高考数学二轮复习 46分大题保分练（四）文-人教版高三数学试题

46分大题保分练(四)(建议用时：40分钟)17．(12分)(2019·福州模拟)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a(eq\r(3)sinB－cosC)＝(c－b)cosA.(1)求角A；(2)若b＝eq\r(3)，点D在BC边上，CD＝2，∠ADC＝eq\f(π,3)，求△ABC的面积．[解]法一：(1)根据正弦定理，及a(eq\r(3)sinB－cosC)＝(c－b)cosA，得sinA(eq\r(3)sinB－cosC)＝(sinC－sinB)cosA，所以eq\r(3)sinAsinB＋sinBcosA＝sinCcosA＋cosCsinA，即eq\r(3)sinAsinB＋sinBcosA＝sin(A＋C)．又A＋C＝π－B，所以sin(A＋C)＝sinB，所以eq\r(3)sinAsinB＋sinBcosA＝sinB.又0＜B＜π，所以sinB＞0，所以eq\r(3)sinA＋cosA＝1，即sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0＜A＜π，所以eq\f(π,6)＜A＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，所以A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，解得A＝eq\f(2π,3).(2)如图，在△ACD中，AC＝b＝eq\r(3)，CD＝2，∠ADC＝eq\f(π,3)，由正弦定理，得eq\f(AC,sin∠ADC)＝eq\f(CD,sin∠CAD)，即eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝eq\f(2,sin∠CAD)，所以sin∠CAD＝1，∠CAD＝eq\f(π,2).从而∠ACD＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)，∠ABC＝π－eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,6)，所以AB＝AC＝eq\r(3).故S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sineq\f(2π,3)＝eq\f(3\r(3),4).法二：(1)因为a(eq\r(3)sinB－cosC)＝(c－b)cosA，所以eq\r(3)asinB＝acosC＋(c－b)cosA，由余弦定理，得eq\r(3)asinB＝a·eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＋(c－b)·eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，化简得2eq\r(3)acsinB＝2bc－(b2＋c2－a2)，所以2eq\r(3)acsinB＝2bc－2bccosA，即eq\r(3)asinB＝b－bcosA.由正弦定理，得eq\r(3)bsinA＝b－bcosA.所以eq\r(3)sinA＝1－cosA，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＝eq\f(1,2).又0＜A＜π，所以eq\f(π,6)＜A＋eq\f(π,6)＜eq\f(7π,6)，所以A＋eq\f(π,6)＝eq\f(5π,6)，A＝eq\f(2π,3).(2)在△ACD中，AC＝b＝eq\r(3)，CD＝2，∠ADC＝eq\f(π,3)，由余弦定理，得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CD·cos∠ADC，即3＝AD2＋4－2×AD×2×eq\f(1,2)，解得AD＝1，从而AD2＋AC2＝CD2，所以∠CAD＝eq\f(π,2)，所以∠ACD＝π－eq\f(π,2)－eq\f(π,3)＝eq\f(π,6)，∠ABC＝π－eq\f(π,6)－eq\f(2π,3)＝eq\f(π,6)，所以AB＝AC＝eq\r(3).故S△ABC＝eq\f(1,2)·AB·AC·sin∠BAC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×eq\r(3)×sineq\f(2π,3)＝eq\f(3\r(3),4).18．(12分)如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，底面ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，且A1M⊥B1N(1)求证：B1N⊥A1C(2)求M到平面A1B1C[解]法一：(1)如图，连接CM.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC所以AA1⊥CM.在△ABC中，AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.又AA1∩AB＝A，所以CM⊥平面ABB1A1因为B1N⊂平面ABB1A1，所以CM⊥B1N又A1M⊥B1N，A1M∩CM＝M，所以B1N⊥平面A因为A1C⊂平面A1CM，所以B1N⊥A(2)连接B1M在矩形ABB1A1中，因为A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即eq\f(AM,AA1)＝eq\f(A1N,A1B1).因为△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，所以AM＝1，CM＝eq\r(3)，A1B1＝2.设AA1＝x，则A1N＝eq\f(x,2).所以eq\f(1,x)＝eq\f(\f(x,2),2)，解得x＝2.