高考数学 考前3个月知识方法专题训练 第一部分 知识方法篇 专题6 立体几何 第25练 空间几何体的三视图及表面积与体积 文-人教版高三数学试题

第25练空间几何体的三视图及表面积与体积[题型分析·高考展望]三视图是高考的热点和重点．其考查形式多种多样，选择题、填空题和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识，涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明．体验高考1．(2015·陕西)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A．3π B．4πC．2π＋4 D．3π＋4答案D解析由三视图可知原几何体为半圆柱，底面半径为1，高为2，则表面积为S＝2×eq\f(1,2)π×12＋eq\f(1,2)×2π×1×2＋2×2＝π＋2π＋4＝3π＋4.2．(2016·课标全国乙)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是eq\f(28π,3)，则它的表面积是()A．17πB．18πC．20πD．28π答案A解析由题意知，该几何体的直观图如图所示，它是一个球(被过球心O且互相垂直的三个平面)切掉左上角的eq\f(1,8)后得到的组合体，其表面积是球面面积的eq\f(7,8)和三个eq\f(1,4)圆面积之和，由几何体的体积易得球的半径为2，则得S＝eq\f(7,8)×4π×22＋3×eq\f(1,4)π×22＝17π，故选A.3．(2016·北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,2)D．1答案A解析由三视图知，三棱锥如图所示．由侧(左)视图得高h＝1，又底面积S＝eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，所以体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,6).4．(2016·四川)已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正(主)视图如图所示，则该三棱锥的体积是________．答案eq\f(\r(3),3)解析由题意可知，因为三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正(主)视图可得俯视图(如图)，且三棱锥高为h＝1，则面积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×2\r(3)×1))×1＝eq\f(\r(3),3).5．(2016·浙江)某几何体的三视图如图所示(单位：cm)，则该几何体的表面积是________cm2，体积是________cm3.答案8040解析由三视图可知该几何体由一个正方体和一个长方体组合而成，上面正方体的边长为2cm，下面长方体的底面边长为4cm，高为2cm，其直观图如图：其表面积S＝6×22＋2×42＋4×2×4－2×22＝80(cm2)．体积V＝2×2×2＋4×4×2＝40(cm3)．高考必会题型题型一三视图识图例1(1)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为①、②、③、④的四个图，则该四面体的正(主)视图和俯视图分别为()A．①和②B．③和①C．④和③D．④和②(2)沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧(左)视图为()答案(1)D(2)B解析(1)由三视图可知，该几何体的正(主)视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2))且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正(主)视图是④；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是②.(2)由已知中几何体的直观图，我们可得侧(左)视图首先应该是一个正方形，故D不正确；中间的棱在侧(左)视图中表现为一条对角线，故C不正确；而对角线的方向应该从左上到右下，故A不正确．点评画法规则：(1)由几何体的轮廓线定形状，看到的画成实线，看不到的画成虚线．(2)正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)侧(左)一样高．变式训练1一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案B解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.题型二空间几何体的表面积和体积例2(1)(2015·安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A．1＋eq\r(3) B．2＋eq\r(3)C．1＋2eq\r(2) D．2eq\r(2)(2)(2015·天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.答案(1)B(2)eq\f(8,3)π解析(1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，∴该四面体的表面积为S表＝2×eq\f(1,2)×2×1＋2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2＝2＋eq\r(3)，故选B.(2)由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1m，圆锥的高为1m，圆柱的高为2m，所以该几何体的体积V＝2×eq\f(1,3)π×12×1＋π×12×2＝eq\f(8,3)π(m3)．点评利用三视图求几何体的表面积、体积，需先由三视图还原几何体，三个图形结合得出几何体的大致形状，由实、虚线得出局部位置的形状，再由几何体的面积体积公式求解．变式训练2(1)(2016·课标全国甲)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为()A．20πB．24πC．28πD．