第1章 解直角三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）

第1章解直角三角形（基础、典型、易错、压轴）分类专项训练【基础】一、单选题1．（2022·浙江·金华市南苑中学九年级阶段练习）已知在中，，，，则（

）A． B． C． D．2．（2022·浙江湖州·九年级期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，则tanB的值是（

）A． B． C． D．3．（2022·浙江丽水·一模）如图，点A为边上的任意一点，作于点C，于点D，下列用线段比表示的值，错误的是（

）A． B． C． D．4．（2022·浙江宁波·二模）如图，在Rt中，为上一点且于，连结，则（

）A． B． C． D．5．（2022·浙江温州·一模）如图，小羽利用仪器测量一电线杆AB的拉线AC的长度，测得拉线AC与水平地面BC的夹角为，并测得C点到电线杆的距离BC为5米，则拉线AC的长度为（

）A．米 B．米 C．米 D．米6．（2022·浙江·温州市第十四中学三模）“儿童放学归来早，忙趁东风放纸鸢”，小明周末在龙潭公园草坪上放风筝，已知风筝拉线长100米且拉线与地面夹角为（如图所示，假设拉线是直的，小明身高忽略不计），则风筝离地面的高度可以表示为（）A． B． C． D．7．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，小慧的眼睛离地面的距离为，她用三角尺测量广场上的旗杆高度，仰角恰与三角板角的边重合，量得小慧与旗杆之间的距离为，则旗杆的高度（单位：）为（

）A．6.6 B．11.6 C． D．二、填空题8．（2022·浙江·九年级专题练习）计算：sin30°＝____．9．（2022·浙江宁波·九年级专题练习）比较与的大小，结果为：______．10．（2022·浙江湖州·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则cosB=___．三、解答题11．（2022·浙江金华·三模）计算：12．（2022·浙江金华·九年级期中）计算：．13．（2022·浙江·九年级专题练习）计算：14．（2022·浙江金华·一模）计算：15．（2022·浙江宁波·九年级期末）如图，某渔船向正东方向以14海里/时的速度航行，在处测得小岛在北偏东方向，2小时后渔船到达处，测得小岛在北偏东方向，已知该岛周围20海里范围内有暗礁．（参考数据：）(1)求处距离小岛的距离（精确到海里）；(2)为安全起见，渔船在处向东偏南转了继续航行，通过计算说明船是否安全？【典型】一、单选题1．（2022·浙江绍兴·一模）如图，A，B，C，三点在正方形网格线的交点处，若将绕着点A逆时针旋转得到，则的值为（

