试利用函数的单调性.练习：1.设,则的最大值是()B.C.2.设,求的最小值.3.设,求的最大值.题型二：含两个变量的代数式的最值例2(1)已知,且,求的最大值.(2)已知,且,求的最小值.(3)若正数满足,则的最小值是()A.B.C.5

总结：(1)拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：①拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形.②代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标。③拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提。(2)常数代换法求最值的方法步骤：常数代换法适用于求解条件最值问题.应用此种方法求解最值的基本步骤为：①根据已知条件或其变形确定定值(常数).②把确定的定值(常数)变形为1.③把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式.④利用基本不等式求解最值.(3)对含有多个变量的条件最值问题.若无法直接利用基本不等式求解，可尝试减少变量的个数，即用其中一个变量表示另一个，再代入代数式中转化为只含有一个变量的最值问题.练习：1.已知,且.求的最大值.2.已知均为正数,且,则的最小值为.3.若是正数,则的最小值是（）A.3

B.

D.4.已知,则的最小值为.【课后巩固】,则函数（）A.有最大值4

C.有最大值—2

,且,则的最大值为（）.A.80

C.81

在处取得最小值，则等于（）

B.72

C.4

,且,则的最大值为（）A.16

B.25

C.9

,则的最小值是（）A.

C.【课外拓展】基本不等式的变形技巧技巧一：裂项例1.设,求的最小值.【分析】先尽可能地让分子的变量项和分母相同(常用于分子所含变量因子的次数比分母所含变量因子的次数大或相等)，然后裂项转化为求和的最值，进而凑定积(即使得含变量的因子x+1的次数和为零，同时取到等号).技巧二：添项例2.求函数的最小值.【分析】当求和的最小值时，尽可能凑定积，本题需添6，再减6.技巧三：放入根号内或两边平方例