专题05 二次函数的图像和性质-2024年中考数学二轮复习讲练测（浙江新中考专用）

第第页专题05二次函数的图像和性质目录题型01二次函数的图象与性质题型02与二次函数图象有关的判断题型03二次函数图象的变换题型04与系数a、b、c有关的判断题型05二次函数与一元二次方程的关系题型06二次函数图象与性质综合应用题型01二次函数的图象与性质1．（2024•邯郸模拟）抛物线y＝﹣2（x+2）2﹣1的顶点坐标为（）A．（2，﹣1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（﹣2，1）【答案】B【解析】解：y＝﹣2（x+2）2﹣1的顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选：B．2．（2024•安徽一模）下列函数中，y的值随x值增大而增大的是（）A．y＝3x2+1 B．y＝﹣3x2+1 C．y＝3x+1 D．y＝﹣3x+1【答案】C【解析】解：∵二次函数以对称轴为分界线，两边既有增大而减小的，也有增大而增大的，故A、B不符；∵一次函数当k＞0时，y的值随x值增大而增大，k＜0时，y的值随x值增大而减小，故C符合，D不符合；故选：C．3．（2024•镜湖区一模）下列抛物线开口朝上的是（）A．y＝2x2+4x﹣6 B．y＝﹣3x2 C．y＝﹣2（x+2）2 D．y＝5﹣x2【答案】A【解析】解：在二次函数y＝ax2+bx+c中，当a＞0时，则其开口向上，在所给选项中，A选项中的a＝2＞0，∴y＝2x2+4x﹣6的开口朝上，故选：A．4．（2024•汝阳县一模）关于y＝2（x﹣3）2+2的图象，下列叙述正确的是（）A．其图象开口向左 B．其最小值为20 C．当x＞3时y随x增大而减小 D．其图象的对称轴为直线x＝3【答案】D【解析】解：∵二次函数y＝2（x﹣3）2+2中，a＝2，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，2），∴函数有最小值2，当x＞3时，y随x的增大而增大，故选项A、B、C错误；选项D正确；故选：D．5．（2024•沧州一模）若抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（1，0），B（3，0）两点，则抛物线的对称轴为（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝3 D．x＝4【答案】B【解析】解：∵抛物线y＝x2+bx+c经过A（1，0）、B（3，0）两点，∴抛物线对称轴为直线x＝＝2，故选：B．6．（2024•雁塔区三模）已知二次函数y＝﹣x2+2x﹣3，点A（x1，y1）、B（x2，y2）在该函数图象上，若x1+x2＞2，x1＞x2，则y1与y2的大小关系是（）A．y1＜y2 B．y1＞y2 C．y1＝y2 D．无法判断【答案】A【解析】解：∵y＝﹣x2+2x﹣3＝﹣（x﹣1）2﹣2，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，∵x1+x2＞2，x1＞x2，∴y1﹣y2＝（﹣+2x1﹣3）﹣（﹣+2x2﹣3）＝﹣（x1﹣x2）（x1+x2﹣2）＜0∴y1＜y2．故选：A．7．（2024•秦都区校级一模）若二次函数y＝x2+bx+4配方后为y＝（x﹣2）2+k，则b，k的值分别为（）A．0，5 B．0，1 C．﹣4，5 D．﹣4，0【答案】D【解析】解：∵y＝（x﹣2）2+k＝x2﹣4x+4+k＝x2﹣4x+（4+k），又∵y＝x2+bx+4，∴x2﹣4x+（4+k）＝x2+bx+4，∴b＝﹣4，k＝0．故选：D．8．（2024•杭州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表，则下列判断中错误的是（）x…﹣10234…y…50﹣4﹣30…A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线x＝2 C．当0＜x＜4时，y＜0 D．若A（x1，2），B（x2，3）是图象上两点，则x1＜x2【答案】D【解析】解：设抛物线解析式为y＝ax（x﹣4），把（﹣1，5）代入得5＝a×（﹣1）×（﹣1﹣4），解得a＝1，∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x，开口向上，所以A选项不符合题意；抛物线的对称轴为直线x＝2，所以B选项不符合题意；∵抛物线与x轴的交点坐标为（0，0），（4，0），∴当0＜x＜4时，y＜0，所以C选项不符合题意；若A（x1，2），B（x2，3）是图象上两点，则不能判断x1与x2的大小，所以选项D符合题意．故选：D．9．（2023秋•厦门期末）关于y＝（x﹣2）2﹣1（x为任意实数）的函数值，下列说法正确的是（）A．最小值是﹣1 B．最小值是2 C．最大值是﹣1 D．最大值是2【答案】A【解析】解：∵y＝（x﹣2）2﹣1，∴抛物线开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为（2，﹣1），∴函数有最小值﹣1；故选：A．10．（2023秋•如皋市期末）定义：在平面直角坐标系xOy中，若点P的横坐标与纵坐标的和为零，则称点P为“零和点”．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上有2个“零和点”，且都在第二象限，则二次函数y＝ax2﹣（1+b）x+c的图象不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【解析】解：由题意得点P在直线y＝﹣x上，∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象上有2个“零和点”，且都在第二象限，∴二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象的对称轴在y轴的左侧，与y轴的交点在正半轴，∴﹣＜0，c＞0，∵a＞0，∴b＞0，∴b+1＞0，∴二次函数y＝ax2﹣（1+b）x+c的图象的对称轴为直线x＝﹣＝＞0，∵a＞0，c＞0，∴二次函数y＝ax2﹣（1+b）x+c的图象经过第一、二、四象限，∴二次函数y＝ax2﹣（1+b）x+c的图象不经过第三象限，故选：C．11．（2024•泗洪县一模）在二次函数y＝x2﹣4x+5中，当0＜x＜3时，y的取值范围是（）A．0＜y＜5 B．1＜y＜5 C．3＜y＜5 D．1≤y＜5【答案】D【解析】解：（1）y＝x2﹣4x+5＝（x﹣2）2+1，∵1＞0，∴当x＝2时，y有最小值，最小值为1，∵2﹣0＞3﹣2，∴当x＝0时，y＝5，∴当0＜x＜3时，y的取值范围是1≤y＜5，故选：D．12．（2024•岳阳楼区开学）顶点为（﹣4，1），且开口方向、形状与函数y＝﹣x2的图象相同的抛物线是（）A．y＝（x+4）2+1 B．y＝﹣（x+4）2﹣1 C．y＝（x﹣4）2+1 D．y＝﹣（x+4）2+1【答案】D【解析】解：∵顶点为（﹣4，1），∴设抛物线解析式为y＝a（x+4）2+1，∵开口方向、形状与函数y＝﹣x2的图象相同，∴a＝﹣1，∴抛物线解析式为y＝﹣（x+4）2+1，故选：D．