32π(2)(2015·重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(1,3)＋π B.eq\f(2,3)＋πC.eq\f(1,3)＋2π D.eq\f(2,3)＋2π答案(1)C(2)A解析(1)由三视图可知，组合体的底面圆的面积和周长均为4π，圆锥的母线长l＝eq\r(2\r(3)2＋22)＝4，所以圆锥的侧面积为S锥侧＝eq\f(1,2)×4π×4＝8π，圆柱的侧面积S柱侧＝4π×4＝16π，所以组合体的表面积S＝8π＋16π＋4π＝28π，故选C.(2)这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V＝eq\f(1,2)π×12×2＋eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×1＝π＋eq\f(1,3)，选A.高考题型精练1．如图所示的几何体是棱柱的有()A．②③⑤ B．③④⑤C．③⑤ D．①③答案C解析由棱柱的定义知③⑤两个几何体是棱柱，故选C.2．(2015·北京)某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为()A．1B.eq\r(2)C.eq\r(3)D．2答案C解析四棱锥的直观图如图所示，PC⊥平面ABCD，PC＝1，底面四边形ABCD为正方形且边长为1，最长棱长PA＝eq\r(12＋12＋12)＝eq\r(3).3．(2016·课标全国丙)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为()A．18＋36eq\r(5) B．54＋18eq\r(5)C．90 D．81答案B解析由题意知，该几何体为底面为正方形的斜平行六面体，边长分别为3,3，eq\r(45)，几何体的表面积S＝3×6×2＋3×3×2＋3×eq\r(45)×2＝54＋18eq\r(5).4．已知某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的外接球的表面积等于()A.eq\f(7,3)πB．16πC．8πD.eq\f(28,3)π答案D解析由三视图知，几何体是一个正三棱柱，外接球的球心就是两底面三角形中心连线的中点，外接球的半径等于球心到正三棱柱的任意一个顶点的距离，可求得其半径为eq\r(12＋\f(2\r(3),3)2)＝eq\f(\r(21),3)，那么外接球的表面积为4π×(eq\f(\r(21),3))2＝eq\f(28,3)π，故选D.5．已知某几何体的三视图如图所示，其正(主)视图和侧(左)视图是边长为1的正方形，俯视图是腰长为1的等腰直角三角形，则该几何体的体积是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,3)答案C解析根据几何体的三视图，得该几何体是如图所示的直三棱柱，且该三棱柱的底面是直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，所以该三棱柱的体积为V＝Sh＝eq\f(1,2)×1×1×1＝eq\f(1,2)，故选C.6.(2016·山东)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)π B.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),3)πC.eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π D．1＋eq\f(\r(2),6)π答案C解析由三视图知，半球的半径R＝eq\f(\r(2),2)，四棱锥为底面边长为1，高为1的正四棱锥，∴V＝eq\f(1,3)×1×1×1＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))3＝eq\f(1,3)＋eq\f(\r(2),6)π，故选C.7．某几何体的正(主)视图和侧(左)视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是()A．①③B．①④C．②④D．①②③④答案A解析由正(主)视图和侧(左)视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，故①③正确．8．(2015·山东)已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A.eq\f(2\r(2)π,3) B.eq\f(4\r(2)π,3)C．2eq\r(2)π D．4eq\r(2)π答案B解析如图，设等腰直角三角形为△ABC，∠C＝90°，AC＝CB＝2，则AB＝2eq\r(2).设D为AB中点，则BD＝AD＝CD＝eq\r(2).∴所围成的几何体为两个圆锥的组合体，其体积V＝2×eq\f(1,3)×π×(eq\r(2))2×eq\r(2)＝eq\f(4\r(2)π,3).9．(2015·江苏)现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2、高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________．答案eq\r(7)解析设新的底面半径为r，由题意得eq\f(1,3)πr2·4＋πr2·8＝eq\f(1,3)π×52×4＋π×22×8，解得r＝eq\r(7).10．一个几何体的侧(左)视图和俯视图如图所示，则其正(主)视图的面积为________．答案4解析由题意知其正(主)视图如图所示，则其面积为eq\f(1,2)×(1＋3)×2＝4.11．已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.答案2解析由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×2×1×3＝2.12．一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球O的球面上，则该圆锥的体积与球O的体积的比值为________．答案eq\f(9,32)解析设等边三角形的边长为2a，球O的半径为R则V圆锥＝eq\f(1,3)·πa2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3),3)πa3.又R2＝a2＋(eq\r(3)a－R)2，所以R＝eq\f(2\r(3),3)a，故V球＝eq\f(4π,3)·(eq\f(2\r(3),3)a)3＝eq\f(32\r(3)π,27)a3，则其体积比值为eq\f(9,32).13．在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝9