第2章 特殊三角形【单元提升卷】（解析版）

第2章特殊三角形【单元提升卷】（浙教版）（满分100分，完卷时间90分钟）考生注意：1．本试卷含三个大题，共26题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效．2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出解题的主要步骤．一、单选题1．下列图案属于轴对称图形的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，即可得出结论．【详解】解：A选项是轴对称图形，故符合题意；B选项不是轴对称图形，故不符合题意；C选项不是轴对称图形，故不符合题意；D选项不是轴对称图形，故不符合题意．故选A．【点睛】此题考查的是轴对称图形的识别，掌握轴对称图形的定义是解题关键．2．等腰三角形的一边等于3，一边等于6，则它的周长为（

）A．12 B．12或15 C．15或18 D．15【答案】D【分析】分别从若腰长为3，底边长为6，若腰长为6，底边长为3，去分析求解即可求得答案，注意三角形的三边关系．【详解】解：①若腰长为3，底边长为6，∵3+3=6，∴不能组成三角形，舍去；②若腰长为6，底边长为3，则它的周长是：6+6+3=15．∴它的周长是15，故选：D．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系．此题比较简单，注意分类讨论思想的应用．3．如图，在△ABC中，CD是AB边上的中线，AB＝2CD，则△ABC是(

)A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．不能确定【答案】B【分析】利用直角三角形的判定方法即可求出答案.【详解】∵CD为中线，AB＝2CD

∴AD＝BD＝CD

∴∠A＝∠DCA,∠B＝∠DCB

∵∠A＋∠B＋∠ACB＝180°,∠ACB＝∠DCB＋∠DCA

∴∠A＋∠B＋∠DCB＋∠DCA＝180°

∴2(∠A＋∠B)＝180°

∴∠A＋∠B＝90°,故三角形为直角三角形.

故选B.【点睛】熟练掌握三角形角与角之间的转化是本题解题的关键.4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D．若BC＝4cm，BD＝5cm，则点D到AB的距离为(

)A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm【答案】C【分析】先根据勾股定理求出CD的长，再过D点作DE⊥AB于E，由已知条件，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得出答案.【详解】在Rt△BCD中，BC＝4cm,BD＝5cm,∴,过D点作DE⊥AB于E,∵BD是∠ABC的角平分线，∠C＝90°，DE⊥AB∴DE＝CD＝3cm点D到AB的距离为DE的长度即3cm.故选C.【点睛】熟练掌握勾股定理和角平分线的性质是本题解题的关键.5．若等腰三角形有一个角为40°，则它的顶角为(

)A．40° B．100° C．40°或100° D．无法确定【答案】C【分析】三角形内角与相邻的的外角和为180°，三角形内角和为180°，等腰三角形两底角相等，然后分别讨论40°为顶角时和40°为底角时，然后即可求得答案.【详解】当40°是等腰三角形的顶角时，则顶角就是40°；

当40°是等腰三角形的底角时，则顶角是180°－40°×2＝100°，故选C.【点睛】熟练掌握等腰三角形性质的应用是本题解题的关键.6．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，④∠A＝∠B＝∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】根据三角形内角和为180°，求出三角形中角的度数，再根据直角三角形的定义判断从而得到答案.【详解】①∵∠A+∠B=∠C，∴∠A+∠B+∠C=2∠C=180°∴∠C=90°∴△ABC是直角三角形，故小题正确；②∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，∴最大角∠C=180°×=90°故小题正确③∵∠A=90°-∠B∴∠A+∠B=90°∴∠C=180°-90°=90°故正确④∵∠A＝∠B＝∠C∴∠A+∠B+∠C=∠C+∠C+∠C=2∠C=180°∴∠C=90°故正确综上所述，是直角三角形的是①②③④共4个.故选D.【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是180°，根据这个定理结合已知条件，列出方程或者等式，求出三角形中最大的角是解决本题的关键.7．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAD＝20°，DE⊥AC于点E，则∠EDC的度数是(

)A．20° B．30° C．40° D．50°【答案】A【详解】∵AB=AC，BD=CD，∠BAD=20°，∴∠CAD=∠BAD=20°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，∵DE⊥AC，∴∠ADE=90°﹣∠CAD=70°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=90°﹣70°=20°，故选A．8．如图①是一个直角三角形纸片，∠C=90°，AB=13cm，BC=5cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD（如图②），则DC的长为（

）A．cm B．cm C．cm D．cm【答案】A【分析】利用勾股定理列式求出AC，根据翻折变换的性质可得BC´＝BC,DC´＝DC,设DC＝x，表示出AD，然后利用勾股定理列方程求解即可.【详解】∵∠C＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm

∴

又∵BC´＝BC＝5,DC´＝DC

∴AC´＝AB－BC´＝13－5＝8cm

设DC＝x,则AD＝AC－DC＝12－x

∴DC´＝x

∴在Rt△AC´D中，根据勾股定理得，

即，即

∴DC＝,故选A.【点睛】熟练掌握翻折变换、勾股定理，翻折前后对应线段相等、对应角相等，利用勾股定理列式是本题的解题关键.9．用4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图案如图所示，已知大正方形的面积为49，小正方形的面积为9，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x>y)，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是(

)A．x2＋y2＝49 B．x－y＝3 C．2xy＋9＝49 D．x＋y＝13【答案】D【分析】利用勾股定理和正方形的面积公式解答即可.【详解】，故A选项和B选项正确，由上式子可知,故C正确.（x+y）2=x2+y2+2xy=49+40=89,x+y≠13.唯一不对的只有D.故选D.【点睛】熟练掌握完全平方公式是本题的解题关键.10．以下列各组数为边长的三角形中，能组成直角三角形的是(

)A．3，4，6 B．15，20，25 C．5，12，15 D．10，16，25【答案】B【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、32+42≠62，故不是直角三角形，故不正确；B、152+202=252，故是直角三角形，故正确；C、52+122≠152，故不是直角三角形，故不正确；D、102+162≠252，故不是直角三角形，故不正确．故选B．【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.二、填空题11．命题“等腰三角形两腰上的高相等”的逆命题是_______________，这个逆命题是____命题．【答案】

