高考数学二轮复习 第一篇 第5练 数学文化精准提分练习 文-人教版高三数学试题

第5练数学文化[明晰考情]1.命题角度：近几年，为充分发挥高考的育人功能和积极导向作用，在数学中出现了数学文化的内容，内容不拘一格，古今中外文化兼有.2.题目难度：中档难度.考点一算法、数列中的数学文化方法技巧(1)和算法结合的数学文化，要读懂程序框图，按程序框图依次执行.(2)数学文化中蕴含的数列问题，要寻找数列前几项，寻找规律，抽象出数列模型.1.如图所示的程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为14,18，则输出的a为()A.4B.2C.0D.14答案B解析由题意可知输出的a是18,14的最大公约数2，故选B.2.(2018·石嘴山模拟)《张邱建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾(注：从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布)，第一天织5尺布，现一月(按30天计)共织390尺布”，则从第2天起每天比前一天多织布的尺数为()A.eq\f(1,2) B.eq\f(16,29)C.eq\f(16,31) D.eq\f(8,15)答案B解析依题意设每天多织d尺，依题意得S30＝30×5＋eq\f(30×29,2)d＝390，解得d＝eq\f(16,29).3.(2018·葫芦岛模拟)20世纪70年代，流行一种游戏——角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n＋1；如果n是个偶数，则下一步变成eq\f(n,2)，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4－2－1循环，而永远也跳不出这个圈子，下面程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为()A.5 B.16C.5或32 D.4或5或32答案C解析当n＝5时，执行程序框图，i＝1，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3，n＝4，i＝4，n＝2，i＝5，n＝1，i＝6，结束循环，输出i＝6；当n＝32时，执行程序框图，i＝1，n＝16，i＝2，n＝8，i＝3，n＝4，i＝4，n＝2，i＝5，n＝1，i＝6，结束循环，输出i＝6.易知当n＝4时，不符合，故n＝5或n＝32，故选C.4.名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为5,2，则输出的n等于()A.2 B.3C.4 D.5答案C解析当n＝1时，a＝eq\f(15,2)，b＝4，满足进行循环的条件，当n＝2时，a＝eq\f(45,4)，b＝8，满足进行循环的条件，当n＝3时，a＝eq\f(135,8)，b＝16，满足进行循环的条件，当n＝4时，a＝eq\f(405,16)，b＝32，不满足进行循环的条件，退出循环.故输出的n值为4.5.《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”.如甲、乙、丙、丁衰分得100,60,36,21.6个单位，递减的比例为40%.今共有粮m(m＞0)石，按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”，已知丙衰分得80石，乙、丁衰分所得的和为164石，则“衰分比”与m的值分别为()A.20%,369 B.80%,369C.40%,360 D.60%,365答案A解析设“衰分比”为a，甲衰分得b石，由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b1－a2＝80，,b1－a＋b1－a3＝164，,b＋80＋164＝m，))解得b＝125，a＝20%，m＝369.6.(2018·浙江)我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题：“今有鸡翁一，值钱五；鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？”设鸡翁，鸡母，鸡雏个数分别为x，y，z，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋z＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)z＝100，))当z＝81时，x＝____________，y＝________.答案811解析方法一由题意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＋81＝100，,5x＋3y＋\f(1,3)×81＝100，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝19，,5x＋3y＝73，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝8，,y＝11.))方法二100－81＝19(只)，81÷3＝27(元)，100－27＝73(元).假设剩余的19只鸡全是鸡翁，则5×19＝95(元).因为95－73＝22(元)，所以鸡母：22÷(5－3)＝11(只)，鸡翁：19－11＝8(只).