）A． B． C． D．二、填空题2．（2021·浙江温州·三模）如图，在直角坐标系中有一直角三角板的直角顶点C落在x轴的负半轴上，点A，B分别落在反比例函数y＝的两个分支上，∠CAB＝30°，若AC边与y轴相交于AC的中点D，点A的纵坐标为2，则k的值为_____．三、解答题3．（2022·浙江衢州·模拟预测）在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=，CF=．4．（2021·浙江杭州·九年级期末）如图，在中，，垂足为D，．（1）求的值；（2）过点B作，若，求的长．5．（2020·浙江台州·二模）某校组织数学兴趣探究活动，爱思考的小实同学在探究两条直线的位置关系查阅资料时发现，两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图1、图2、图3中，、是的中线，于点，像这样的三角形均称为“中垂三角形”．【特例探究】（1）如图1，当，时，_____，______；如图2，当，时，_____，______；【归纳证明】（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想、、三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你的结论；【拓展证明】（3）如图4，在中，，，、、分别是边、的中点，连结并延长至，使得，连结，当于点时，求的长．6．（2021·浙江杭州·一模）已知在平面直角坐标系中，点，以线段为直径作圆，圆心为，直线交于点，连接.（1）求证：直线是的切线；（2）点为轴上任意一动点，连接交于点，连接：①当时，求所有点的坐标（直接写出）；②求的最大值.【易错】一．选择题（共6小题）1．（2022春•鄞州区校级月考）如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为（）A．5cosα B． C．5sinα D．2．（2022春•兰溪市月考）若∠A是锐角，且sinA＝，则（）A．0°＜∠A＜30° B．30°＜∠A＜45° C．45°＜∠A＜60° D．60°＜∠A＜90°3．（2022•鹿城区校级三模）铁路道口的栏杆如图．已知栏杆长为3米，当栏杆末端从水平位置上升到点C处时，栏杆前端从水平位置下降到点A处，下降的垂直距离AD为0.5米（栏杆的粗细忽略不计），上升前后栏杆的夹角为α，则栏杆末端上升的垂直距离CE的长为（）A．米 B．米 C．（3tanα﹣0.5）米 D．（3sinα﹣0.5）米4．（2022•西湖区模拟）如图，边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、E在格点上，连接AE、BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是（）A． B．2 C． D．5．（2022•瑞安市二模）某村计划挖一条引水渠，渠道的横断面ABCD是一个轴对称图形（如图所示）．若渠底宽BC为2m，渠道深BH为3m，渠壁CD的倾角为α，则渠口宽AD为（）A．（2+3•tanα）m B．（2+6•tanα）m C．（2+）m D．（2+）m6．（2022春•杭州月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝8，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD＝x，tan∠ACB＝y，则x与y满足关系式为（）A．x﹣y2＝3 B．2x﹣y2＝6 C．3x﹣y2＝9 D．4x﹣y2＝12二．填空题（共7小题）7．（2022秋•鄞州区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若sinA＝，则cosB＝．8．（2022•长兴县开学）计算tan45°的正确结果是．9．（2022春•定海区期末）公元前240年前后，在希腊的亚历山大城图书馆当馆长的埃拉托色尼通过测得有关数据，求得了地球圆周的长度，他是如何测量的呢？如图所示，由于太阳距离地球很远，太阳射来的光线可以看作平行线，在同时刻，光线与A城和地心的连线OP所夹的锐角记为∠1，光线与B城和地心的连线OQ重合，通过测量A，B两城间的路程（即弧AB）和∠1的度数，利用圆的有关知识，地球圆周的长度就可以大致算出来了．已知弧AB的长度约为800km，若∠1≈7.2°，则地球的周长约为km．10．（2022•丽水一模）如图1的一汤碗，其截面为轴对称图形，碗体ECDF呈半圆形状（碗体厚度不计），直径EF＝26cm，碗底AB＝10cm，∠A＝∠B＝90°，AC＝BD＝3cm．（1）如图1，当汤碗平放在桌面MN上时，碗的高度是cm．（2）如图2，将碗放在桌面MN上，绕点B缓缓倾斜倒出部分汤，当碗内汤的深度最小时，tan∠ABM的值是．11．（2022•萧山区校级一模）如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝4，则AC的长为．12．（2022秋•鄞州区校级月考）在△ABC中，如果∠A、∠B满足|tanA﹣1|+（cosB﹣）2＝0，那么∠C＝．13．