高考数学二轮复习 46分大题保分练（三）文-人教版高三数学试题

46分大题保分练(三)(建议用时：40分钟)17．(12分)在△ABC中，AB＝6，AC＝4eq\r(2).(1)若sinB＝eq\f(2\r(2),3)，求△ABC的面积；(2)若eq\o(BD,\s\up9(→))＝2eq\o(DC,\s\up9(→))，AD＝3eq\r(2)，求BC的长．[解](1)由正弦定理得eq\f(4\r(2),\f(2\r(2),3))＝eq\f(6,sinC)，所以sinC＝1，因为0＜C＜π，所以C＝eq\f(π,2).所以BC＝eq\r(62－4\r(2)2)＝2.所以S△ABC＝eq\f(1,2)×2×4eq\r(2)＝4eq\r(2).(2)设DC＝x，则BD＝2x，所以eq\f(3\r(2)2＋2x2－62,2×3\r(2)×2x)＝－eq\f(3\r(2)2＋x2－4\r(2)2,2×3\r(2)x)，解得x＝eq\f(\r(69),3)，所以BC＝3DC＝3x＝eq\r(69).18．(12分)(2019·济南模拟)某工厂有甲、乙两个车间生产同一种产品，甲车间有工人200人，乙车间有工人400人．为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人．甲车间抽取的工人记作第一组，乙车间抽取的工人记作第二组，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间(单位：min)进行统计，按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]进行分组，得到下列统计图．(1)分别估算两个车间工人中，生产一件产品时间少于75min的人数；(2)分别估计两个车间工人生产一件产品时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？(3)从第一组生产时间少于75min的工人中随机抽取2人，求抽取的2人中至少1人生产时间少于65min的概率．[解](1)由题意得，第一组工人20人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有6人，∴甲车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为6×10＝60.第二组工人40人，其中在75min内(不含75min)生产完成一件产品的有40×(0.025＋0.05)×10＝30(人)，∴乙车间工人中生产一件产品时间少于75min的人数约为30×10＝300.(2)第一组工人生产一件产品的平均时间为eq\x\to(x)甲＝eq\f(60×2＋70×4＋80×10＋90×4,20)＝78(min)，第二组工人生产一件产品的平均时间为eq\x\to(x)乙＝60×0.25＋70×0.5＋80×0.2＋90×0.05＝70.5(min)，∴eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，∴乙车间工人的生产效率更高．(3)由题意得，第一组生产时间少于75min的工人有6人，其中生产时间少于65min的有2人，分别用A1，A2代表，生产时间不少于65min的有4人，分别用B1，B2，B3，B4代表．抽取2人的基本事件空间为Ω＝{(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，B4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}，共15个，设事件A＝“抽取的2人中至少1人生产时间少于65min”，则事件eq\x\to(A)＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B3，B4)}共6个，∴P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(6,15)＝eq\f(3,5).19．(12分)(2019·沈阳模拟)如图，等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝AB＝BC＝1，CD＝2，E为CD的中点，将△ADE沿AE折到△APE的位置．(1)证明：AE⊥PB；(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，求点C到平面PAB的距离．[解](1)在等腰梯形ABCD中，连接BD，交AE于点O.∵AB∥CE，AB＝CE，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AE＝BC＝AD＝DE，∴△ADE为等边三角形，∴在等腰梯形ABCD中，∠C＝∠ADE＝eq\f(π,3)，BD⊥BC，∴BD⊥AE.如图，翻折后可得，OP⊥AE，OB⊥AE，又OP⊂平面POB，OB⊂平面POB，OP∩OB＝O，∴AE⊥平面POB，∵PB⊂平面POB，∴AE⊥PB.(2)当四棱锥P­ABCE的体积最大时，平面PAE⊥平面ABCE.又平面PAE∩平面ABCE＝AE，PO⊂平面PAE，PO⊥AE，∴OP⊥平面ABCE.∵OP＝OB＝eq\f(\r(3),2)，∴PB＝eq\f(\r(6),2)，∵AP＝AB＝1，∴S△PAB＝eq\f(1,2)×eq\f(\r(6),2)×eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(\r(6),2)))2)＝eq\f(\r(15),8)，连接AC，则VP­ABC＝eq\f(1,3)OP·S△ABC＝eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),4)＝eq\f(1,8)，设点C到平面PAB的距离为d，∵VP­ABC＝VC­PAB＝eq\f(1,3)S△PAB·d，∴d＝eq\f(3VP­ABC,S△PAB)＝eq\f(\f(3,8),\f(\r(15),8))＝eq\f(\r(15),5).