如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形

真【分析】【详解】等腰三角形两腰上的高相等，这个命题的逆命题是如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形，这个逆命题是真命题．故答案为：如果一个三角形两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；真12．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则周长是_____cm．【答案】20【分析】根据等腰三角形的性质分类讨论，分4cm为腰和底两种情况，再根据构成三角形的条件以及三角形周长公式计算即可．【详解】解：一个等腰三角形的两边长分别为4cm和8cm，则当4cm的边为腰时，这个三角形的三边分别为4cm，4cm和8cm，，不能构成三角形，故此情形不存在，当4cm的边为底时，这个三角形的三边分别为4cm，8cm和8cm，周长为cm故答案为：20【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，分类讨论是解题的关键．13．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝37°，则∠B＝________．【答案】53°【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．【详解】解：∵∠C=90°，∠A=37°，∴∠B=90°-37°=53°．故答案为53°．【点睛】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键．14．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，直线DE与AC，BC分别交于D，E两点．若∠DEC＝∠A，则△EDC是______________．【答案】直角三角形【分析】根据直角三角形的两个锐角互余可知∠A+∠C=90°,再由∠DEC＝∠A进而可得出结论.【详解】解:在Rt△ABC中，∵∠B＝90°,∴∠A+∠C=90°,∵∠DEC＝∠A,∴∠DEC+∠C=90°,∴∠EDC=90°,∴△EDC是直角三角形,故答案为直角三角形.【点睛】本题考查了直角三角形的两个锐角互余及有两个角互余的三角形是直角三角形，是基础知识要熟练掌握.15．如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为________________．【答案】．【详解】∵∠C=30°，∠BAC=90°，DE⊥AC，∴BC=2AB，CD=2DE=2a，∵AB=AD，∴点D是斜边BC的中点，∴BC=2CD=4a，AB=BC=2a，∴AC===，∴△ABC的周长=AB+BC+AC==．故答案为．16．如图，已知等腰直角三角形ABC的直角边长为1，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰直角三角形ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰直角三角形ADE……依此类推，直到第五个等腰直角三角形AFG，则由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为__________．【答案】15.5【详解】∵△ABC是边长为1的等腰直角三角形，∴S△ABC=×1×1==21-2；AC==，AD==2，∴S△ACD==1=22-2∴第n个等腰直角三角形的面积是2n-2．∴S△AEF=24-2=4，S△AFG=25-2=8，由这五个等腰直角三角形所构成的图形的面积为+1+2+4+8=15.5．故答案为15.5．17．若a,b,c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为___．【答案】②③．【分析】已知直角三角形的三条边长，根据勾股定理得出，同时直角三角形作为三角形，满足三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即，再判断各选项中各个线段是否能组成三角形．【详解】解：（1）根据勾股定理得出，所以不成立，即不满足两边之和大于第三边，本选项错误；（2）直角三角形的三边有a+b＞c（a，b，c中c最大），而在，，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有成立，即，即，（由a+b＞c），则不等式成立，从而满足两边之和＞第三边，则以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；（3），，这三个数中一定最大，，，又∵2ab=2ch=4S△ABC，∴，根据勾股定理的逆定理，即以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形．故正确；（4）若以，，的长为边的3条线段能组成直角三角形，假设a=3，b=4，c=5，∵，∴以这三个数的长为线段不能组成直角三角形，故错误．故答案为：②③．【点睛】本题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，同时，通过这一题目要学会，用反例的方法说明一个命题是错误的思考方法．18．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=6，则PD等于________．【答案】3【分析】过P作PE⊥OB于E，根据角平分线的性质可得PE=PD，在求得∠BCP=30°，在Rt△ECP中，根据30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半即可求得PD的长．【详解】解：过P作PE⊥OB于E，∵PD⊥OA，PE⊥OB，∠AOP=∠BOP=15°，∴∠BOA=30°，PE=PD，∵PC∥OA，∴∠BOA=∠BCP=30°，又△ECP为直角三角形，且PC=6，∴PE=3，PD=3．【点睛】本题考查了角平分线的性质；特殊直角三角形的性质．三、解答题19．已知，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB垂足为D，BC＝6，AC＝8，求AB与CD的长．【答案】AB=10，CD=4.8.【分析】在直角三角形ABC中，利用勾股定理求出AB的长，再利用面积法求出CD的长即可．【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，BC=6，AC=8，由勾股定理得：AB==10．∵S△ABC=AB•CD=AC•BC，∴CD===4.8．20．如图，一架梯子长25米，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米．(1)求这个梯子的顶端离地面的高度；(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)24米(2)8米【分析】（1）利用勾股定理直接得出OB的长即可；（2）利用勾股定理直接得出BC′的长，进而得出答案．（1）由题意得，△AOB是直角三角形，∠O=90°，AB=25米，AO=7米，如图，∴AB2=AO2+BO2，∴（米），答：这个梯子的顶端离地面24米；（2）由题意可得，△A′OB′是直角三角形，且∠O=90°，A'B'=AB=25米，BB'=4米，∴A'B'2=A'O2+B'O2，∴（米），∴AA'=A'O-OA=15-7=8（米），答：梯子底部在水平方向滑动了8米．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，熟练利用勾股定理是解题关键．21．一、阅读理解：在△ABC中，BC=a，CA=b，AB=c；（1）若∠C为直角，则a2+b2=c2；（2）若∠C为锐角，则a2+b2与c2的关系为：a2+b2＞c2；（3）若∠C为钝角，试推导a2+b2与c2的关系．二、探究问题：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c，若△ABC是钝角三角形，求第三边c的取值范围．【答案】当∠C为钝角时，；当∠B为钝角时，【详解】试题分析：（3）如图过A作AD⊥BC于D，则BD=BC+CD=a+CD在△ABD中：AD2=AB2－BD2在△ACD中：AD2=AC2－CD2AB2－BD2=AC2－CD2c2－(+CD)2=b2－CD2∴∵>0，CD>0∴，所以：在△ABC中，BC=a=3，CA=b=4，AB=c；若△ABC是钝角三角形，当∠C为钝角时，，c<a+b=7，所以；当∠B为钝角时，，解得，又因为c>b-a=1,所以考点：三角形点评：本题考查三角形的三边关系，考察学生接受新事物的能力，能把阅读那段话的意思理解是解本题的关键22．如图，BD和CD分别平分△ABC的内角∠EBA和外角∠ECA，BD交AC于F，连接AD．

（1）求证：∠BDC=∠BAC；

（2）若AB=AC，请判断△ABD的形状，并证明你的结论；

（3）在（2）的条件下，若AF=BF，求∠EBA的大小．【答案】（1）见解析；（2）△ABD为等腰三角形；见解析；（3）∠ABC=72°．【详解】试题分析：（1）根据角平分线的定义得到∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，于是得到∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，等量代换即可得到结论；（2）作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H根据角平分线的性质得到DM=DH，DN=DH，等量代换得到DM=DN，根据三角形的内角和得到∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，推出∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，由等腰三角形的性质得到∠ABC=∠ACB，等量代换得到∠GAD=∠ABC，推出AD∥BC，由平行线的性质得到∠ADB=∠DBC，证得∠ABD=∠ADB，即可得到结论；（3）根据等腰三角形的性质得到∠BAF=∠ABF=∠ABC，根据三角形的内角和即可得到结论．解：（1）∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，BD交AC于F，∴∠BDC+∠ABC=∠ACE，∠BAC+∠ABC=∠ACE，∴∠BDC+∠ABC=∠BAC+∠ABC，∴∠BDC=∠BAC．（2）△ABD为等腰三角形，证明如下：作DM⊥BG于M，DN⊥AC于N，DH⊥BE于H∵BD、CD分别平分∠EBA、∠ECA，∴DM=DH，DN=DH，∴DM=DN，∴AD平分∠CAG，即∠GAD=∠CAD，∵∠GAD+∠CAD+∠BAC=180°，∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠GAD+∠CAD=∠ABC+∠ACB，∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠GAD=∠ABC，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，又∵∠ABD=∠DBC，∴∠ABD=∠ADB，∴AB=AD，∴△ABD为等腰三角形；（3）∵AF=BF，∴∠BAF=∠ABF=∠ABC，∵∠BAF+∠ABC+∠ACB=180°，∠ABC=∠ACB，∴∠ABC=180°，∴∠ABC=72°．考点：等腰三角形的判定与性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．23．如图，△ABC为等边三角形，DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，垂足分别为E，F，D，则△DEF是等边三角形吗？说明你的理由．【答案】△DEF是等边三角形【详解】试题分析：根据已知条件利用角与角之间的关系来求得△DEF的各角分别为60度，从而得出其是一个等边三角形．试题解析：△DEF是等边三角形．理由如下：∵DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB，△ABC为等边三角形，∴∠A=60°，∠ADF=∠CFE=90°，∴∠AFD=30°，∴∠DFE=180°－30°－90°=60°.同理，∠FDE=∠DEF=60°.∴△DEF是等边三角形．24．如图，OE平分∠AOB，且EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别是C，D，连结CD与OE交于点F.(1)求证：∠1＝∠2.(2)求证：OE是线段CD的垂直平分线．(3)若∠1＝30°，OC＝2，求△OCD与△CDE的面积之差．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）【详解】试题分析：（1）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CE=DE，然后根据等边对等角证明即可；（2）利用“HL”证明△OCE和△ODE全等，根据全等三角形对应边相等可得OC=OD，再根据到线段两端点距离相等的点在线段垂直平分线上证明．（3）分别求出ΔOCD和ΔCDE的面积即可求出△OCD与△CDE的面积之差．试题解析：(1)∵OE平分∠AOB，EC⊥OA，ED⊥OB，∴CE=DE，∴∠1=∠2.(2)在Rt△OCE和Rt△ODE中，∵∴Rt△OCE≌Rt△ODE(HL)．∴OC=OD.又∵CE=DE，∴OE是线段CD的垂直平分线．(3)∵∠1=30°，∠OCE=90°，∴∠OCD=60°.∵OC=OD，∴△OCD是边长为2的等边三角形，∴CD=OC=2，∠COD=60°，∴∠COE=∠DOE=∠COD=30°，∴OE=2CE.设CE=x，则OE=2x.由勾股定理，得(2x)2=x2＋22，解得x=，即CE=，OE=.∵∠1=30°，∠EFC=90°，∴EF=CE=，∴OF=OE－EF=，∴S△OCD－S△CDE=·CD·OF－·CD·EF=25．【问题探究】（1）如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，连接BD，CE，试猜想BD与CE的大小关系，并说明理由．【深入探究】（2）如图2，四边形ABCD中，AB=5cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45º，求BD的长．（3）如图3，在(2)的条件下，当△ACD在线段AC的左侧时，求BD的长．【答案】(1)BD=CE；(2)cm；(3)(5-3)cm【详解】试题分析：（1）首先根据等式的性质证明∠EAC=∠BAD，则根据SAS即可证明△EAC≌△BAD，根据全等三角形的性质即可证明；（2）在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解；（3）在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，证明△EAC≌△BAD，证明BD=CE，即可求解．试题解析：解：（1）BD=CE．理由是：∵∠BAE=∠CAD，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE；（2）如图2，在△ABC的外部，以A为直角顶点作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，连接EA、EB、EC．∵∠ACD=∠ADC=45°，∴AC=AD，∠CAD=90°，∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE．∵AE=AB=3，∴BE==（不化简不必扣分），∠AEC=∠AEB=45°，又∵∠ABC=45°，∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°，∴EC===，∴BD=CE=；（3）如图3，在线段AC的右侧过点A作AE⊥AB于点A，交BC的延长线于点E，连接BE．∵AE⊥AB，∴∠BAE=90°，又∵∠ABC=45°，∴∠E=∠ABC=45°，∴AE=AB=3，BE==，又∵∠ACD=∠ADC=45°，∴∠BAE=∠DAC=90°，∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD，在△EAC和△BAD中，∵AE=AB，∠EAC=∠BAD，AC=AD，∴△EAC≌△BAD，∴BD=CE，∵BC=1，∴BD=CE==（cm）．考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等腰三角形的性质；3．变式探究．26．已知△ABC和△ADE是等腰直角三角形，∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点，连结DF、CF.（1）如图1，当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（