13．（2024春•拱墅区校级月考）设二次函数y＝a（x+m）（x+m﹣k）（a＜0，m，k是实数），则（）A．当k＝4时，函数y的最大值为﹣a B．当k＝2时，函数y的最大值为﹣2a C．当k＝4时，函数y的最大值为﹣2a D．当k＝2时，函数y的最大值为﹣a【答案】D【解析】解：由题意，令y＝0，∴（x+m）（x+m﹣k）＝0，∴x1＝﹣m，x2＝﹣m+k．∴二次函数y＝a（x+m）（x+m﹣k）与x轴的交点坐标是（﹣m，0），（﹣m+k，0）．∴二次函数的对称轴是：直线x＝＝．∵a＜0，∴y有最大值．当x＝时，y最大，即y＝a（+m）（+m﹣k）＝a••（﹣）＝﹣a，当k＝4时，函数y的最大值为y＝﹣2a；当k＝2时，函数y的最大值为y＝﹣a．综上，C、D选项正确，其余选项错误．故选：C、D．题型02与二次函数图象有关的判断1．（2024•涧西区一模）一次函数y＝ax+b（a≠0）与二次函数y＝ax2+bx（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：解得或．故二次函数y＝ax2+bx与一次函数y＝ax+b（a≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x轴上或点（1，a+b）．故选：C．2．（2024•梅县区一模）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b（a，b都不为0）的图象的相对位置可以是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：A、由抛物线可知，a＜0，b＜0．由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确；B、由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，相矛盾，故本选项错误；C、由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，相矛盾，故本选项错误；D、由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，相矛盾，故本选项错误；故选：A．3．（2024•临汾一模）二次函数y＝ax2+bx+c的系数a，b，c满足关系式a﹣b+c＝0，且a＜b＜c，则下列图象符合题意的是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵a﹣b+c＝0，∴b＝a+c，∵a＜b＜c，∴a＜a+c＜c，∴a＜0，c＞0，∴抛物线开口向下，交y轴的正半轴，故选：B．4．（2024•郑州模拟）已知二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象大致为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由二次函数y＝ax2+bx（a≠0）的图象，可知：a＜0，b＞0，则一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象经过第一、二、四象限，故选：C．5．（2023秋•绵阳期末）小明为了研究关于x的方程x2﹣|x|﹣k＝0的根的个数问题，先将该等式转化为x2＝|x|+k，再分别画出函数y＝x2的图象与函数y＝|x|+k的图象（如图），当方程有且只有四个根时，k的取值范围是（）A．k＞0 B．﹣＜k＜0 C．0＜k＜ D．﹣＜k＜【答案】B【解析】解：当x＞0时，y＝x+k，y＝x2，则x2﹣x﹣k＝0，b2﹣4ac＝1+4k＞0，解得：k＞﹣，当x＜0时，y＝﹣x+k，y＝x2，则x2+x﹣k＝0，b2﹣4ac＝1+4k＞0，解得：k＞﹣，如图所示一次函数一部分要与二次函数有两个交点，则k＜0，故k的取值范围是：﹣＜k＜0．故选：B．6．（2023秋•永善县期末）一次函数y＝cx﹣a（c≠0）和二次函数y＝ax2+x+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：A、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意；B、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＜0，故本选项符合题意；C、由抛物线可知，a＞0，c＜0，由直线可知，a＞0，c＞0，故本选项不符合题意；D、由抛物线可知a＜0，又b＝1＞0，所以对称轴应该在y轴右侧，故本选项不符合题意．故选：B．题型03二次函数图象的变换1．（2024•凉州区校级模拟）把二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为（）A．y＝（x﹣4）2+4 B．y＝（x﹣2）2+4 C．y＝（x﹣2）2+8 D．y＝（x﹣4）2+8【答案】B【解析】解：二次函数y＝（x﹣3）2+6的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位后得到的二次函数为y＝（x﹣3+1）2+6﹣2＝（x﹣2）2+4，故选：B．2．（2024•揭东区一模）抛物线y＝（x+2）2+1是由抛物线y＝x2+1经过某种平移得到，则这个平移可以表述为（）A．向左平移1个单位 B．向左平移2个单位 C．向右平移1个单位 D．向右平移2个单位【答案】B【解析】解：原抛物线的顶点为（0，1），新抛物线的顶点为（﹣2，1），∴是抛物线y＝x2+1向左平移2个单位得到，故选：B．3．（2024•西安一模）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2+2ax+3（a≠0）的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数图象，当0≤x≤3时，平移后所得的新二次函数的最大值为9，则a的值为（）A．6 B．﹣2 C．2或﹣6 D．﹣2或6【答案】C【解析】解：二次函数y＝ax2+2ax+3＝a（x+1）2﹣a+3，将二次函数y＝ax2+2ax+3（a≠0）的图象向右平移2个单位长度后得到一个新的二次函数解析式为：y＝a（x﹣1）2﹣a+3，∵当0≤x≤3时，平移后所得的新二次函数的最大值为9，∴当a＞0时，x＝3，y＝a（3﹣1）2﹣a+3＝9，解得a＝2，当a＜0，x＝0时，y＝a（o﹣1）2﹣a+3＝9，解得a＝﹣6，故选：C．4.（2024•山阳县一模）在平面直角坐标系中，有两条抛物线关于x轴对称，且它们的顶点相距6个单位长度，若其中一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，则m的值是（）A．﹣ B．﹣ C．1 D．﹣或﹣【答案】D【解析】解：∵一条抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+4x+2m，∴这条抛物线的顶点为（2，2m+4），∴关于x轴对称的抛物线的顶点（2，﹣2m﹣4），∵它们的顶点相距6个单位长度．