考点二三角函数与几何中的数学文化方法技巧从题目叙述中分析蕴含的图形及数量关系，通过分析图形特征建立数学模型，转化为三角函数或几何问题.7.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是8步和15步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是()A.3步B.6步C.4步D.8步答案B解析由于该直角三角形的两直角边长分别是8和15，则得其斜边长为17，设其内切圆半径为r，则有eq\f(8r,2)＋eq\f(15r,2)＋eq\f(17r,2)＝eq\f(1,2)×8×15(等积法)，解得r＝3，故其直径为6步.8.如图是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为4，大正方形的面积为100，直角三角形中较小的锐角为α，则tanα等于()A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,8)C.5D.eq\f(1,5)答案A解析由题意得，大正方形的边长为10，小正方形的边长为2，∴2＝10cosα－10sinα，∴cosα－sinα＝eq\f(1,5)，又α为锐角，易求得tanα＝eq\f(3,4).9.(2018·全国Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是()答案A解析由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.10.我国南北朝时期数学家、天文学家——祖暅提出了著名的祖暅原理：“幂势即同，则积不容异”.“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等.已知某不规则几何体与如图三视图所对应的几何体满足“幂势同”，则该不规则几何体的体积为()A.4－eq\f(π,2) B.8－eq\f(4π,3)C.8－π D.8－2π答案C解析由三视图知，该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱.V正方体＝23＝8，V半圆柱＝eq\f(1,2)(π×12)×2＝π，∴三视图对应几何体的体积V＝8－π.根据祖暅原理，不规则几何体的体积V′＝V＝8－π.11.(2018·蚌埠模拟)我国古代数学名著《张邱建算经》中有如下问题：“今有粟二百五十斛委注平地，下周五丈四尺，问高几何？”意思是：现在有粟米250斛，把它们自然地堆放在平地上，形成一个圆锥形的谷堆，其底面周长为5丈4尺，则谷堆的高为多少？(注：1斛≈1.62立方尺，π≈3)若使该问题中的谷堆内接于一个球状的外罩，则该外罩的直径约为()A.5尺 B.9尺C.10.6尺 D.21.2尺答案D解析设谷堆的高为h尺，底面半径为r尺，则2πr＝54，r≈9.粟米250斛，则体积为250×1.62＝eq\f(1,3)×π×92×h，h≈5.谷堆内接于一个球状的外罩，设球的半径为R尺.则R2＝(h－R)2＋r2，解得R≈10.6(尺).∴2R≈21.2(尺).12.卫星沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴长，给出下列式子：①a1＋c1＝a2＋c2；②a1－c1＝a2－c2；③eq\f(c1,a1)<eq\f(c2,a2)；④c1a2>a1c2.其中正确的式子的序号是()A.①③ B.①④C.②③ D.②④答案D解析①由题图知2a1>2a2,2c1>2c2，即a1>a2，c1>c2，∴a1＋c1>a2＋c2，∴①不正确.②∵a1－c1＝|PF|，a2－c2＝|PF|，∴a1－c1＝a2－c2，∴②正确.④∵a1>a2>0，c1>c2>0，∴aeq\o\al(2,1)>aeq\o\al(2,2)，ceq\o\al(2,1)>ceq\o\al(2,2).又∵a1－c1＝a2－c2，即a1＋c2＝a2＋c1，即aeq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)＋2a1c2＝aeq\o\al(2,2)＋ceq\o\al(2,1)＋2a2c1，∴aeq\o\al(2,1)－ceq\o\al(2,1)＋ceq\o\al(2,2)－aeq\o\al(2,2)＋2a1c2＝2a2c1，即(a1－c1)(a1＋c1)－(a2－c2)(a2＋c2)＋2a1c2＝2a2c1，整理得(a1－c1)(a1－a2＋c1－c2)＋2a1c2＝2a2c1.∵a1>c1，a1>a2，c1>c2，∴2a1c2<2a2c1，即c1a2>a1c2，∴④正确.③∵c1a2>a1c2，a1>0，a2>0，∴eq\f(c1a2,a1a2)>eq\f(a1c2,a1a2)，即eq\f(c1,a1)>eq\f(c2,a2)，∴③不正确.故选D.考点三概率、统计与推理证明中的数学文化方法技巧(1)概率、统计和数学文化的结合，关键是构建数学模型.(2)推理证明和实际问题结合，要根据已知条件进行逻辑推理，得到相应结论.13.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为()A.134石 B.169石C.338石 D.1365石答案B解析由系统抽样的含义，该批米内夹谷约为eq\f(28,254)×1534≈169(石).14.数学与文学有许多奇妙的联系，如诗中有回文诗：“儿忆父兮妻忆夫”，既可以顺读也可以逆读.