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动量矩定理

2一、质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有左边可写成质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。故：动量矩定理O为固定点3质点系的动量矩定理左边交换求和与求导运算的顺序，并且注意一质点系对固定点的动量矩定理对质点系，将每一质点的动量矩定理求矢量和。得对每一质点4解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：

v=r

由动量矩定理：[例]已知:5[例]高炉运送矿石的卷扬机如图。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，绕O轴转动。小车和矿石的总质量为m2。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动惯量为J，轨道倾角为a。设绳质量和各处摩擦不计，求小车的加速度a。解：以系统为研究对象，受力如图。以顺时针为正，则由，有MOm2gNvm1gFOxFOyw6因

,于是解得若M＞m2gRsina，则

a＞0，小车的加速度沿轨道向上。必须强调的是：为使动量矩定理中各物理量的正负号保持协调，动量矩和力矩的正负号规定必须完全一致。7[例]水平杆AB长2a，可绕铅垂轴

z转动，其两端各用铰链与长为l的杆AC及BD相连，杆端各联结质量为m的小球C和D。起初两小球用细线相连，使杆AC与BD均为铅垂，系统绕

z轴的角速度为w0。如某时此细线拉断，杆AC和BD各与铅垂线成a角。不计各杆的质量，求这时系统的角速度w。解：以系统为研究对象，系统所受的外力有小球的重力和轴承处的反力，这些力对转轴之矩都等于零。所以系统对转轴的动量矩守恒，即显然，此时的角速度w＜w

0。8解：系统的动量矩守恒。猴A与猴B向上的绝对速度是一样的，均为。[例]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）9[例]行星齿轮机构的曲柄

OO1受力偶

M作用而绕固定铅直轴

O转动，并带动齿轮O1在固定水平齿轮O上滚动如图所示。设曲柄

OO1为均质杆，长l、重

P；齿轮

O1为均质圆盘，半径

r

、重

Q。试求曲柄的角加速度及两齿轮接触处沿切线方向的力。

解：以曲柄为研究对象，曲柄作定轴转动，列出定轴转动微分方程MO1OaFnFtRnRtOO1M10F'N1F'1FN2F2m1gFa取板分析11由运动学关系，有联立求解(1)~(4)，得O1F'nF'tTNatana1取齿轮O1分析，齿轮O1作平面运动MO1OaFnFtRnRt理论力学中南大学土木建筑学院12研

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