从而S△A1B1M＝eq\f(1,2)S正方形ABB1A1＝2，A1C＝B1C＝2eq\r(2).在△A1CB1中，cos∠A1CB1＝eq\f(A1C2＋B1C2－A1B\o\al(2,1),2A1C·B1C)＝eq\f(3,4)，所以sin∠A1CB1＝eq\f(\r(7),4)，所以S△A1B1C＝eq\f(1,2)A1C·B1C·sin∠A1CB1＝eq\r(7).设点M到平面A1B1C的距离为d，由V三棱锥M­A1B1C＝V三棱锥C­A1B1M，得eq\f(1,3)S△A1B1C·d＝eq\f(1,3)S△A1B1M·CM，所以d＝eq\f(S△A1B1M·CM,S△A1B1C)＝eq\f(2\r(21),7)，即点M到平面A1B1C的距离为eq\f(2\r(21),7).法二：(1)同法一．(2)在矩形ABB1A1中，因为A1M⊥B1N，所以∠AA1M＝∠A1B所以tan∠AA1M＝tan∠A1B1N，即eq\f(AM,AA1)＝eq\f(A1N,A1B1).因为△ABC是边长为2的正三角形，M，N分别是AB，AA1的中点，所以AM＝1，CM＝eq\r(3)，A1B1＝2.设AA1＝x，则A1N＝eq\f(x,2)，所以eq\f(1,x)＝eq\f(\f(x,2),2)，解得x＝2.如图，取A1B1的中点D，连接MD，CD，过M作MO⊥CD于O.在正方形ABB1A1中，易知A1B1⊥MD，由(1)可得CM⊥A1B1又CM∩MD＝M，所以A1B1⊥平面CDM.因为MO⊂平面CDM，所以A1B1⊥MO.又MO⊥CD，A1B1∩CD＝D，所以MO⊥平面A1B1C即线段MO的长就是点M到平面A1B1C由(1)可得CM⊥MD，又MD＝2，所以由勾股定理，得CD＝eq\r(CM2＋MD2)＝eq\r(7).S△CMD＝eq\f(1,2)·CD·MO＝eq\f(1,2)·CM·MD，即eq\f(1,2)×eq\r(7)×MO＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×2，解得MO＝eq\f(2\r(21),7)，故点M到平面A1B1C的距离为eq\f(2\r(21),7).19．(12分)(2019·合肥模拟)“工资条里显红利，个税新政入民心”．随着2019年新年钟声的敲响，我国自1980年以来，力度最大的一次个人所得税(简称个税)改革迎来了全面实施的阶段．某IT从业者为了解自己在个税新政下能享受多少税收红利，绘制了他在26岁～35岁(2009年～2018年)之间各年的月平均收入y(单位：千元)的散点图：(1)由散点图知，可用回归模型y＝blnx＋a拟合y与x的关系，试根据有关数据建立y关于x的回归方程；(2)如果该IT从业者在个税新政下的专项附加扣除为3000元/月，试利用(1)的结果，将月平均收入视为月收入，根据新旧个税政策，估计他36岁时每个月少缴纳的个人所得税．附注：1.参考数据：eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))xi＝55，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))yi＝155.5，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))(xi－eq\x\to(x))2＝82.5，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))(xi－eq\x\to(x))(yi－eq\x\to(y))＝94.9，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))ti＝15.1，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))(ti－eq\x\to(t))2＝4.84，eq\o(eq\o(∑,\s\up9(10)),\s\do9(i＝1))(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝24.2，其中ti＝lnxi；取ln11＝2.4，ln36＝3.6.2．参考公式：回归方程v＝bu＋a中斜率和截距的最小二乘估计分别为eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))ui－\x\to(u)vi－\x\to(v),\o(∑,\s\up9(n),\s\do9(i＝1))ui－\x\to(u)2)，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(v)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(u)).3．新旧个税政策下每月应纳税所得额(含税)计算方法及税率表如下：旧个税税率表(个税起征点3500元)新个税税率表(个税起征点5000元)缴税级数每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点税率(%)每月应纳税所得额(含税)＝收入－个税起征点－专项附加扣除税率(%)1不超过1500元的部分3不超过3000元的部分32超过1500元至4500元的部分10超过3000元至12000元的部分103超过4500元至9000元的部分20超过12000元至25000元的部分204超过9000元至35000元的部分25超过25000元至35000元的部分255超过35000元至55000元的部分30超过35000元至55000元的部分30……………[解](1)令t＝lnx，则y＝bt＋a.eq\o(b,\s\up9(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up9(10),\s\do9(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\o(∑,\s\up9(10),\s\do9(i＝1))ti－\x\to(t)2)＝eq\f(24.2,4.84)＝5，eq\x\to(y)＝eq\f(\o(∑,\s\up9(10),\s\do9(i＝1))yi,10)＝eq\f(155.5,10)＝15.55，eq\x\to(t)＝eq\f(\o(∑,\s\up9(10),\s\do9(i＝1))ti,10)＝eq\f(15.1,10)＝1.51，eq\o(a,\s\up9(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up9(^))eq\o(\x\to(t))＝15.55－5×1.51＝8，所以y关于t的回归方程为y＝5t＋8.