数学中有回文数，如343,12521等，两位数的回文数有11,22,33，…，99共9个，则三位数的回文数中，偶数的概率是()A.eq\f(1,9) B.eq\f(4,9)C.eq\f(1,10) D.eq\f(9,10)答案B解析三位数的回文数为ABA，A共有1到9共9种可能，即1B1,2B2,3B3，…，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，共有9×10＝90(个)；其中偶数为A是偶数，共4种可能，即2B2,4B4,6B6,8B8，B共有0到9共10种可能，即A0A，A1A，A2A，A3A，…，其有4×10＝40(个)，∴三位数的回文数中，偶数的概率P＝eq\f(40,90)＝eq\f(4,9).15.(2018·永州模拟)我国的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：将1,2，…，9填入3×3的方格内，使三行、三列、两对角线的三个数之和都等于15(如图).一般地，将连续的正整数1,2,3，…，n2填入n×n的方格内，使得每行、每列、每条对角线上的数的和相等，这个正方形就叫做n阶幻方.记n阶幻方的一条对角线上数的和为Nn(如：在3阶幻方中，N3＝15)，则N10等于()492357816A.1020B.1010C.510D.505答案D解析n阶幻方共有n2个数，其和为1＋2＋…＋n2＝eq\f(n2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n2＋1)),2)，∵n阶幻方共有n行，∴每行的和为eq\f(\f(n2n2＋1,2),n)＝eq\f(nn2＋1,2)，即Nn＝eq\f(nn2＋1,2)，∴N10＝eq\f(10×102＋1,2)＝505.16.(2018·贵港市联考)《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：有一水池一丈见方，池中心生有一棵类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐(如图所示)，问水有多深，该植物有多长？其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为()A.eq\f(21,29)B.eq\f(23,29)C.eq\f(11,12)D.eq\f(12,13)答案A解析如图所示，设水深为x尺，由题意得(x＋2)2＝x2＋52，求解关于实数x的方程，可得x＝eq\f(21,4)，即水深为eq\f(21,4)尺，又葭长为eq\f(29,4)尺，则所求问题的概率为P＝eq\f(21,29).故选A.17.(2018·北京朝阳区模拟)庙会是我国古老的传统民俗文化活动，又称“庙市”或“节场”.庙会大多在春节、元宵节等节日举行.庙会上有丰富多彩的文化娱乐活动，如“砸金蛋”(游玩者每次砸碎一颗金蛋，如果有奖品，则“中奖”).今年春节期间，某校甲、乙、丙、丁四位同学相约来到某庙会，每人均获得砸一颗金蛋的机会.游戏开始前，甲、乙、丙、丁四位同学对游戏中奖结果进行了预测，预测结果如下：甲说：“我或乙能中奖”；乙说：“丁能中奖”；丙说：“我或乙能中奖”；丁说：“甲不能中奖”.游戏结束后，这四位同学中只有一位同学中奖，且只有一位同学的预测结果是正确的，则中奖的同学是()A.甲B.乙C.丙D.丁答案A解析由四人的预测可得下表：中奖人预测结果甲乙丙丁甲√×××乙√×√√丙××√√丁×√×√由分析可知，中奖者是甲.1.南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出；下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给.问：每等人比下等人多得几斤？”()A.eq\f(4,39) B.eq\f(7,78)C.eq\f(7,76) D.eq\f(5,81)答案B解析设第十等人得金a1斤，第九等人得金a2斤，以此类推，第一等人得金a10斤，则数列{an}构成等差数列，设公差为d，则每一等人比下一等人多得d斤金，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋a2＋a3＋a4＝3，,a8＋a9＋a10＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4a1＋6d＝3，,3a1＋24d＝4，))解得d＝eq\f(7,78)，∴每一等人比下一等人多得eq\f(7,78)斤金.2.(2018·山东、湖北部分重点中学模拟)朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”.其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少升大米？()A.1170 B.1380C.3090 D.3300答案D解析设第n天派出的人数为an，则{an}是以64为首项，7为公差的等差数列，则第n天修筑堤坝的人数为Sn＝a1＋a2＋…＋an＝64n＋eq\f(nn－1,2)×7，所以前5天共分发的大米数为3(S1＋S2＋S3＋S4＋S5)＝3[(1＋2＋3＋4＋5)×64＋(1＋3＋6＋10)×7]＝3300(升).3.