∴|2m+4﹣（﹣2m﹣4）|＝6，∴4m+8＝±6，当4m+8＝6时，m＝﹣，当4m+8＝﹣6时，m＝﹣，∴m的值是﹣或﹣．故选：D．5．（2024•怀远县模拟）若抛物线y＝kx2﹣（k2﹣3k）x+1的图象关于y轴对称，则k的值为（）A．0 B． C．3 D．﹣3【答案】C【解析】解：∵抛物线关于y轴对称，∴对称轴为y轴，∴﹣（k2﹣3k）＝0，且k≠0，∴k＝3；故选：C．6．（2023秋•莱州市期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的顶点坐标是（﹣2，﹣1），且图象与y轴交于点（0，﹣9）．将该二次函数的图象以原点为旋转中心旋转180°，则旋转后得到的函数表达式为（）A．y＝﹣2（x+2）2﹣1 B．y＝﹣2（x+2）2+1 C．y＝2（x﹣2）2+1 D．y＝2（x﹣2）2﹣1【答案】C【解析】解：将二次函数y＝ax2+bx+c的图象以原点为旋转中心顺时针旋转180°，顶点为（2，1），与y轴交于点（0，9），∴y＝a（x﹣2）2+1，把（0，9）代入得，9＝4a+1，∴a＝2，∴旋转后得到的函数解析式为y＝2（x﹣2）2+1，故选：C．题型04与系数a、b、c有关的判断1．（2024•孝南区一模）如图是二次函数y＝ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴是直线x＝﹣1，且过点（﹣3，0），如下结论：①abc＞0；②b＝2a；③a+b+c＜0；④若（﹣4，y1），（3，y2）是抛物线上的两点，则y1＜y2；⑤a﹣b＞m（am+b）；其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【解析】解：∵抛物线的开口向上，对称轴为，与y轴交于负半轴，∴a＞0，b＝2a＞0，c＜0，∴abc＜0，故①错误，②正确；∵图象过（﹣3，0），且对称轴为x＝﹣1，∴图象过（1，0），∴a+b+c＝0；故③错误；∵|﹣4﹣（﹣1）|＜|3﹣（﹣1）|，∴y1＜y2；故④正确；当x＝﹣1时，函数有最小值为a﹣b+c，∴a﹣b+c≤am2+bm+c，∴a﹣b≤am2+bm＝m（am+b）；故⑤错误；综上：正确的结论有2个；故选：B．2．（2024•东兴区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，以下结论中：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③2a﹣b＝0；④a﹣b+c＞m（am+b）+c（m≠﹣1的任意实数）；⑤4a﹣2b+c＜0．正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】解：①抛物线开口方向向下，则a＜0．抛物线对称轴位于y轴左侧，则a、b同号，即ab＞0．抛物线与y轴交于正半轴，则c＞0．所以abc＞0．故①正确．②∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0．故②正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a，即2a﹣b＝0，故③正确；∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，∴函数的最大值为：a﹣b+c，∴a﹣b+c＞am2+bm+c（m≠﹣1的任意实数），即a﹣b+c＞m（am+b）+c，故④正确；∵x＝0时，y＞0，对称轴为直线x＝﹣1，∴x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0．故⑤错误．故选：C．3．（2024•武侯区校级一模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，其中结论正确的为（）A．abc＜0 B．b2﹣4ac＝0 C．a﹣b+c＞0 D．4a+2b+c＜0【答案】D【解析】解：由所给函数图象可知，a＞0，b＜0，c＜0，所以abc＞0．故A选项错误．因为抛物线与x轴有两个不同的交点，所以b2﹣4ac＞0．故B选项错误．因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），所以a﹣b+c＝0．故C选项错误．因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），且对称轴为直线x＝1，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0）．又因为抛物线开口向上，所以当x＝2时，函数值小于零，即4a+2b+c＜0．故D选项正确．故选：D．4．（2024•驻马店模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，与x轴的一个交点坐标为（4，0），抛物线的对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＞0；②2a+b＝0；③4a﹣2b+c＝0；④方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根；⑤若点A（m，n）在该抛物线上，则am2+bm+c≤a+b+c．其中正确的个数有（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【解析】解：由所给函数图象可知，a＜0，b＞0，c＞0，所以abc＜0．故①错误．因为抛物线的对称轴为直线x＝1，所以，即2a+b＝0．故②正确．因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（4，0），且对称轴为直线x＝1，所以抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣2，0）．将此点坐标代入函数解析式得，4a﹣2b+c＝0．故③正确．方程ax2+bx+c＝2的实数根，可看成函数y＝ax2+bx+c的图象和直线y＝2交点的横坐标，显然函数y＝ax2+bx+c的图象与直线y＝2有两个不同的交点，所以方程ax2+bx+c＝2有两个不相等的实数根．故④正确．因为抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下，所以当x＝1时，函数有最大值a+b+c，则对于抛物线上的任意一点A（m，n），其函数值不大于a+b+c，即am2+bm+c≤a+b+c．故⑤正确．故选：C．5．