高考数学二轮复习 专题检测（十二）空间位置关系的判断与证明 理（普通生含解析）-人教版高三数学试题

专题检测（十二）空间位置关系的判断与证明一、选择题1．已知E，F，G，H是空间四点，命题甲：E，F，G，H四点不共面，命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B若E，F，G，H四点不共面，则直线EF和GH肯定不相交，但直线EF和GH不相交，E，F，G，H四点可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要条件．2．关于直线a，b及平面α，β，下列命题中正确的是()A．若a∥α，α∩β＝b，则a∥bB．若α⊥β，m∥α，则m⊥βC．若a⊥α，a∥β，则α⊥βD．若a∥α，b⊥a，则b⊥α解析：选CA是错误的，因为a不一定在平面β内，所以a，b有可能是异面直线；B是错误的，若α⊥β，m∥α，则m与β可能平行，可能相交，也可能线在面内，故B错误；C是正确的，由直线与平面垂直的判断定理能得到C正确；D是错误的，直线与平面垂直，需直线与平面中的两条相交直线垂直．3．已知空间两条不同的直线m，n和两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是()A．若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥nC．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n解析：选D若m∥α，n∥β，α∥β，则m与n平行或异面，即A错误；若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m与n相交或平行或异面，即B错误；若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m与n相交、平行或异面，即C错误，故选D.4.如图，在三棱锥P­ABC中，不能证明AP⊥BC的条件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：选BA中，因为AP⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC⊂平面PBC，所以AP⊥BC，故A正确；C中，因为平面BPC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP⊂平面APC，所以AP⊥BC，故C正确；D中，由A知D正确；B中条件不能判断出AP⊥BC，故选B.5．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D­ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的结论是()A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④解析：选B由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，结合②知③正确；由①知④不正确．故选B.6．(2018·全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\f(\r(3),2)解析：选A如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，平面AB1D1与棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方体的其余棱都分别与A1A，A1B1，A1D1平行，故正方体ABCD­A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等．如图所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中点E，F，G，H，M，N，则正六边形EFGHMN所在平面与平面AB1D1平行且面积最大，此截面面积为S正六边形EFGHMN＝6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)×sin60＝eq\f(3\r(3),4).故选A.二、填空题7．(2018·天津六校联考)设a，b为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，给出下列命题：①若a∥α且b∥α，则a∥b；②若a⊥α且a⊥β，则α∥β；③若α⊥β，则一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，则一定存在直线l，使得l⊥α，l∥β.其中真命题的序号是________．解析：①中a与b也可能相交或异面，故不正确．②垂直于同一直线的两平面平行，正确．③中存在γ，使得γ与α，β都垂直，正确．④中只需直线l⊥α且l⊄β就可以，正确．答案：②③④8．若P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线的交点为O，M为PB的中点，给出以下四个命题：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正确的个数是________．解析：由已知可得OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正确的只有①③.答案：①③9.如图，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，则三棱锥D­AEF体积的最大值为________．解析：因为DA⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE为三棱锥D­AEF的高．因为AE为等腰直角三角形ABD斜边上的高，所以AE＝eq\r(2)，设AF＝a，FE＝b，则△AEF的面积S＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)×eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,2)＝eq\f(1,2)(当且仅当a＝b＝1时等号成立)，所以(VD­AEF)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6).答案：eq\f(\r(2),6)三、解答题10.(2018·长春质检)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACE；(2)设PA＝1，AD＝eq\r(3)，PC＝PD，求三棱锥P­ACE的体积．解：(1)证明：连接BD交AC于点O，连接OE.在△PBD中，PE＝DE，BO＝DO，所以PB∥OE.又OE⊂平面ACE，PB⊄平面ACE，所以PB∥平面ACE.(2)由题意得AC＝AD，所以VP­ACE＝eq\f(1,2)VP­ACD＝eq\f(1,4)VP­ABCD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)S▱ABCD·PA＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×1＝eq\f(\r(3),8).11.如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中点，F是CC1上一点．(1)当CF＝2时，证明：B1F⊥平面ADF(2)若FD⊥B1D，求三棱锥B1­ADF的体积．解：(1)证明：因为AB＝AC，D是BC的中点，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC­A1B1C1中，因为BB1⊥底面ABC，AD⊂底面ABC，所以AD⊥B1B因为BC∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.因为B1F⊂平面B1BCC1，所以AD⊥B1在矩形B1BCC1中，因为C1F＝CD＝1，B1C1＝所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90所以B1F⊥FD因为AD∩FD＝D，所以B1F⊥平面ADF(2)由(1)知AD⊥平面B1DF，CD＝1，AD＝2eq\r(2)，在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以B1D＝eq\r(BD2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(10).因为FD⊥B1D，所以Rt△CDF∽Rt△BB1D，所以eq\f(DF,B1D)＝eq\f(CD,BB1)，即DF＝eq\f(1,3)×eq\r(10)＝eq\f(\r(10),3)，所以VB1­ADF＝VA­B1DF＝eq\f(1,3)S△B1DF×AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(10),3)×eq\r(10)×2eq\r(2)＝eq\f(10\r(2),9).12．(2018·石家庄摸底)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F是CE的中点．(1)求证：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中点，求证：BD⊥平面AOF.证明：(1)取PD的中点为G，连接FG，AG，∵F是CE的中点，∴FG是梯形CDPE的中位线，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，FG∥CD，∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四边形ABFG是平行四边形，∴BF∥