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了()A.192里B.96里C.48里D.24里答案B解析设等比数列{an}的首项为a1，公比为q＝eq\f(1,2)，由题意得eq\f(a1\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,26))),1－\f(1,2))＝378，解得a1＝192，则a2＝192×eq\f(1,2)＝96，即第二天走了96里，故选B.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸，盆底直径为一尺二寸，盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸，则平地降雨量是()(注：①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②一尺等于十寸)A.1寸 B.2寸C.3寸 D.4寸答案C解析如图，由题意可知，天池盆上底面半径为14寸，下底面半径为6寸，高为18寸.∵积水深9寸，∴水面半径为eq\f(1,2)(14＋6)＝10(寸)，则盆中水的体积为eq\f(1,3)π×9(62＋102＋6×10)＝588π(立方寸).∴平地降雨量等于eq\f(588π,π×142)＝3(寸).故选C.5.(2018·吉林调研)《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位所著，该作完善了珠算口诀，确立了算盘用法，完成了由筹算到珠算的彻底转变，该作中有题为“李白沽酒”“李白街上走，提壶去买酒。遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。借问此壶中，原有多少酒？”，如图为该问题的程序框图，若输出的S值为0，则开始输入的S值为()A.eq\f(3,4) B.eq\f(4,5)C.eq\f(7,8) D.eq\f(15,16)答案C解析模拟程序的运行，可得当i＝1时，S＝2S－1，i＝1满足条件i<3，执行循环体；当i＝2时，S＝2(2S－1)－1，i＝2满足条件i<3，执行循环体；当i＝3时，S＝2[2(2S－1)－1]－1，i＝3不满足条件i<3，退出循环体，输出S＝0，∴2[2(2S－1)－1]－1＝0，∴S＝eq\f(7,8).6.(2018·聊城模拟)我国三国时期的数学家赵爽为了证明勾股定理创制了一幅“勾股圆方图”，该图是由四个全等的直角三角形组成，它们共同围成了一个如图所示的大正方形和一个小正方形.设直角三角形中一个锐角的正切值为3.在大正方形内随机取一点，则此点取自小正方形内的概率是()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,5)C.eq\f(3,10) D.eq\f(2,5)答案D解析不妨设两条直角边为3,1，故斜边，即大正方形的边长为eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，小正方形边长为2，故概率为eq\f(2×2,\r(10)×\r(10))＝eq\f(2,5).7.(2018·南昌模拟)欧阳修在《卖油翁》中写道“(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆盖其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿”，可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4cm的圆面，中间有边长为1cm的正方形孔.现随机向铜钱上滴一滴油(油滴的大小忽略不计)，则油滴落入孔中的概率为()A.eq\f(4,9π)B.eq\f(1,4π)C.eq\f(1,9π)D.eq\f(1,16π)答案B解析由题意可得直径为4cm的圆的面积为π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,2)))2＝4π(cm2)，而边长为1cm的正方形的面积为1×1＝1(cm2)，根据几何概型概率公式可得油滴落入孔中的概率为P＝eq\f(1,4π)，故选B.8.(2018·辽宁瓦房店模拟)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺，问积几何？”其意思为：“今有底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为7尺和5尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为()A.128π平方尺 B.138π平方尺C.140π平方尺 D.142π平方尺答案B解析设四棱锥的外接球半径为r尺，则(2r)2＝72＋52＋82＝138，∴这个四棱锥的外接球的表面积为4πr2＝138π(平方尺).故选B.9.原始社会时期，人们通过在绳子上打结来计算数量，即“结绳计数”，当时有位父亲，为了准确记录孩子的成长天数，在粗细不同的绳子上打结，由细到粗，满七进一，那么孩子已经出生________天.答案510解析由题意满七进一，可得该图示为七进制数，化为十进制数为1×73＋3×72＋2×7＋6＝510.10.我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在eq\r(2＋\r(2＋\r(2＋…)))中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x.这可以通过方程eq\r(2＋x)＝x确定x＝2，则1＋e