（2024•新安县一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和B，与y轴交于点C，下列结论：①abc＞0，②2a+b＜0，③4a﹣2b+c＞0，④3a+c＜0，其中正确的结论个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】解：①由抛物线的开口向上知a＞0，∵对称轴位于y轴的右侧，∴b＜0，∵抛物线与y轴交于负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故正确；②对称轴为直线x＝﹣＜1，得2a＞﹣b，即2a+b＞0，故错误；③由图可知：当x＝﹣2时，y＞0，∴4a﹣2b+c＞0，故正确；④∵当x＝﹣1时，y＝0，∴0＝a﹣b+c＜a+2a+c＝3a+c，即3a+c＞0，故错误．综上所述，有2个结论正确．故选：B．题型05二次函数与一元二次方程的关系1．（2023秋•斗门区期末）已知二次函数y＝ax2+bx+c的变量x，y的部分对应值如表：x…﹣3﹣2﹣101…y…﹣11﹣5﹣111…根据表中信息，可得一元二次方程ax2+bx+c＝0的一个近似解x1的范围是（）A．﹣3＜x1＜﹣2 B．﹣2＜x1＜﹣1 C．﹣1＜x1＜0 D．0＜x1＜1【答案】C【解析】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1；当x＝0时，y＝1，∴方程的一个近似根x的范围是﹣1＜x＜0，故选：C．2．（2024•长安区一模）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a≠0）的图象与x轴的一个交点的横坐标为3，则另一个交点的横坐标为（）A．﹣5 B．﹣3 C．﹣1 D．1【答案】C【解析】解：由题意得，抛物线的对称轴是直线x＝﹣＝1．又∵图象与x轴的一个交点的横坐标为3，∴另一个交点的横坐标为：1﹣（3﹣1）＝﹣1．故选：C．3.（2024春•鼓楼区校级期中）抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（t﹣2，0），B（t+2，0），t为常数，则抛物线顶点的纵坐标是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【答案】D【解析】解：由题意，∵A（t﹣2，0），B（t+2，0），∴对称轴是直线x＝﹣＝＝t．∴b＝﹣2t．又抛物线过A（t﹣2，0），∴（t﹣2）2+b（t﹣2）+c＝0．∴c＝t2﹣4．∴当x＝t时，y＝t2+bt+c＝t2﹣2t2+c＝﹣t2+t2﹣4＝﹣4．∴抛物线顶点的纵坐标是﹣4．故选：D．4．（2024•怀远县模拟）已知抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于（0，0）、（3，0），则关于x的方程a（x﹣1）2+bx＝b（a≠0）的解为（）A．x1＝﹣1，x2＝2 B．x1＝0，x2＝3 C．x1＝1，x2＝4 D．x1＝2，x2＝4【答案】C【解析】解：∵方程a（x﹣1）2+bx＝b（a≠0），∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝0，∵抛物线y＝ax2+bx（a≠0）与x轴交于（0，0）、（3，0），∴当y＝0时，0＝ax2+bx，得x＝0或3，∴a（x﹣1）2+b（x﹣1）＝0时，x﹣1＝0或x﹣1＝3，解得x1＝1，x2＝4，故选：C．5．（2024•台江区校级模拟）抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表：x…﹣4﹣2024…y…mnm10…由表可知，抛物线与x轴的一个交点的坐标是（4，0），则抛物线与x轴的另一个交点的坐标是（）A．（﹣4，0） B．（﹣6，0） C．（﹣8，0） D．（8，0）【答案】C【解析】解：由表格可知抛物线过（﹣4，m）和（0，m），∴抛物线的对称轴为．设抛物线与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），由表格知，其中一个交点为（4，0），设x1＝4，由，得：4+x2＝﹣4，解得x2＝﹣8，∴另一个交点为（﹣8，0），故选：C．题型06二次函数图象与性质综合应用1．（2024•大荔县校级二模）如图，已知抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于C点，点B的坐标为（3，0），OC＝2，AB＝4，点D为抛物线的顶点．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若直线BC与抛物线的对称轴交于点E，点P是抛物线上的动点，点Q是直线BC上的动点，是否存在以D、E、P、Q为顶点的四边形是以DE为边的平行四边形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2+x+2；（2）存在，点Q的坐标为：（，）或（，）或（2，）．【解析】解：（1）B的坐标为（3，0），AB＝4，则点A（﹣1，0），∵OC＝2，则点C（0，2），设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），则﹣3a＝2，则y＝﹣x2+x+2；（2）存在，理由：由抛物线的表达式知，其对称轴为直线x＝1，由点B、C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝﹣x+2，设点P（m，﹣m2+m+2），点Q（t，﹣t+2），当DP为对角线时，由中点坐标公式得：，解得：m＝t＝，则点Q（，）或（，）；当DQ为对角线时，同理可得：，解得：m＝t＝1（舍去）或2，则点Q（2，），综上，点Q的坐标为：（，）或（，）或（2，）．2．（2024•菏泽一模）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣3与x轴相交于点A（﹣1，0），B（3，0），与y轴相交于点C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；（3）点M为该抛物线上的一点，连接BC，CM，当∠BCM＝90°时，求点M的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（1，﹣1）；（3）M（1，﹣4）．【解析】解：（1）设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2），则y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3）＝ax2+bx﹣3，则a＝1，则抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝1，∵点P为该抛物线对称轴上，∴设P（1，p），∴PA＝，PC＝，∵PA＝PC，∴＝，∴p＝﹣1，∴P（1，﹣1）；（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），∴OB＝OC＝3，设M（m，m2﹣2m﹣3），当∠BCM＝90°时，如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝45°，∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，∴∠HMC＝45°＝∠HCM，∴CH＝MH，∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，∴﹣m2+2m＝m，∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，∴M（1，﹣4）．