因为t＝lnx，所以y关于x的回归方程为y＝5lnx＋8.(2)由(1)得该IT从业者36岁时月平均收入为y＝5ln11＋8＝5×2.4＋8＝20(千元)．旧个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为1500×3%＋3000×10%＋4500×20%＋(20000－3500－9000)×25%＝3120(元)．新个税政策下每个月应缴纳的个人所得税为3000×3%＋(20000－5000－3000－3000)×10%＝990(元)．故根据新旧个税政策，该IT从业者36岁时每个月少缴纳的个人所得税为3120－990＝2130(元)．选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．(10分)[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(3,5)t,y＝1＋\f(4,5)t))(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝eq\f(2,1＋sin2θ)，点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4))).(1)求C的直角坐标方程和P的直角坐标；(2)设l与C交于A，B两点，线段AB的中点为M，求|PM|.[解](1)由ρ2＝eq\f(2,1＋sin2θ)得ρ2＋ρ2sin2θ＝2①，将ρ2＝x2＋y2，y＝ρsinθ代入①并整理得，曲线C的直角坐标方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.设点P的直角坐标为(x，y)，因为点P的极坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(π,4)))，所以x＝ρcosθ＝eq\r(2)coseq\f(π,4)＝1，y＝ρsinθ＝eq\r(2)sineq\f(π,4)＝1.所以点P的直角坐标为(1,1)．(2)法一：将eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(3,5)t,y＝1＋\f(4,5)t))代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，并整理得41t2＋110t＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t1，t2，则t1，t2为A，B对应的参数，且t1＋t2＝－eq\f(110,41).依题意，点M对应的参数为eq\f(t1＋t2,2).所以|PM|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(t1＋t2,2)))＝eq\f(55,41).法二：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则x0＝eq\f(x1＋x2,2)，y0＝eq\f(y1＋y2,2).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1＋\f(3,5)t,y＝1＋\f(4,5)t))，消去t，得y＝eq\f(4,3)x－eq\f(1,3).将y＝eq\f(4,3)x－eq\f(1,3)代入eq\f(x2,2)＋y2＝1，并整理得41x2－16x－16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x1＋x2＝eq\f(16,41)，x1x2＝－eq\f(16,41).所以x0＝eq\f(8,41)，y0＝eq\f(4,3)x0－eq\f(1,3)＝eq\f(4,3)×eq\f(8,41)－eq\f(1,3)＝－eq\f(3,41)，即Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,41)，－\f(3,41))).所以|PM|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,41)－1))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,41)－1))2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(33,41)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(44,41)))2)＝eq\f(55,41).23．(10分)[选修4－5：不等式选讲]已知函数f(x)＝|x＋1|－|ax－3|(a＞0)．(1)当a＝2时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若y＝f(x)的图象与x轴围成直角三角形，求a的值．[解](1)当a＝2时，不等式f(x)＞1即|x＋1|－|2x－3|＞1.当x≤－1时，原不等式可化为－x－1＋2x－3＞1，解得x＞5，因为x≤－1，所以此时原不等式无解；当－1＜x≤eq\f(3,2)时，原不等式可化为x＋1＋2x－3＞1，解得x＞