选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l1的倾斜角为30°，且经过点A(2,1)．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l2：ρcosθ＝3.从坐标原点O作射线交l2于点M，点N为射线OM上的点，满足|OM|·|ON|＝12，记点N的轨迹为曲线C.(1)写出直线l1的参数方程和曲线C的直角坐标方程；(2)设直线l1与曲线C交于P，Q两点，求|AP|·|AQ|的值．[解](1)直线l1的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋tcos30°,y＝1＋tsin30°))(t为参数)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2＋\f(\r(3),2)t,y＝1＋\f(1,2)t))(t为参数)．设N(ρ，θ)，M(ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ρρ1＝12，,θ＝θ1，))又ρ1cosθ1＝3，所以ρeq\f(3,cosθ)＝12，即ρ＝4cosθ，所以曲线C的直角坐标方程为x2－4x＋y2＝0(x≠0)．(2)设P，Q对应的参数分别为t1，t2，将直线l1的参数方程代入曲线C的直角坐标方程中，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),2)t))2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(\r(3),2)t))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2)t))2＝0，即t2＋t－3＝0，Δ＝13＞0，t1，t2为方程的两个根，所以t1t2＝－3，所以|AP||AQ|＝|t1t2|＝|－3|＝3.23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≤4的解集；(2)设函数f(x)的最小值为m，当a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝m时，求eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)＋eq\r(2c＋1)的最大值．[解](1)①当x＜eq\f(1,2)时，f(x)＝－3x＋2≤4，∴－eq\f(2,3)≤x＜eq\f(1,2)；②当eq\f(1,2)≤x＜1时，f(x)＝x≤4，∴eq\f(1,2)≤x＜1；③当x≥1时，f(x)＝3x－2≤4，∴1≤x≤2.综上，f(x)≤4的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)≤x≤2)))).(2)法一：由(1)可知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋2，x＜\f(1,2)，,x，\f(1,2)≤x＜1，,3x－2，x≥1，))∴f(x)min＝eq\f(1,2)，即m＝eq\f(1,2).又a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝eq\f(1,2)，∴2a＋2b＋2c＝1，设x＝eq\r(2a＋1)，y＝eq\r(2b＋1)，z＝eq\r(2c＋1)，∵x2＋y2≥2xy，∴2xy≤x2＋y2＝2a＋1＋2b＋1＝2a＋2同理，2yz≤2b＋2c＋2,2zx≤2c＋∴2xy＋2yz＋2zx≤2a＋2b＋2＋2b＋2c＋2＋2c∴(x＋y＋z)2＝x2＋y2＋z2＋2xy＋2yz＋2zx≤2a＋1＋2b＋1＋2∴x＋y＋z≤2eq\r(3)，即eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)＋eq\r(2c＋1)≤2eq\r(3)，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,6)时，取得最大值2eq\r(3).法二：由(1)可知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋2，x＜\f(1,2)，,x，\f(1,2)≤x＜1，,3x－2，x≥1，))∴f(x)min＝eq\f(1,2)，即m＝eq\f(1,2).又a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝eq\f(1,2)，∴eq\r(2a＋1)＋eq\r(2b＋1)＋eq\r(2c＋1)＝eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(4,3)2a＋1)＋\r(\f(4,3)2b＋1)＋\r(\f(4,3)2c＋1)))≤eq\f(\r(3),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\f(4,3)＋2a＋1,2)＋\f(\f(4,3)＋2b＋1,2)＋\f(\f(4,3)＋2c＋1,2)))＝2eq\r(3)，当且仅当a＝b＝c＝eq\f(1,6)时，取得最大值2eq\r(3).法三：由(1)可知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋2，x＜\f(1,2)，,x，\f(1,2)≤x＜1，,3x－2，x≥1，))∴f(x)min＝eq\f(1,2)，即m＝eq\f(1,2).∴a＋b＋c＝eq\f(1,2)，∴