3．（2024•莲湖区一模）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为D，交x轴于点A，B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．（1）若抛物线L2经过点（﹣3，8），求抛物线L2对应的函数关系式；（2）连接BC．设点Q是抛物线L1上且位于其对称轴右侧的一个动点，若△DPQ与△BOC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣；（2）2；（3）点P的坐标为（2，8）或（2，7）．【解析】解：（1）当﹣x2+4x+5＝0时，解得x＝﹣1或x＝5，∴A（﹣1，0），B（5，0），设抛物线L2的函数解析式为y＝a（x+1）（x﹣5），将点（﹣3，8）代入得8＝a（﹣3+1）×（﹣3﹣5），解得a＝，∴抛物线L2的函数解析式为y＝（x+1）（x﹣5）＝x2﹣2x﹣；（2）∵y＝﹣x2+4x+5交y轴于点C，∴C（0，5），顶点为D（2，9），∴OB＝OC＝5，∴△BOC为等腰直角三角形，∴△DPQ也是等腰直角三角形，由题意可知∠PDQ不可能为直角，①当∠DPQ＝90°时，如图①，△DPQ∽△BOC或△DPQ∽△COB，则DP＝QP，设Q（m，﹣m2+4m+5），∴QP＝m﹣2，DP＝9﹣（﹣m2+4m+5），∴m﹣2＝9﹣（﹣m2+4m+5），解得m1＝2（舍去），m2＝3，∴当m＝3时，﹣m2+4m+5＝8，∴P的坐标为（2，8）；②当∠DQP＝90°时，如图②，△DPQ∽△BCO或△DPQ∽△CBO，过点Q作QM⊥DP，垂足为点M，则DM＝QM＝MP，由①可知M（2，8），∴MP＝DM＝1，∴P（2，7），综上所述：点P的坐标为（2，8）或（2，7）．4．（2024•德阳模拟）平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B（4，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点A，C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△BCP是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）如图，点M是直线BC上的一个动点，连接AM，OM，是否存在点M使AM+OM最小，若存在，请求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】见试题解答内容【解析】解：（1）将B（4，0）代入，即，解得：，∴，令x＝0，则，令y＝0，则，解得：x1＝4，x2＝﹣2，A（﹣2，0），C（0，4）；（2）存在点P，使△BCP是直角三角形，∵，对称轴为直线x＝1，设P（1，n），∵B（4，0），C（0，4），∴BC2＝42+42＝32，BP2＝（4﹣1）2+n2，PC2＝12+（4﹣n）2，①当∠BCP＝90°时，BP2＝BC2+PC2，∴（4﹣1）2+n2＝32+12+（4﹣n）2，解得：n＝5；②当∠CBP＝90°时，PC2＝BC2+BP2，∴12+（4﹣n）2＝（4﹣1）2+n2+32解得：n＝﹣3；③当∠BPC＝90°时，BC2＝BP2+PC2，32＝（4﹣1）2+n2+12+（4﹣n）2解得：或，综上所述：P（1，5），（1，﹣3），（1，2+），（1，2﹣）；（3）存在点M使AM+OM最小，理由如下：作O点关于BC的对称点Q，连接AQ交BC于点M，连接BQ，由对称性可知，OM＝QM，∴AM+OM＝AM+QM≥AQ，当A、M、Q三点共线时，AM+OM有最小值，∵B（4，0），C（0，4），∴OB＝OC，∴∠CBO＝45°，由对称性可知∠QBM＝45°，∴BQ⊥BO，∴Q（4，4），设直线AQ的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AQ的解析式，设直线BC的解析式为y＝mx+4，∴4m+4＝0，∴m＝﹣1，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+4，联立方程组，解得：，∴M（，）．5．（2024•阳谷县一模）如图1，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点D是该二次函数图象上的一点，且满足∠DBA＝∠CAO（O是坐标原点），求点D的坐标；（3）如图2，点P是直线BC上方抛物线上的一点，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥y轴交BC于点F，求△PEF周长的最大值．【答案】（1）抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）△PEF的周长最大值为2+．【解析】解：（1）由题意可得，，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）当点D在x轴上方时，过C作CD∥AB交抛物线于点D，如图1，∵A、B关于对称轴对称，C、D关于对称轴对称，∴四边形ABDC为等腰梯形，∴∠CAO＝∠DBA，即点D满足条件，∴D（3，2）；当点D在x轴下方时，∵∠DBA＝∠CAO，∴BD∥AC，∵C（0，2），∴可设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣1，0）代入可求得k＝2，∴直线AC解析式为y＝2x+2，∴可设直线BD解析式为y＝2x+m，把B（4，0）代入可求得m＝﹣8，∴直线BD解析式为y＝2x﹣8，联立直线BD和抛物线解析式可得，解得或，∴D（﹣5，﹣18）；综上可知满足条件的点D的坐标为（3，2）或（﹣5，﹣18）；（3）△PEF的周长＝PE+PF+EF＝PF+PF•sin∠PFE+PF•cos∠PFE＝PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE），∵∠PFE是定值，∴当PF最大时，△PEF的周长最大，设直线BC的解析式为y＝kx+b，将B（4，0），C（0，2）代入得：，解得：，∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，设P（t，﹣t2+t+2），F（t，﹣t+2）∴PF＝﹣t2+t+2﹣（﹣t+2）＝﹣t2+2t＝﹣（t﹣2）2+2，∴当t＝2时，PF最大值为2，∵B（4，0），C（0，2），∴OB＝4，OC＝2，BC＝＝2，∵PF∥y轴，∴∠PFE＝∠OCB，∴sin∠PFE＝，cos∠PFE＝，∴△PEF的周长最大值为PF（1+sin∠PFE+cos∠PFE）＝2×（1++）＝2+．6．