（2022•富阳区二模）如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，∠OAB＝45°，∠ABO＝60°，BD＝8．点P从B点出发沿着BD方向运动，到达点O停止运动．连接AP，点B关于直线AP的对称点为Q．当点Q落在AC上时，则OQ＝，在运动过程中，点Q到直线BD的距离的最大值为．三．解答题（共8小题）14．（2022•嘉兴一模）倡导“低碳环保”让“绿色出行”成为一种生活常态．嘉嘉买了一辆自行车作为代步工具，各部件的名称如图1所示，该自行车的车轮半径为30cm，图2是该自行车的车架示意图，立管AB＝27cm，上管AC＝36cm，且它们互相垂直，座管AE可以伸缩，点A，B，E在同一条直线上，且∠ABD＝75°．（1）求下管BC的长；（2）若后下叉BD与地面平行，座管AE伸长到18cm，求座垫E离地面的距离．（结果精确到1cm，参考数据sin75°≈0.97，cos75°≈0.26，tan75°≈3.73）15．（2022春•磐安县期中）某数学兴趣小组通过调查研究把“如何测量嵩岳寺塔的高度”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间实地测量．课题测量嵩岳寺塔的高度测量工具测量角度的仪器，皮尺等测量方案在点C处放置高为1.3米的测角仪CD，此时测得塔顶端A的仰角为45°，再沿BC方向走22米到达点E处，此时测得塔顶端A的仰角为32°．说明：E、C、B三点在同一水平线上请你根据表中信息结合示意图帮助该数学兴趣小组求嵩岳寺塔AB的高度．（精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84，tan32°≈0.62）16．（2022•温岭市一模）如图所示是国际标准的篮球架，某兴趣小组想知道篮筐中心A到地面的高度，现测得如下数据：CD垂直于地面，CD＝255cm，BC＝90cm，AB平行于地面，∠ABC＝145°，请你利用学过的知识帮他们求出该高度．（结果精确到1cm，参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）17．（2022•金东区三模）如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为60cm，∠CDE＝53°，档案盒长度AB＝35cm．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）（1）求点C到书架底部距离CE的长度；（2）求ED的长度；（3）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒．18．（2022•鹿城区校级三模）如图1是某路灯，图2是此路灯在铅垂面内的示意图，灯芯A在地面上的照射区域BC长为7米，从B，C两处测得灯芯A的仰角分别为α和β，且tanα＝6，tanβ＝1．（1）求灯芯A到地面的高度．（2）立柱DE的高为6米，灯杆DF与立柱DE的夹角∠D＝120°，灯芯A到顶部F的距离为1米，且DF⊥AF，求灯杆DF的长度．19．（2022•诸暨市模拟）图1是一种可折叠台灯，它放置在水平桌面上，将其抽象成图2，其中点B，E，D均为可转动点，现测得AB＝BE＝ED＝CD＝20cm，经多次调试发现当点B，E都在CD的垂直平分线上时（如图3所示）放置最平稳．（1）求放置最平稳时灯座DC与灯杆DE的夹角的大小；（2）当A点到水平桌面（CD所在直线）的距离为42cm﹣43cm时，台灯光线最佳，能更好的保护视力．若台灯放置最平稳时，将∠ABE调节到105°，试通过计算说明此时光线是否为最佳．（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，≈1.73）20．（2022•北仑区一模）某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝100m，坡面AB的坡比为1：0.7（注：坡比是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比），点C、A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角∠DBE，∠DBF分别为45°，28°．（1）求山脚A到河岸E的距离；（2）若在此处建桥，试求河宽EF的长度．（结果精确到0.1m）（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）21．（2022•柯城区二模）图①是某小区折叠道闸的实景图，图②是其工作示意图，道闸由垂直于地面的立柱AB，CD和折叠杆“AE﹣EF”组成，其中AB＝CD＝1.2m，AB，CD之间的水平距离BD＝2.5m，AE＝1.5m．道闸工作时，折叠杆“AE﹣EF”可绕点A在一定范围内转动，张角为∠BAE（90°≤∠BAE≤150°），同时杆EF始终与地面BD保持平行．（参考数据：≈1.414，≈1.732）（1）当张角∠BAE为135°时，求杆EF与地面BD之间的距离（结果精确到0.01m）；（2）试通过计算判断宽度为1.8m，高度为2.45m的小型厢式货车能否正常通过此道闸？

【压轴】一、单选题1．（2021·浙江·温州市第二中学三模）如图，扇形AOB中，∠AOB＝90°．在扇形内放一个Rt△EDF，其中DE＝10，DF＝9，直角顶点D在半径OB上，OD＝2DB，点E在半径OA上，点F在弧上．则半径OA的长为（

）A． B．2 C． D．二、填空题2．（2022·浙江·温州市第二实验中学二模）飞机导航系统的正常工作离不开人造卫星的信号传输（如图1）．五颗同轨道同步卫星，其位置A，B，C，D，E如图2所示，是它们的运行轨道，弧AC度数为120°，点B到点C和点A的距离相等，于M，AD交BE于N，交CE于H，连结CD，AE．已知一架飞机从M飞到N的直线距离为8千公里，则轨道的半径为______千公里．当时，则线段AE，CD的长度之和为______千公里．三、解答题3．（2022·浙江·宁波外国语学校九年级阶段练习）已知一个直角三角形纸片，其中，，，点、分别是、边上的一动点，连接，将纸片的一角沿折叠．(1)若折叠后点落在边上的点处（如图，且，求的长；(2)若，折叠后点的对应点为点（如图，连结．①若点恰好在边上（如图，求的长．②求的最小值．4．（2022·浙江·义乌市宾王中学九年级阶段练习）如图1，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形两张纸片，测得，．在进行如下操作时遇到了下列几个问题，请你帮助解决．(1)如图2，将的顶点G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在边上，此时EF恰好经过点A，请证明：；(2)如图3，在（1）的条件下，小明先将的边和矩形的边重合，然后将△EFG沿直线向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分面积为y，求在平移的整个过程中，y与x的函数关系式．(3)如图，在（1）的条件下，小明把该图形放在直角坐标系中，使B（G）为坐标原点为x轴，在x轴和y上分别找P，Q两点使与相似，直接写出P点的坐标．5．（2022·浙江宁波·一模）如图1，在中，，于D，E为边上的点，过A、D、E三点的交于F，连接，．(1)求证：．(2)若，求的面积．(3)如图2，点P为上一动点，连接，，．①若P为的中点，设为x，的面积为S，求S关于x的函数表达式；②在点P运动过程中，试探索，，之间的数量关系，并证明．6．（2022·浙江丽水·一模）在菱形中，，，点E在边上，，点P是边上一个动点，连结，将沿翻折得到．(1)当时，求的度数；(2)若点F落在对角线上，求证：；(3)若点P在射线上运动，设直线与直线交于点H，问当为何值时，为直角三角形．7．（2022·浙江·温州市第二实验中学二模）如图1，中，，，，延长BC至D，使，E为AC边上一点，连结DE并延长交AB于点F．作的外接圆，EH为的直径，射线AC交于点G，连结GH．(1)求证：．(2)①如图2，当时，求GH的长及的值．②如图3，随着E点在CA边上从下向上移动，的值是否发生变化，若不变，请你求出的值，若变化，求出的范围．(3)若要使圆心O落在的内部（不包括边上），求CE的长度范围．8．（2022·浙江金华·三模）在四边形中，，，．(1)如图1，①求证：；②求的正切值；(2)如图2，动点从点出发，以1个单位每秒速度，沿折线运动，同时，动点从点出发，以2个单位每秒速度，沿射线运动，当点到达点时，点，同时停止运动，设运动时间为秒，以为斜边作，使点落在线段或上，在整个运动过程中，当不再连接其他线段，且图中存在与相似的三角形时，求的值．9．（2022·浙江温州·九年级专题练习）如图，在矩形中，于点，交边于点．平分交于点，并经过边的中点．(1)求证：．(2)求的值．(3)若，试在上找一点（不与，重合），使直线经过四边形一边的中点，求所有满足条件的的值．10．（2021·浙江·绍兴市第一初级中学九年级阶段练习）定义：如果一个四边形能被一条直线分割成一个平行四边形和一个等腰三角形，那么称这个四边形为平等四边形，这条分割线为平等线．(1)如图1，在四边形ABCD中，ADBC，AD＝AB＝2，∠B＝30°，若四边形ABCD为平等四边形，直接写出BC边可能的长；(2)如图2，AD为四边形EBCD的平等线，且BC＝ED，求证：BD2﹣BC2＝AB•BE；(3)如图3，在（2）的条件下，作平等四边形EBCD的外接圆，连接AC，若∠BAC＝∠BDE，那么BD与BC有何数量关系？并说明理由．11．（2021·浙江·温州市第二中学二模）如图，在矩形ABCD中，AD＞AB，∠A的平分线AF交BC边于点E，交DC的廷长线于点F．取EF的中点G，连结DG(1)求证：BC＝DF．(2)当△ADE≌△FDG时，求tan∠DEC的值．(3)连结BD，BG，若S△ADE＝2S△DEG．①求S△DBG：S△DGF的值．②记BD与AE的交点为M，P是线段AM上一个动点．将△ABP沿BP翻折得到△A′BP，A′B与AG交于点Q，当与△BDG的一边平行时，求的值．12．（2022·浙江·衢州市实验学校教育集团（衢州学院附属学校教育集团）九年级