（2024•济南一模）如图，二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，其对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F．连接AC、BD．（1）若m＝1，求B点和C点坐标；（2）若∠ACO＝∠CBD，求m的值；（3）若在第一象限内二次函数y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1（m＞0）的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP＝75°．请结合函数的图象，直接写出m的取值范围．【答案】（1）B（3，0），C（0，﹣3）；（2）m＝1；（3）m的取值范围为0＜m＜．【解析】解：（1）当m＝1时，y＝x2﹣2x﹣3，令y＝0，得x2﹣2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∵点A在点B的左侧，∴B（3，0），令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3）；（2）当y＝0时，x2﹣2mx﹣2m﹣1＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝2m+1，∵点A在点B的左侧，且m＞0，∴A（﹣1，0），B（2m+1，0），∵当x＝0时，y＝﹣2m﹣1，∴C（0，﹣2m﹣1），∴OB＝OC＝2m+1，∵∠BOC＝90°，∴∠OBC＝45°，如图1中，连接AE，∵y＝x2﹣2mx﹣2m﹣1＝（x﹣m）2﹣（m2+2m+1），∴D（m，﹣m2﹣2m﹣1），F（m，0），∴DF＝m2+2m+1，OF＝m，BF＝m+1，∵A、B关于对称轴直线x＝1对称，∴AE＝BE，∴∠EAB＝∠OBC＝45°，∵∠ACO＝∠CBD，∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO+∠OCB＝∠CBD+∠OBC，即∠ACE＝∠DBF，∵EF∥OC，tan∠ACE＝＝＝＝，tan∠DBF＝＝＝m+1，∵∠ACE＝∠DBF，∴tan∠ACE＝tan∠DBF，∴＝m+1，解得：m＝1或﹣1，经检验，m＝±1是方程＝m+1的根，∵m＞0，∴m＝1；（3）如图2，设PC交x轴于点Q，当点P在第一象限时，点Q总是在点B的左侧，此时∠CQA＞∠CBA，即∠CQA＞45°．∵∠ACQ＝75°，∴∠CAO＜60°，∴2m+1＜，解得：m＜，又∵∠CAQ＞15°，同法可得m＞，∵m＞0，∴0＜m＜．7．（2024•涟水县模拟）如图，抛物线y＝ax2+bx经过A（1，4）和B（4，0），点P是抛物线上的一个动点，且在直线AB的上方．（1）a＝，b＝；（2）若△AOB面积是△PAB面积的3倍，求点P的横坐标；（3）若OP与AB相交于点C，判断是否存在最大值，若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．【答案】（1），；（2）；（3）存在，最大值为．【解析】解：（1）把A（1，4）和B（4，0）代入y＝ax2+bx得：，∴；故答案为：，；（2）过点P作PM⊥x轴，交AB于点M；如图所示，设直线AB的函数关系式为y＝kx+b1把A（1，4），B（4，0）代入y＝kx+b1得：，∴，∴直线AB的函数关系式为，∵点P是抛物线上的一个动点，设，则点，∴，∵，∵S△AOB＝3S△PAB，，∴，∴∴3t2﹣15t+16＝0，∴；即：点P的横坐标为：；（3）存在，延长BA交y轴于点N，∵直线AB的函数关系式为，∴点，，∵PM∥y轴，∴△PCM∽△OCN，∴，∴，即：，，∴，∵，抛物线开口向下，∴当时，有最大值，最大值为．（限时60分钟）一．选择题（共10小题）1．（2024•西工区一模）在同一坐标系中，一次函数y＝﹣mx+n2与二次函数y＝x2﹣m的图象可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：∵二次函数y＝x2﹣m中1＞0，∴二次函数图象开口向上，C、D选项不符合题意，∴﹣m＜0，∴一次函数y＝﹣mx+n2经过第一、二、四象限，B选项符合题意．故选：B．2．（2024•武威一模）已知二次函数y＝x2+bx﹣4图象上A、B两点关于原点对称，若经过A点的反比例函数的解析式是y＝，则该二次函数的对称轴是直线（）A．x＝1 B．x＝2 C．x＝﹣1 D．x＝﹣2【答案】C【解析】解：∵A在反比例函数图象上，∴可设A点坐标为（a，），∵A、B两点关于原点对称，∴B点坐标为（﹣a，﹣），又∵A、B两点在二次函数图象上，∴代入二次函数解析式可得，解得或，∴二次函数对称轴为x＝﹣1，故选：C．3．（2024•滨海新区模拟）抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（2，1） D．（2，﹣1）【答案】D【解析】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）．故选：D．4．（2024•凉州区校级一模）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列说法错误的是（）A．图象关于直线x＝1对称 B．函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4 C．当x＜1时，y随x的增大而增大 D．﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根【答案】C【解析】解：A、由函数图象可知，图象关于直线x＝1对称，故本选项正确；B、由函数图象可知，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的最小值是﹣4，故本选项正确；C、由函数图象可知，当x＜1时，y随x的增大而增减小，故本选项错误；D、因为抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（﹣1，0），所以与x轴的另一个交点是（3，0），故﹣1和3是方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根，故本选项正确．故选：C．5．（2024•南岗区校级一模）平面直角坐标系中，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（）A．y＝（x+1）2+2 B．y＝（x﹣1）2+2 C．y＝﹣（x﹣1）2+2 D．y＝﹣（x﹣1）2﹣2【答案】C【解析】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝﹣x2先向右平移1个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2．由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝﹣（x﹣1）2向上平移2个单位所得抛物线的解析式为：y＝﹣（x﹣1）2+2；故选：C．6．（2023秋•涵江区期末）已知二次函数y＝x2﹣bx+c的图象经过A（1，n），B（3，n），则b的值为（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【答案】C【解析】解：∵抛物线经过点A（1，n）和点B（3，n），∴抛物线的对称轴为直线x＝＝2，即﹣＝2，解得b＝4，故选：C．7．（2024•振兴区校级模拟）关于函数y＝﹣3（x+1）2﹣2，下列描述错误的是（）A．开口向下 B．对称轴是直线x＝﹣1 C．函数最大值是﹣2 D．当x＞﹣1时，y随x的增大而增大【答案】D【解析】解：∵抛物线y＝﹣3（x+1）2﹣2，∴该抛物线开口向下，故选项A不符合题意；对称轴是直线x＝﹣1，故选项B不符合题意；当x＝﹣1时，该函数取得最大值﹣2，故选项C不符合题意；当x＞﹣1时，y随x的增大而减小，故选项D符合题意；故选：D．8．（2024•南山区校级模拟）若二次函数y＝（x+2）2﹣1的图象经过点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y3＞y2 B．y2＞y3＞y1 C．y1＞y2＞y3 D．y3＞y1＞y2【答案】D【解析】解：∵二次函数y＝（x+2）2﹣1，∴开口向上，对称轴为直线x＝﹣2，∴B（﹣2，y2）是顶点，y2最小，∵A（﹣1，y1）到对称轴的距离小于C（3，y3）到对称轴的距离，∴y1＜y3，∴y3＞y1＞y2．故选：D．9．（2024•阿克苏地区模拟）如图，一条抛物线与x轴相交于M、N两点（点M在点N的左侧），其顶点P在线段AB上移动，若A、B的坐标分别为（﹣2，3），（1，3），点M的横坐标的最小值为﹣5，则点N的横坐标的最大值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解析】解：当顶点为（﹣2，3）时，函数的对称轴为x＝﹣2，∵M的横坐标为﹣5，∴N的横坐标为1，∴MN＝6，当顶点为（1，3）时，M点横坐标为﹣2，∴N的横坐标为4；故选：B．10．（2024•苍溪县一模）我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2﹣2x﹣3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：其中正确结论的个数是（）①图象与坐标轴的交点为（﹣1，0），（3，0）和（0，3）；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝﹣1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4，A．4 B．3 C．2 D．1【答案】A【解析】解：①∵（﹣1，0），（3，0）和（0，3）坐标都满足函数y＝|x2﹣2x﹣3|，∴①是正确的；②从图象可知图象具有对称性，对称轴可用对称轴公式求得是直线x＝1，因此②也是正确的；③根据函数的图象和性质，发现当﹣1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大，因此③也是正确的；④函数图象的最低点就是与x轴的两个交点，根据y＝0，求出相应的x的值为x＝﹣1或x＝3，因此④也是正确的；⑤从图象上看，当x＜﹣1或x＞3，存在函数值要大于当x＝1时的y＝|x2﹣2x﹣3|＝4，因此⑤是不正确的；故选：A．二．填空题（共6小题）11．（2024•凉州区校级一模）如图，坐标系中正方形网格的单位长度为1，抛物线y1＝﹣+3向下平移2个单位后得抛物线y2，则阴影部分的面积S＝4．【答案】见试题解答内容【解析】解：根据题意知，图中阴影部分的面积即为平行四边形的面积：2×2＝4．故答案为：4．12．（2023秋•邗江区校级期末）已知二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是﹣1＜x＜3．【答案】﹣1＜x＜3．【解析】解：当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝3，∴二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0），由函数图象可得y＞0的x的取值范围为：﹣1＜x＜3．故答案为：﹣1＜x＜3．13．（2023秋•铁岭县期末）已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围k＞﹣1且k≠0．【答案】见试题解答内容【解析】解：令y＝0，则kx2﹣6x﹣9＝0．∵二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，∴一元二次方程kx2﹣6x﹣9＝0有两个不相等的解，∴，解得：k＞﹣1且k≠0．故答案为：k＞﹣1且k≠0．14．（2024•柳州一模）如图，抛物线y＝﹣2x2+2与x轴交于点A、B，其顶点为E．把这条抛物线在x轴及其上方的部分记为C1，将C1向右平移得到C2，C2与x轴交于点B、D，C2的顶点为F，连接EF．则图中阴影部分图形的面积为4．【答案】见试题解答内容【解析】解：令y＝0，则：x＝±1，令x＝0，则y＝2，则：OB＝1，BD＝2，OB＝2，S阴影部分图形＝S四边形BDFE＝BD×OE＝2×2＝4．故：答案为4．15．（2023秋•江夏区校级期末）如图，直线y＝mx+n与抛物线y＝x2+bx+c交于A，B两点，其中点A（2，﹣3），点B（5，0），不等式x2+bx+c＜mx+n的解集为2＜x＜5．【答案】见试题解答内容【解析】解：由图象可得，在点A，B之间的抛物线在直线下方，∴2＜x＜5时，x2+bx+c＜mx+n，故答案为：2＜x＜5．16．（2023秋•泰山区期末）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是﹣6＜m＜﹣2．【答案】﹣6＜m＜﹣2．【解析】解：如图，当y＝0时，﹣x2+x+6＝0，解得x1＝﹣2，x2＝3，则A（﹣2，0），B（3，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y＝（x+2）（x﹣3），即y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），当直线y＝﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m＝0，解得m＝﹣2；当直线y＝﹣x+m与抛物线y＝x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6＝﹣x+m有相等的实数解，解得m＝﹣6，所以当直线y＝﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2．故答案为：﹣6＜m＜﹣2．三．解答题（共6小题）17．（2024•巧家县校级模拟）综合与探究如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣x+c与y轴交于点A（0，﹣4），与x轴交于点B（4，0），连接AB．（1）求抛物线的解析式．（2）P是AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作PD⊥x轴于点D．①求PC+PD的最大值．②连接PA，PB，是否存在点P，使得线段PC把△PAB的面积分成3：5两部分？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）①PC+PD取得最大值；②存在点P，使得线段PC把△PAB的面积分成3：5两部分；或．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2﹣x+c过A（0，﹣4），B（4，0），代入得：，解得：，∴该抛物线的函数表达式为；（2）①设，设PD交AB于点E，如图，则，∴OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∵PC∥x轴，PD∥y轴，∴∠CPE＝∠BDE＝90°，∠BED＝∠PEC＝45°，∴△BDE、△CPE均为等腰直角三角形，∴DE＝BD＝4﹣t，∴，∴＝，∵﹣1＜0，∴当时，PC+PD取得最大值，此时点P的坐标为；②存在点P，使得线段PC把△PAB的面积分成3：5两部分．理由如下：如图2，延长PC交y轴于点F，连接PB，设P（t，，则，当S△PAC：S△PBC＝3：5时，∴∠PDO＝∠DOF＝∠PFO＝90°，∴四边形PDOF是矩形，∴，∴，∵＝＝＝，∴，即，即，解得：t＝3或t＝﹣1（舍去），∴；当S△PBC：S△PAC＝3：5时，同理可得，即，解得：或（舍去），∴；综上所述，存在点P，使得线段PC把△PAB的面积分成3：5两部分，点P的坐标为或．18．（2024•文山市模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD＝1：2时，请求出点D的坐标；（3）如图2，点E的坐标为（0，﹣1），点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE＝15°，连接PE，若∠PEG＝2∠OGE，请求出点P的坐标；【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；（2）点D（﹣1，2）；（3）点．【解析】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3的顶点坐标为（﹣1，4），∴，解得：，∴抛物线解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；（2）令y＝0，得﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（1，0），B（﹣3，0），令x＝0，则y＝﹣x2﹣2x+3＝3，∴C（0，3），∴OB＝OC＝3，∴，∠CBO＝45°，∵S△CPD：S△BPD＝1：2，设点P到BC的距离为h，∴＝＝，∴，过点D作DK⊥x轴于点K，则△BDK是等腰直角三角形，如图1，∴，∴OK＝1，∴D（﹣1，2）；（3）设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE＝15°，∠PEG＝2∠OGE＝30°，∴∠OHE＝∠OGE+∠PEG＝45°，∴OH＝OE＝1，∴H（﹣1，0），设直线HE的解析式为y＝k′x+b′，∴，∴，∴直线HE的表达式为y＝﹣x﹣1，联立，解得（舍去正值），∴P．19．（2024•新昌县一模）在直角坐标系中，设函数y＝（x﹣m）（x﹣n）（m，n是实数）．（1）当m＝1时，若该函数的图象经过点（2，6），求函数的表达式．（2）若n＝m﹣1，且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，求m的取值范围．（3）若该函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数）．当2≤m＜n≤3时，求证：0≤ab＜4．【答案】（1）y＝x2+3x﹣4；（2）m≥﹣；（3）见解答．【解析】解：（1）当m＝1时，则y＝（x﹣1）（x﹣n），把点（2，6）代入y＝（x﹣1）（x﹣n）得，6＝（2﹣1）（2﹣n），∴n＝﹣4，∴y＝（x﹣1）（x+4），即y＝x2+3x﹣4；（2）∵y＝（x﹣m）（x﹣n），∴抛物线与x轴的交点为（m，0），（n，0），∴抛物线的对称轴为直线x＝，∴n＝m﹣1，∴对称轴为直线x＝m﹣，∵抛物线开口向上且当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，∴m﹣≥﹣2，∴m≥﹣；（3）证明：∵函数的图象经过（0，a），（3，b）两点（a，b是实数），∴a＝mn，b＝（3﹣m）•（3﹣n），∴ab＝mn•（3﹣m）•（3﹣n）＝m（3﹣m）•n（3﹣n）＝[﹣（m﹣）2+][﹣（n﹣）2+]，∵2≤m＜n≤3，∴0＜﹣（m﹣）2+≤2，0≤﹣（n﹣）2+＜2，∴0≤ab＜4．20．（2024•恩施市校级一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），点Q在第一象限的抛物线上，连接AB、AQ、BQ，BQ与y轴交于点N．（1）求抛物线表达式；（2）点，点M在x轴上，点E在平面内，若△BME≌△AOM，且四边形ANEM是平行四边形．①求点E的坐标；②设射线AM与BN相交于点P，交BE于点H，将△BPH绕点B旋转一周，旋转后的三角形记为△BP1H1，求的最小值．【答案】（1）；（2）①E（﹣2，﹣2）；②的最小值为．【解析】解：（1）①抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，交x轴于点B（﹣6，0）和点C（2，0），∴，解得，∴抛物线的表达式为；（2）∵抛物线的表达式为，∴OA＝4，设直线BQ的解析式为y＝kx+b1，∵B（﹣6，0），，∴，解得，∴直线BQ的解析式为，∵N为BQ与y轴交点，∴N（0，2），∴AN＝2，∵四边形ANEM是平行四边形，∴AN∥EM且EM＝AN＝2，且点E在点M下方，∵点M在x轴上，点E在平面内，△BME≌△AOM，∴BM＝OA＝4，∵B（﹣6，0），∴M（﹣2，0）或（﹣10，0），若M为（﹣2，0），∵∠BME＝∠AOM＝90°，故E（﹣2，﹣2），若M为（﹣10，0），∵OM＝ME＝2，此时OM＝10，（矛盾，舍去），综上，点E的坐标为（﹣2，﹣2）；②如图，设AM的解析式为y＝kx+b，∵抛物线y＝ax2+bx+4交y轴于点A，∴点A的坐标为（0，4），将点A（0，4）、M（﹣2，0）的坐标代入y＝kx+b得：，解得，∴AM的解析式为y＝2x+4，AM与BQ相交于点P，∴，解得，所以点P的坐标为，设直线BE的解析式为y＝mx+n，将点B、E的坐标代入直线BE的解析式得：，解得，所以直线BE的解析式为，BE与AM相交于点H，∴，解得，∴点H的坐标为，∴BP＝，BH＝，∴，当H旋转到x轴上时，此时OH1最短，∴OH1＝BO﹣BH＝，∴＝＝；方法二：提示：可证△BHP是等腰直角三角形则等腰Rt△BH1P1，取F（0，